Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Wirtschaftsinformatik-Studierende

Question 1

Welche Aussage trifft auf folgende Eigenvektoren zu?\begin{pmatrix} 1 \ 2\end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 3 \ -2\end{pmatrix}

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind linear abhängig.

Answer

Sie sind orthogonal.

Answer

Sie sind orthonormal.

Question 2

Welche Eigenschaft besitzen die Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind orthogonal zueinander.

Answer

Sie sind parallel zueinander.

Answer

Sie sind linear abhängig.

Question 3

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Diagonalisierbare Matrizen sind immer quadratisch.

Answer

Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenvektoren sind die Richtungsvektoren der Eigenräume.

Answer

Das charakteristische Polynom einer Matrix ist ein Polynom n-ten Grades, wobei n die Ordnung der Matrix ist.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom p(λ) einer Matrix A ist korrekt? Das charakteristische Polynom ist definiert als: p(λ) = det(A - λI).

Accepted Answer

p(λ) = det(A - λI)

Answer

p(λ) = det(A)

Answer

p(λ) = λdet(A)

Answer

p(λ) = λI - A

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer reell

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Dimension

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind Invarianten gegenüber Äquivalenztransformationen

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix können komplex sein

Question 6

Welche geometrische Interpretation haben Eigenwerte und Eigenvektoren bei linearen Transformationen?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalierungsfaktoren und Eigenvektoren Richtungen der Transformation.

Answer

Eigenvektoren sind Skalierungsfaktoren und Eigenwerte Richtungen der Transformation.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren sind unabhängig von der Transformation.

Answer

Die geometrische Interpretation gilt nur für symmetrische Matrizen.

Question 7

Wie hängen Eigenwerte und die Determinante einer Matrix zusammen?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das durch die Determinante definiert wird.

Answer

Die Determinante ist die Summe der Eigenwerte.

Answer

Eigenwerte sind unabhängig von der Determinante.

Question 8

Eigenvektoren einer Matrix sind:

Accepted Answer

Vielfache ihrer zugehörigen Eigenwerte.

Answer

Orthogonal zueinander.

Answer

Gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Immer von Null verschieden.

Question 9

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert 0?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [0, 1]]

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte trifft nicht zu?

Accepted Answer

Eigenwerte beschreiben die Größe eines Eigenvektors.

Answer

Eigenwerte sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenwerte können komplexe Zahlen sein.

Answer

Eigenwerte hängen eng mit der Diagonalisierbarkeit einer Matrix zusammen.

Question 11

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, -1], [1, 3]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 12

Was beschreibt die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Richtung eines linear unabhängigen Vektors

Answer

Ebene, in der eine Matrix operiert

Answer

Skalierungsfaktor einer Matrix

Answer

Polynom, das die Matrix charakterisiert

Question 13

Welche Aussage über das charakteristische Polynom istzutreffend?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen

Answer

Es ist ein Polynom mit den Eigenwerten der Matrix als Lösungen.

Answer

Sein Grad entspricht der Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Es ist eine Invariante der Matrix.

Question 14

Was ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Matrix, deren Spaltenvektoren orthonormal sind

Answer

Matrix, die ihre eigene Inverse ist

Answer

Matrix, deren Zeilenvektoren orthonormal sind

Answer

Matrix, deren Determinante 1 beträgt

Question 15

Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Diagonalisierbare Matrizen besitzen immer einen vollständigen Satz an Eigenvektoren.

Answer

Die Eigenvektoren einer diagonalisierbaren Matrix bilden eine Basis für den Vektorraum.

Answer

Nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar.

Answer

Die Eigenwerte einer diagonalisierbaren Matrix stehen auf der Diagonalen der diagonalisierten Matrix.

Question 16

Welche der folgenden Matrizen ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [2, 0]]

Question 17

Was bedeutet die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen

Answer

Determinante der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Answer

Anzahl der Eigenwerte der Matrix

Question 18

Nennen Sie zwei praktische Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren in den Bereichen Schwingungsanalyse und Bildverarbeitung.

Accepted Answer

Analyse von Schwingungsmustern in Maschinenbau und Bauwesen

Accepted Answer

Optimierung von Bildkomprimierungsalgorithmen in der Bildverarbeitung

Answer

Bestimmung von Stabilitätsgrenzen in der Systemanalyse

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik

Question 19

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Werte, die einer Matrix zugeordnet werden können.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen mit inversen Koeffizienten.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren mit einer Länge von eins.

Answer

Eigenwerte sind lineare Gleichungssysteme.

Question 20

Das charakteristische Polynom einer Matrix A wird berechnet als:

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

tr(A - λI)

Answer

tr(A + λI)

Answer

det(A + λI)

Question 21

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn:

Accepted Answer

alle ihre Eigenwerte voneinander verschieden sind.

Answer

alle ihre Eigenwerte gleich sind.

Answer

die Matrix invertierbar ist.

Answer

die Matrix symmetrisch ist.

Question 22

Ist die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur, wenn die Spur ungleich 0 ist

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn die Determinante ungleich 0 ist

Question 23

Ist die Matrix A = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 2]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur, wenn die Spur ungleich 0 ist

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn die Determinante ungleich 0 ist

Question 24

Die Matrix A = [2 1; 0 2] hat komplexe Eigenwerte. Was lässt sich daraus schließen?

Accepted Answer

A ist nicht diagonalisierbar

Answer

A ist symmetrisch

Answer

A ist diagonalisierbar

Answer

A ist invertibel

Question 25

Unter welcher Bedingung ist die Matrix A = [1 2; 2 1] diagonalisierbar?

Accepted Answer

λ1 ≠ λ2

Answer

A ist symmetrisch

Answer

A ist invertierbar

Answer

λ1 = λ2

Question 26

Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind:

Accepted Answer

reell

Answer

komplex

Answer

negativ

Answer

ganzzahlig

Question 27

Welche Aussage über die Eigenvektoren einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie bilden einen Vektorraum

Answer

Sie sind nur linear unabhängig, wenn λ1 ≠ λ2

Answer

Sie sind nur linear unabhängig, wenn die Matrix diagonalisierbar ist

Answer

Sie sind nicht linear unabhängig

Question 28

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [1 2; 2 1] + [0 1; -1 0]

Answer

C = [2 0; 0 2]

Answer

D = [1 0; 0 1]

Answer

B = [1 2; 0 1]

Question 29

Gib die geometrische Interpretation eines Eigenvektors an:

Accepted Answer

Richtung einer Linie, entlang der sich die Matrix skaliert.

Answer

Länge einer Linie, entlang der sich die Matrix bewegt.

Answer

Fläche, die von der Matrix eingeschlossen wird.

Question 30

Berechne die Determinante der Matrix D = [[2, 1], [1, 2]]

Accepted Answer

3

Answer

-3

Answer

1

Answer

2

Question 31

Was ist ein Eigenwert?

Accepted Answer

Skalarwert, der eine lineare Transformation charakterisiert.

Answer

Funktion, die eine lineare Transformation charakterisiert.

Answer

Matrix, die eine lineare Transformation charakterisiert.

Answer

Vektor, der eine lineare Transformation charakterisiert.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über den Eigenvektor zugehörig zu einem komplexen Eigenwert ist korrekt?

Accepted Answer

Er kann komplexwertig sein.

Answer

Er ist immer auf der reellen Achse.

Answer

Er ist immer linear unabhängig von anderen Eigenvektoren.

Answer

Er ist immer reellwertig.

Question 33

Welche Aussage über Eigenwerte trifft zu?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Werte, die sich aus der Lösung linearer Gleichungssysteme ergeben.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen, die lineare Transformationen beschreiben.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die die Richtung von Eigenräumen angeben.

Question 34

Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

Das Polynom det(A - λI) = 0, wobei λ ein Eigenwert und I die Einheitsmatrix ist.

Answer

Das Polynom, das die Summe der Eigenwerte von A ergibt.

Answer

Das Polynom, das das Produkt der Eigenwerte von A ergibt.

Question 35

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine quadratische Matrix A diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

A besitzt n verschiedene Eigenwerte.

Answer

A ist eine symmetrische Matrix.

Answer

A besitzt n Eigenwerte.

Question 36

Für welche Anwendungen können Eigenwerte und Eigenvektoren eingesetzt werden?

Accepted Answer

Lösen von Differentialgleichungen und Untersuchung der Stabilität von Systemen.

Answer

Berechnung von Determinanten.

Question 37

Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix A = [2 1; -1 2].

Accepted Answer

λ = 3

Answer

λ = 0

Answer

λ = 1

Answer

λ = -1

Question 38

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [1 2; 2 1]

Answer

A = [3 0; 0 3]

Answer

A = [2 1; -1 2]

Answer

A = [0 1; -1 0]

Question 39

Was versteht man unter orthogonalen Eigenvektoren?

Accepted Answer

Orthogonale Eigenvektoren bilden eine orthonormale Basis für einen Eigenraum.

Answer

Orthogonale Eigenvektoren haben immer den gleichen Betrag.

Answer

Orthogonale Eigenvektoren sind immer linear abhängig.

Question 40

Welcher der folgenden Sachverhalte trifft auf Eigenwerte zu?

Accepted Answer

Sie sind Lösungen des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Sie beschreiben die Dimensionen einer Matrix.

Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Question 41

Wie lautet das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A) = 0

Answer

λdet(A) = 0

Answer

tr(A) = 0

Question 42

Welche Bedingung muss eine Matrix erfüllen, um diagonalisierbar zu sein?

Accepted Answer

Sie besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Sie ist invertierbar.

Answer

Sie besitzt den Eigenwert 0.

Answer

Sie ist symmetrisch.

Question 43

Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix A = [2 1; -1 2].

Accepted Answer

v1 = [1; i√2], v2 = [1; -i√2]

Answer

v1 = [2; √2], v2 = [2; -√2]

Answer

v1 = [1; √2], v2 = [1; √2]

Answer

v1 = [2; 1], v2 = [1; 2]

Question 44

Welche Aussage trifft auf die Spur einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie entspricht der Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Sie ist nur für invertierbare Matrizen definiert.

Answer

Sie entspricht dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Sie entspricht ihrer Determinante.

Question 45

Was beschreibt die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er zeigt die Richtung eines Vektors, der durch die Matrix nur skaliert wird.

Answer

Er zeigt die Richtung eines Vektors, der senkrecht zum Eigenraum steht.

Answer

Er zeigt die Richtung eines Vektors, der durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird.

Question 46

Welche Aussage beschreibt die Eigenwerte einer Matrix A?

Accepted Answer

Lösungen des charakteristischen Polynoms det(A - λI) = 0

Answer

Werte, für die det(A) = 0 ist

Answer

Werte, für die tr(A) = 0 ist

Answer

Lösungen des Polynoms det(A + λI) = 0

Question 47

Welche der folgenden Aussagen gilt für eine Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten?

Accepted Answer

Sie ist diagonalisierbar (besitzt eine Basis aus Eigenvektoren).

Answer

Sie ist symmetrisch (symmetrisch zur Hauptdiagonalen).

Answer

Sie hat keinen Rang n.

Answer

Sie ist singulär (nicht invertierbar).

Question 48

Die Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert λ von Matrix A bilden:

Accepted Answer

Einen Untervektorraum des Vektorraums ℝⁿ.

Answer

Einen Vektorraum der Dimension n.

Answer

Ein Erzeugendensystem des Vektorraums ℝⁿ.

Answer

Den Nullraum der Matrix A.

Question 49

Die Summe aller Eigenwerte einer quadratischen Matrix A ist gleich:

Accepted Answer

Der Spur von A (Summe der Diagonalelemente).

Answer

Der Ordnung von A (Anzahl der Zeilen/Spalten).

Answer

Der Determinante von A (Volumen des von A transformierten Einheitswürfels).

Answer

Dem Rang von A (Anzahl der linear unabhängigen Zeilen/Spalten).

Question 50

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten.

Answer

Eine symmetrische Matrix.

Answer

Eine Matrix mit reellen Eigenwerten.

Answer

Eine Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten.

Question 51

Die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix (eine Matrix, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist) sind:

Accepted Answer

+1 oder -1.

Answer

Immer zwischen 0 und 1.

Answer

Immer positive reelle Zahlen.

Answer

Immer zwischen -1 und 1.

Question 52

Welche Aussage über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind orthogonal zueinander.

Answer

Sie sind kollinear (liegen auf einer Geraden).

Answer

Sie sind linear abhängig.

Question 53

Welche der folgenden Matrizen hat keinen reellen Eigenwert?

Accepted Answer

Eine Matrix mit komplexen Koeffizienten.

Answer

Eine Matrix mit reellen Koeffizienten.

Answer

Eine symmetrische Matrix.

Answer

Eine positiv definite Matrix (eine Matrix, deren alle Eigenwerte positiv sind).

Question 54

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

(λ - 2)(λ - 3)

Answer

(λ + 2)(λ + 3)

Answer

(λ - 3)(λ - 2)

Answer

(λ - 1)(λ - 2)

Question 55

Welche der folgenden Gleichungen definiert einen Eigenvektor x und einen Eigenwert λ einer Matrix A?

Accepted Answer

Ax = λx

Answer

xA = λx

Answer

λx = Ax

Answer

Ax = xλ

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, -1]]

Question 57

Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[3, 2], [1, 1]] für den Eigenvektor [1, 1].

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 58

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Schwingungsanalyse

Answer

Quadratische Funktionen minimieren

Answer

Differenzialgleichungen lösen

Answer

Lineare Gleichungssysteme lösen

Question 59

Welche der folgenden Matrizen hat einen doppelten Eigenwert?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[2, 3], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 60

Welche der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] mit Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[2, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[0, 1]

Question 61

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für eine diagonalisierbare Matrix A mit Eigenwerten λ₁, λ₂ und Eigenvektoren x₁, x₂?

Accepted Answer

A = x₁λ₁x₁⁻¹ + x₂λ₂x₂⁻¹

Answer

A = λ₁x₁⁻¹ + λ₂x₂⁻¹

Answer

A = x₁λ₁ + x₂λ₂

Answer

A = x₁λ₁x₁ + x₂λ₂x₂

Question 62

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für Eigenwerte?

Accepted Answer

Eigenwerte können komplex sein

Answer

Eigenwerte sind Lösungen des charakteristischen Polynoms

Answer

Eigenwerte charakterisieren das Verhalten einer Matrix

Answer

Eigenwerte sind Skalare

Question 63

Welche der folgenden Matrizen ist nicht ähnlich zu einer Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[2, 3], [1, 2]]