Reihen und Folgen: Online-Quizze für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Folgen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine gegen einen Grenzwert konvergente Folge ist beschränkt.

Answer

Eine beschränkte Folge konvergiert stets gegen einen Grenzwert.

Answer

Eine gegen unendlich konvergente Folge ist beschränkt.

Answer

Eine monoton fallende Folge konvergiert notwendigerweise.

Question 2

Welchen Reihentyp stellt die folgende Reihe dar: ∑ (n=0 bis ∞) (x^n / n!)?

Accepted Answer

Potenzreihe

Answer

Taylorreihe

Answer

Geometrische Reihe

Answer

Harmonische Reihe

Question 3

Was ist die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x im Punkt x=0?

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^n / (n!))

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^n / n)

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^n / (n+1))

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^n / (n^2))

Question 4

Welche der folgenden Folgen ist nicht konvergent?

Accepted Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = n/(n+1)

Answer

a_n = e^(-n)

Question 5

Welche der folgenden Funktionen kann nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden?

Accepted Answer

|x|

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 6

Wie lautet die Potenzreihe für die Funktion f(x) = arctan(x)?

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n (x^(2n+1) / (2n+1))

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^n / n!)

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n (x^n / (n+1))

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (x^(2n) / n)

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über Reihen ist inkorrekt?

Accepted Answer

Eine bedingt konvergente Reihe ist immer konvergent.

Answer

Eine konvergente Reihe ist immer beschränkt.

Answer

Eine divergente Reihe ist immer unbeschränkt.

Answer

Eine absolut konvergente Reihe ist immer konvergent.

Question 8

Welche Formel beschreibt den allgemeinen Term der n-ten Ableitung einer Funktion f(x) in ihrer Taylorreihe um den Punkt a?

Accepted Answer

f^(n)(a) * (x-a)^n / n!

Answer

f(a) * (x-a)^n / n!

Answer

f(x) * (x-a)^n

Answer

(x-a)^n / n!

Question 9

Welche Eigenschaft trifft auf Cauchysche Folgen zu?

Accepted Answer

Sie konvergieren gegen einen Grenzwert.

Answer

Sie sind immer beschränkt.

Answer

Sie sind immer monoton steigend.

Question 10

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑è²=0 bis ∞ (1/2)²

Answer

∑è²=0 bis ∞ n²

Answer

∑è²=0 bis ∞ 1/(n+1)

Answer

∑è²=0 bis ∞ sin(n)

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über den Restterm einer Taylorreihenentwicklung ist richtig?

Accepted Answer

Der Restterm ist kleiner als der Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes.

Answer

Der Restterm ist genau gleich dem ersten vernachlässigten Glied.

Answer

Der Restterm ist größer als der Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes.

Answer

Der Restterm ist immer gleich Null.

Question 12

Welche der folgenden Funktionen hat einen singulären Punkt bei x = 0?

Accepted Answer

1/x

Answer

sin(x)

Answer

eⁿ(x)

Answer

ln(x+1)

Question 13

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen ist im Maschinenbau relevant?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Modellierung von Schwingungen

Answer

Spannungsanalyse

Answer

Strömungssimulation

Question 14

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 2 + 3 - 4 + ...

Answer

1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ...

Question 15

Welche der folgenden Reihen **konvergiert**?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (1/n)

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (-1)^n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n^2

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 2^n

Question 16

Wie groß ist der **Konvergenzradius** der Potenzreihe f(x) = Σ (n=0 bis unendlich) (x-1)^n / n?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 17

Welche der folgenden Reihen ist eine **geometrische Reihe**?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (1/2)^n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 2^n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n^n

Question 18

Welche der folgenden Reihen ist eine **arithmetische Reihe** mit a_1 = 5 und d = 3?

Accepted Answer

5 + 8 + 11 + ...

Answer

3 + 6 + 9 + ...

Answer

2 + 4 + 6 + ...

Answer

1 + 3 + 5 + ...

Question 19

Welche der folgenden Reihen ist eine **alternierende Reihe**?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (-1)^n / n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) sin(n)

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 2^n

Question 20

Berechnen Sie e^0,5 näherungsweise bis zum zweiten Grad unter Verwendung der Taylorreihe für f(x) = e^x.

Accepted Answer

1,25

Answer

1,5

Answer

1

Answer

2

Question 21

Bestimmen Sie mithilfe des Cauchyschen Folgentests, ob die Folge (a_n) mit a_n = (n+1)/(n-1) konvergent ist.

Accepted Answer

Die Folge (a_n) ist konvergent, da sie eine Cauchy-Folge ist.

Answer

Die Folge (a_n) ist konvergent, da sie beschränkt ist.

Answer

Die Folge (a_n) ist konvergent, da sie monoton ist.

Question 22

Bestimmen Sie, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen 1.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 2.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Konvergenz der Reihe lässt sich nicht bestimmen.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über konvergente Folgen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine konvergente Folge strebt gegen einen eindeutigen Grenzwert.

Answer

Eine konvergente Folge kann mehrere Grenzwerte haben.

Answer

Eine konvergente Folge hat unendlich viele Werte.

Question 24

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (1/n)

Answer

∑ (n)

Answer

∑ (n^2)

Question 25

Was ist der Zweck einer Taylorreihe?

Accepted Answer

Eine Taylorreihe approximiert eine Funktion um einen bestimmten Punkt.

Answer

Eine Taylorreihe berechnet den Grenzwert einer Funktion.

Answer

Eine Taylorreihe bestimmt den Konvergenzradius einer Funktion.

Question 26

Welche der folgenden Potenzreihen stellt die Exponentialfunktion dar?

Accepted Answer

∑ (x^n/n!)

Answer

∑ (x^n)

Answer

∑ (x^n/2^n)

Answer

∑ (x^2n)

Question 27

Was gibt der Radius der Konvergenz einer Potenzreihe an?

Accepted Answer

Den Bereich, für den die Reihe konvergiert.

Answer

Den Grenzwert der Reihe.

Answer

Die Anzahl der Terme in der Reihe.

Question 28

Wie ist eine rekursive Folge definiert?

Accepted Answer

Durch einen Anfangswert und eine Rekursionsformel.

Answer

Durch eine Funktionsgleichung.

Answer

Durch eine explizite Formel.

Answer

Durch eine arithmetische Progression.

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑ (-1)^n * n

Answer

∑ 1/n

Answer

∑ n^2

Question 30

Was ist eine wesentliche Eigenschaft einer Cauchy-Folge?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen einen Grenzwert.

Answer

Sie hat einen endlichen Grenzwert.

Answer

Sie ist eine monoton wachsende Folge.

Question 31

Was ist das charakteristische Merkmal einer geometrischen Folge?

Accepted Answer

Jeder Term ist ein Vielfaches des vorherigen Terms.

Answer

Jeder Term ist die Summe des vorherigen Terms.

Answer

Jeder Term ist die Differenz des vorherigen Terms.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist für die Konvergenz einer Zahlenfolge $(a_n)$ richtig?

Accepted Answer

Existiert $lim_{n	oinfty} a_n$, so ist die Folge konvergent.

Answer

Existiert $lim_{n	oinfty} a_n$, so ist die Folge beschränkt.

Answer

Strebt eine Folge gegen unendlich, so ist sie konvergent.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

$f(x) = sum_{n=0}^infty rac{x^n}{n!}$

Answer

$f(x) = e^x$

Answer

$f(x) = ln(x)$

Answer

$f(x) = sin(x)$

Question 34

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Taylorreihe von f(x) = ln(x) um den Punkt x = 1.

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

x

Answer

x*ln(x)

Question 35

Welche der folgenden Reihen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑ (x^n / n!)

Answer

∑ (n)

Answer

∑ (1 / n²)

Answer

∑ (1 / n)

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist gleichmäßig konvergent?

Accepted Answer

∑ (1 / n²)

Answer

∑ (1 / n)

Answer

∑ (n²)

Answer

∑ (n)

Question 37

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ∑ (x^n / (2n + 1)) für x ∈ (-1, 1).

Accepted Answer

∑ (x^(n-1) / (2n + 1))

Answer

∑ (x^(n-1) / (2n))

Answer

∑ (x^(n+1) / (2n + 1))

Answer

∑ (x^n / (2n))

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Reihe ∑ (cos(nπ/2))?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie ist alternierend konvergent.

Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Question 39

Welche Aussage über die Reihe ∑ (n=1 bis unendlich) (1/n^2) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert

Answer

Die Reihe divergiert

Answer

Der Konvergenztest von Cauchy ist nicht anwendbar

Answer

Die Reihe ist alternierend

Question 40

Welche Aussage über die Taylorreihe von f(x) = e^x um den Punkt x = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Konvergenzradius der Reihe ist unendlich

Answer

Der Konvergenzradius der Reihe ist 1

Answer

Die Reihe ist alternierend

Answer

Die Reihe konvergiert nur für x = 0

Question 41

Welche Eigenschaft von Reihen ist für die Berechnung von Näherungswerten wichtig?

Accepted Answer

Konvergenz

Answer

Divergenz

Answer

Linearität

Answer

Alternierend

Question 42

Welche Aussage über den Wurzeltest ist richtig?

Accepted Answer

Er ist ein hinreichender Konvergenztest

Answer

Er ist weder ein hinreichender noch ein notwendiger Konvergenztest

Answer

Er ist ein notwendiger Konvergenztest

Answer

Er ist sowohl ein hinreichender als auch ein notwendiger Konvergenztest

Question 43

Welche Aussage über den Vergleichstest ist richtig?

Accepted Answer

Er ermöglicht es, die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe anhand einer bekannten Reihe zu bestimmen

Answer

Er ist ein hinreichender Konvergenztest

Question 44

Bestimme die Konvergenz der geometrischen Reihe 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ...

Accepted Answer

Konvergiert gegen 3

Answer

Nicht eindeutig

Answer

Divergiert

Answer

Alterniert

Question 45

Bestimme die Konvergenz der alternierenden Reihe (an) = ((-1)^n) / (n+1)

Accepted Answer

Konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium

Answer

Divergiert

Answer

Alterniert unendlich

Answer

Nicht eindeutig

Question 46

Berechne die Summe der Reihe Σ(n=1 bis ∞) (n+1) / (2^n)

Accepted Answer

6

Answer

4

Answer

8

Answer

10

Question 47

Berechne den Grenzwert der Folge (an) = (1 + 1/n)^n

Accepted Answer

e

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 48

Welche der folgenden Potenzreihen ist eine Taylorreihe um den Punkt x=0?

Accepted Answer

sum(n=0 to infinity) (x^n) / (n!)

Answer

sum(n=1 to infinity) (x^n) / e^n

Answer

sum(n=1 to infinity) (x^n) / n^2

Answer

sum(n=0 to infinity) (x^n) / 2^n

Question 49

Die Reihe sum(n=1 to infinity) (-1)^n / n:

Accepted Answer

Ist eine alternierende Reihe, die nach dem alternierenden Reihenkriterium konvergiert.

Answer

Ist eine harmonische Reihe.

Answer

Ist eine alternierende Reihe, die nach dem alternierenden Reihenkriterium divergiert.

Answer

Ist eine geometrische Reihe.

Question 50

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

sum(n=1 to infinity) 1/n

Answer

sum(n=1 to infinity) 1/n^2

Answer

sum(n=1 to infinity) 1/(2^n)

Answer

sum(n=1 to infinity) 1/e^n

Question 51

Welche Potenzreihe repräsentiert die Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

sum(n=0 to infinity) (x^n) / n!

Answer

sum(n=0 to infinity) (2x)^n / n!

Answer

sum(n=1 to infinity) (x^n) / n^2

Answer

sum(n=1 to infinity) (e^x)^n / n!

Question 52

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (n^2)

Answer

∑ n

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist eine Folge?

Accepted Answer

f(n) = n^2

Answer

f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x,y) = x + y

Question 54

Welche Aussage beschreibt eine konvergente Folge am besten?

Accepted Answer

Eine Folge, deren Werte sich einem bestimmten Grenzwert annähern.

Answer

Eine Folge, deren Werte immer weiter auseinander gehen.

Answer

Eine Folge, deren Werte einer Sinusfunktion folgen.

Question 55

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge 1, 2, 4, 8, 16, ...

Accepted Answer

∞

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 56

Welche Aussage über Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Summe von Folgengliedern.

Answer

Eine Reihe ist ein unendliches Produkt von Folgengliedern.

Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Differenz von Folgengliedern.

Question 57

Bestimmen Sie, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Oszilliert

Answer

Divergiert

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Question 58

Berechnen Sie die Ableitung der Potenzreihe f(x) = sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ...

Accepted Answer

f'(x) = cos(x) - x²/2! + x⁴/4! - ...

Answer

f'(x) = sin(x) - x²/2! - x⁴/4! - ...

Answer

f'(x) = cos(x) + x²/2! + x⁴/4! + ...

Answer

f'(x) = sin(x) + x²/2! - x⁴/4! + ...

Question 59

Welche Aussage über die Intervallkonvergenz von Potenzreihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Potenzreihe konvergiert entweder in einem offenen Intervall, in einem Halbinfiniten Intervall oder nirgends.

Answer

Eine Potenzreihe konvergiert immer in einem geschlossenen Intervall.

Question 60

Welche Methode kann verwendet werden, um eine Funktion in eine Taylorreihe zu entwickeln?

Accepted Answer

Ableitung und Einsetzen

Answer

Polynominterpolation

Answer

Integration und Einsetzen

Answer

Euler-Maclaurin-Summenformel

Question 61

Die Taylorreihe einer Funktion wird zur Approximation verwendet. Welche Aussage über den Fehler dieser Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Der Fehler ist kleiner als der Betrag des ersten nicht berücksichtigten Terms der Taylorreihe.

Answer

Der Fehler ist gleich dem Betrag des ersten nicht berücksichtigten Terms der Taylorreihe.

Answer

Der Fehler ist größer als der Betrag des ersten nicht berücksichtigten Terms der Taylorreihe.

Question 62

Welche Aussage beschreibt die Konvergenz einer Folge korrekt?

Accepted Answer

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn sich die Folgenglieder diesem Grenzwert beliebig nähern, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Eine Folge konvergiert, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder immer kleiner wird.

Answer

Eine Folge konvergiert, wenn alle Folgenglieder denselben Wert haben.

Question 63

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑(1/n^2)

Answer

∑(2^n)

Answer

∑(n)

Answer

∑(1/n)

Question 64

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑(x^n/n!).

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Answer

e