Vektorräume: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis ist sowohl ein minimales Erzeugendensystem als auch ein maximales unabhängiges System.

Answer

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.

Answer

Eine Basis ist ein maximales unabhängiges System.

Answer

Eine Basis ist ein Vektorraum mit endlicher Dimension.

Question 2

Sei V ein Vektorraum mit dim(V) = n. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Jede linear unabhängige Teilmenge von V mit n Vektoren ist eine Basis.

Answer

Jede Teilmenge von V mit n Vektoren ist eine Basis.

Answer

Jede Teilmenge von V mit mehr als n Vektoren ist linear abhängig.

Answer

Jede Teilmenge von V mit weniger als n Vektoren ist linear abhängig.

Question 3

Sei S eine Teilmenge eines Vektorraums V. Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend dafür, dass S ein Untervektorraum ist?

Accepted Answer

S ist abgeschlossen bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation.

Answer

S ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation und enthält den Nullvektor.

Answer

S ist abgeschlossen bezüglich der Addition und enthält den Nullvektor.

Answer

S enthält den Nullvektor und ist nicht leer.

Question 4

Welche der folgenden Matrizen stellt eine lineare Abbildung von R² nach R³ dar?

Accepted Answer

eine 2x3-Matrix

Answer

eine 2x2-Matrix

Answer

eine 3x2-Matrix

Answer

eine 3x3-Matrix

Question 5

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für eine lineare Abbildung T: V -> W?

Accepted Answer

Alle genannten Eigenschaften

Answer

T bewahrt die Nullvektoren.

Answer

T bewahrt die Addition.

Answer

T bewahrt die Skalarmultiplikation.

Question 6

Ein Vektorraum V besitzt eine Basis mit n Vektoren. Wie lautet die Dimension von V? Erläutern Sie Ihre Berechnung.

Accepted Answer

Die Dimension von V ist n, da sie der Anzahl der Vektoren in einer Basis von V entspricht.

Answer

Die Dimension von V ist n², da sie dem Quadrat der Anzahl der Vektoren in einer Basis von V entspricht.

Answer

Die Dimension von V ist 1, da sie unabhängig von der Anzahl der Vektoren in einer Basis von V ist.

Answer

Die Dimension von V entspricht der Anzahl der Elemente in V und kann durch Zählen der Elemente in V ermittelt werden.

Question 7

Sie haben einen Vektorraum V und Vektoren v₁, v₂, ..., vₙ in V. Wie können Sie den Satz über lineare Unabhängigkeit anwenden, um festzustellen, ob diese Vektoren linear unabhängig sind?

Accepted Answer

Berechnen Sie die Determinante der Matrix, die die Vektoren als Spalten enthält.

Answer

Überprüfen Sie, ob die Vektoren paarweise orthogonal sind.

Answer

Multiplizieren Sie die Vektoren miteinander und prüfen Sie, ob das Ergebnis der Nullvektor ist.

Question 8

Was ist die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge mit Addition und Skalarmultiplikation, die bestimmten Axiomen folgen.

Answer

Eine endlich dimensionale Menge mit linearen Operationen.

Answer

Ein Raum, in dem die Addition vertauschbar ist.

Answer

Eine Menge, die unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Question 9

Wie lässt sich die Beziehung zwischen Untervektorräumen und linearen Teilräumen charakterisieren? Nenne das Kriterium, um zu bestimmen, ob ein Untervektorraum auch ein linearer Teilraum ist.

Accepted Answer

Ein Untervektorraum ist genau dann ein linearer Teilraum, wenn er unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Jeder Untervektorraum ist ein linearer Teilraum.

Answer

Jeder lineare Teilraum ist ein Untervektorraum.

Answer

Ein linearer Teilraum ist ein Untervektorraum, wenn er eine Basis besitzt.

Question 10

Ein Vektorraum V hat die Dimension n. Wie viele linear unabhängige Vektoren enthält V maximal und warum?

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n - 1

Question 11

Gegeben sei ein Vektorraum V mit Dimension dim(V) = n. Beweisen Sie, dass jeder Untervektorraum von V eine Dimension kleiner oder gleich n hat.

Accepted Answer

Die Dimension eines Untervektorraums ist höchstens gleich der Dimension des Vektorraums.

Answer

Die Dimension eines Untervektorraums ist immer kleiner als die Dimension des Vektorraums.

Question 12

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Vektorraum über einem Körper K?

Accepted Answer

Eine nichtleere Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen, der Vektoraddition (+) und der skalaren Multiplikation (·), die folgende Axiome erfüllen:

Answer

Eine Menge von Vektoren mit bestimmten Eigenschaften

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über eine Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, das linear unabhängig ist.

Answer

Eine Basis ist ein maximales Erzeugendensystem, das linear abhängig ist.

Answer

Eine Basis ist ein beliebiges System von linear unabhängigen Vektoren.

Question 14

Sei V ein Vektorraum und W eine Teilmenge von V. Welche der folgenden Bedingungen ist ausreichend, damit W ein Untervektorraum von V ist?

Accepted Answer

W ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation.

Answer

W ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition.

Answer

W ist abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation.

Question 15

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

Eine bijektive lineare Abbildung.

Answer

Eine linear unabhängige lineare Abbildung.

Answer

Eine injektive lineare Abbildung.

Answer

Eine surjektive lineare Abbildung.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt in einem inneren Produktraum ist korrekt?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist symmetrisch, bilinear und positiv definit.

Answer

Das Skalarprodukt ist symmetrisch, linear und positiv semidefinit.

Answer

Das Skalarprodukt ist antisymmetrisch, bilinear und positiv definit.

Question 17

Welches der folgenden Beispiele stellt keinen Vektorraum dar?

Accepted Answer

Menge der positiven reellen Zahlen

Answer

Menge aller reellen Zahlen

Answer

Menge aller Polynome

Answer

Menge aller Vektoren im zweidimensionalen Raum

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist wahr?

Accepted Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist eine beliebige Teilmenge linear unabhängiger Vektoren.

Question 19

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Transformation zwischen zwei Vektorräumen?

Accepted Answer

[a b; c d]

Answer

[a b; c d; e f]

Answer

[a]

Answer

[a b; c]

Question 20

Welche der folgenden Teilmengen des Vektorraums R³ ist eine affine Teilmenge?

Accepted Answer

{(a, b, c) | a+b+c=1}

Answer

{(a, b, c) | a=b}

Answer

{(a, b, c) | a^2+b^2+c^2=1}

Answer

{(a, b, c) | a>0, b>0, c>0}

Question 21

Was ist die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine nichtleere Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Funktionen.

Answer

Eine Menge von skalaren Größen.

Question 22

Welche Bedingung muss eine Menge von Vektoren erfüllen, um linear unabhängig zu sein?

Accepted Answer

Kein Vektor der Menge kann als Linearkombination der anderen dargestellt werden.

Answer

Die Menge muss orthogonal zueinander sein.

Answer

Die Menge muss eine maximale Anzahl von Vektoren enthalten.

Question 23

Was versteht man unter der Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Summe aller Vektoren in dem Vektorraum.

Answer

Das Produkt aller Vektoren in dem Vektorraum.

Question 24

Welche Aussage über Basen eines Vektorraums ist falsch?

Accepted Answer

Eine Basis kann mehr Vektoren enthalten als die Dimension des Vektorraums.

Answer

Eine Basis spannt den Vektorraum auf.

Answer

Eine Basis ist linear unabhängig.

Question 25

Was ist eine Linearkombination von Vektoren?

Accepted Answer

Ein Vektor, der durch die Summierung von Vielfachen anderer Vektoren gebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Vektoren ist.

Answer

Ein Skalar.

Question 26

Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum und einem Untervektorraum?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, der eine höhere Dimension hat.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, der eine geringere Dimension hat.

Question 27

Welche der folgenden Operationen kann nicht auf Vektorräume angewendet werden?

Accepted Answer

Kreuzprodukt

Answer

Addition

Answer

Skalarmultiplikation

Answer

Lineare Transformation

Question 28

Was ist der Nullvektor eines Vektorraums?

Accepted Answer

Ein Vektor, bei dessen Addition zu jedem anderen Vektor sich dieser nicht ändert.

Answer

Ein Vektor, der die Länge 0 hat.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Vektoren ist.

Question 29

Definieren Sie einen Vektorraum.

Accepted Answer

Eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen (+, ·), die die Vektorraumaxiome erfüllen.

Answer

Ein Koordinatensystem mit einer Menge von Vektoren.

Answer

Eine Menge von Zahlen mit zwei Verknüpfungen (+, ·).

Question 30

Was charakterisiert einen Untervektorraum?

Accepted Answer

Eine Teilmenge des übergeordneten Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Er hat eine höhere Dimension als der übergeordnete Vektorraum.

Answer

Er ist orthogonal zum übergeordneten Vektorraum.

Question 31

Erläutern Sie das Konzept der linearen Unabhängigkeit von Vektoren.

Accepted Answer

Kein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Answer

Die Vektoren spannen den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Alle Vektoren sind Vielfache voneinander.

Question 32

Was ist ein Erzeugendensystem?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist immer eine Basis.

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einem Erzeugendensystem ist immer gleich der Dimension des Vektorraums.

Question 33

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine Matrix ist.

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 34

Erläutern Sie den Begriff des Kerns einer linearen Abbildung.

Accepted Answer

Der Untervektorraum, der auf die Null abgebildet wird.

Answer

Der Vektorraum, auf den die Abbildung wirkt.

Answer

Der Untervektorraum, der auf den Vektorraum abgebildet wird.

Question 35

Was ist die Bedeutung des Ranges einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Er ist gleich der Dimension des Bildes.

Answer

Er ist gleich der Anzahl der Spalten der Matrix, die die Abbildung darstellt.

Answer

Er ist gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix, die die Abbildung darstellt.

Answer

Er ist gleich der Dimension des Kerns.

Question 36

Definieren Sie Eigenvektoren und Eigenwerte.

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der bei einer linearen Abbildung auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird und der entsprechende Faktor ist der Eigenwert.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der bei einer linearen Abbildung auf die Null abgebildet wird.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen, Addition und Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind.

Answer

Eine Sammlung von Vektoren mit einer bestimmten Länge und Richtung.

Question 38

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Vektorsystem linear unabhängig ist?

Accepted Answer

Die einzige lineare Kombination, die den Nullvektor ergibt, ist diejenige, bei der alle Koeffizienten Null sind.

Answer

Die Vektoren des Systems stehen senkrecht zueinander.

Answer

Die Vektoren des Systems haben alle die gleiche Länge.

Question 39

Welche Aussage über eine Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist ein minimal erzeugendes System, bei dem die Vektoren linear unabhängig sind.

Answer

Eine Basis ist ein maximal erzeugendes System, bei dem die Vektoren linear abhängig sind.

Answer

Eine Basis ist eine orthonormale Menge von Vektoren.

Answer

Eine Basis ist eine lineare Kombination aus Vektoren des Vektorraums.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen trifft auf einen Untervektorraum eines Vektorraums zu?

Accepted Answer

Er ist selbst ein Vektorraum mit denselben Verknüpfungen.

Answer

Er ist eine Teilmenge des Vektorraums, die nicht alle Elemente enthält.

Answer

Er ist eine Menge von Vektoren, die orthogonal zueinander sind.

Question 41

Was ist die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Summe der Dimensionen seiner Untervektorräume.

Answer

Die Anzahl der Elemente des Vektorraums.

Question 42

Was trifft auf einen isomorphen Vektorraum zu?

Accepted Answer

Er hat die gleiche Dimension und äquivalente Eigenschaften wie ein anderer Vektorraum.

Answer

Er ist die direkte Summe zweier anderer Vektorräume.

Answer

Er ist ein Untervektorraum eines anderen Vektorraums.

Question 43

Welche Formel beschreibt das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y?

Accepted Answer

<x, y> = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn

Answer

<x, y> = x1/y1 + x2/y2 + ... + xn/yn

Answer

<x, y> = x1-y1 + x2-y2 + ... + xn-yn

Question 44

Welche der folgenden Aussagen definiert korrekt einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen (+ und ·) und zwei Elementen (0, 1), die die folgenden Axiome erfüllen.

Answer

Eine geometrische Figur, die durch Pfeile dargestellt wird.

Answer

Eine Sammlung von Vektoren, die alle parallel zueinander sind.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen sind.

Question 45

Wie lautet die Definition linearer Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keine Linearkombination der Vektoren den Nullvektor ergibt.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die Summe der Vektoren Null ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren parallel zueinander sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die Vektoren paarweise orthogonal sind.

Question 46

Nennen Sie ein Kriterium für ein Erzeugendensystem eines Vektorraums.

Accepted Answer

Jede Linearkombination der Vektoren des Erzeugendensystems kann jeden Vektor des Vektorraums erzeugen.

Answer

Die Anzahl der Vektoren im Erzeugendensystem muss gleich der Dimension des Vektorraums sein.

Answer

Die Vektoren des Erzeugendensystems müssen linear unabhängig sein.

Answer

Die Vektoren des Erzeugendensystems müssen paarweise orthogonal sein.

Question 47

Was versteht man unter einer Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Ein Erzeugendensystem, das linear unabhängig ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die die Summe Null ergeben.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthalten.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die alle parallel zueinander sind.

Question 48

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Komponenten der Vektoren.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der linearen Gleichungen, die den Vektorraum definieren.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Elemente im Vektorraum.

Question 49

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine Matrix ist.

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 50

Nennen Sie eine Anwendung von Vektorräumen in der Elektrotechnik.

Accepted Answer

Analyse elektrischer Schaltungen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Planung von Brücken

Answer

Vorhersage des Wetters

Question 51

Welche Aussage über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist Null.

Answer

Sie liegen auf derselben Geraden.

Answer

Sie haben die gleiche Länge.

Answer

Sie sind parallel zueinander.

Question 52

Welche Aussage über Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können zur Darstellung linearer Abbildungen verwendet werden.

Answer

Sie sind immer quadratisch.

Answer

Sie sind immer symmetrisch.

Answer

Sie können immer invertiert werden.

Question 53

Welches der folgenden Tupel ist ein Vektor im Vektorraum ℝ³?

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

(x, y, z) mit x + y + z = 0

Answer

4

Answer

(1, 2)

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist ein affiner Raum.

Answer

In einem Vektorraum sind alle Vektoren kollinear.

Question 55

Welcher der folgenden Vektorräume ist isomorph zum Vektorraum R³?

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Polynome dritten Grades mit reellen Koeffizienten

Answer

Der Vektorraum aller quadratischen Matrizen 3x3

Answer

Der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]

Question 56

Welche der folgenden Aussagen ist die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die Addition und die skalare Multiplikation genannt werden, die gewisse Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die durch Addition und Multiplikation verbunden sind.

Question 57

Welches der folgenden Axiome ist NICHT für Vektorräume erforderlich?

Accepted Answer

Das Assoziativgesetz für die Addition

Answer

Das Distributivgesetz für die skalare Multiplikation

Answer

Das Kommutativgesetz für die Addition

Answer

Das Einselement für die skalare Multiplikation

Question 58

Welche der folgenden Teilmengen eines Vektorraums V ist ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Eine Teilmenge W, die selbst ein Vektorraum bezüglich der Operationen in V ist.

Answer

Eine Teilmenge W, die abgeschlossen ist bezüglich der Addition.

Answer

Eine Teilmenge W, die eine Basis für V bildet.

Question 59

Was ist die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der Elemente in einer Basis.

Answer

Die Anzahl der Operationen, die im Vektorraum möglich sind.

Answer

Die Anzahl der Axiome, die der Vektorraum erfüllt.

Answer

Die Anzahl der Elemente im Vektorraum.

Question 60

Was ist eine lineare Abhängigkeit?

Accepted Answer

Eine Situation, in der eine Menge von Vektoren als Linearkombination einer Teilmenge der Menge ausgedrückt werden kann.

Answer

Eine Situation, in der eine Menge von Vektoren nicht als Linearkombination einer Teilmenge der Menge ausgedrückt werden kann.

Question 61

Welche der folgenden Aussagen ist über linear unabhängige Vektoren richtig?

Accepted Answer

Sie können nicht als Linearkombination einer Teilmenge der Menge ausgedrückt werden.

Answer

Ihre Anzahl ist immer gleich der Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie bilden immer eine Basis für den Vektorraum.

Question 62

Was ist eine Basis?

Accepted Answer

Eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den Vektorraum erzeugen.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine lineare Abhängigkeit bilden.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Question 63

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)}

Question 64

Was ist die Koordinatendarstellung eines Vektors in Bezug auf eine Basis?

Accepted Answer

Eine Liste von Skalaren, die die Linearkombination des Vektors in Bezug auf die Basis darstellen.

Answer

Eine Liste von Vektoren, die den Vektor aufspannen.

Answer

Eine Matrix, die den Vektor repräsentiert.