Numerische lineare Algebra: Online-Quizze für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme basiert auf der Zerlegung einer Matrix in obere und untere Dreiecksmatrizen?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 2

Mit welcher Methode können Eigenwerte und Eigenvektoren gleichzeitig berechnet werden?

Accepted Answer

Schur-Zerlegung

Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jacobi-Methode

Question 3

Welche iterative Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme konvergiert am schnellsten?

Accepted Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Gauß-Seidel-Methode

Answer

SOR-Methode

Question 4

Welche der folgenden Anwendungen der numerischen linearen Algebra ist in der Elektrotechnik nicht weit verbreitet?

Accepted Answer

Textverarbeitung

Answer

Entwurf von Filtern

Answer

Analyse von Schaltungsnetzwerken

Answer

Lösen von partiellen Differentialgleichungen

Question 5

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind alle reell und verschieden.

Answer

Sie sind alle komplex und konjugiert zueinander.

Answer

Ihre Summe ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Ihr Produkt ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 6

Was versteht man unter der Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Sensitivität der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen der Koeffizienten.

Answer

Ein Maß für die Größe der Matrix.

Answer

Ein Maß für den Diagonalisierungsgrad der Matrix.

Answer

Ein Maß für die Determinante der Matrix.

Question 7

Worauf beruht das Prinzip der Gaußschen Elimination?

Accepted Answer

Sukzessive Umwandlung einer Matrix in Dreiecksform durch Zeilenoperationen.

Answer

Berechnung von Eigenwerten mittels Iterationsverfahren.

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme durch Faktorisierung.

Answer

Berechnung der Determinante einer Matrix.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen zum Jacobi-Verfahren ist falsch?

Accepted Answer

Das Jacobi-Verfahren ist immer konvergent.

Answer

Das Jacobi-Verfahren ist iterativ.

Answer

Das Jacobi-Verfahren eignet sich zur Lösung großer, dünn besetzter Systeme.

Answer

Das Jacobi-Verfahren ist schneller als die Gaußsche Elimination.

Question 9

Was ist eine QR-Zerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Faktorisierung in der Form A = QR, wobei Q eine orthogonale und R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer

Eine Faktorisierung in der Form A = QR, wobei Q eine obere Dreiecksmatrix und R eine orthogonale Matrix ist.

Answer

Eine Faktorisierung in der Form A = QR, wobei Q eine unitäre und R eine symmetrische Matrix ist.

Answer

Eine Faktorisierung in der Form A = QR, wobei Q eine symmetrische und R eine unitäre Matrix ist.

Question 10

Das Residuum eines linearen Gleichungssystems ist:

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem berechneten Wert und dem tatsächlichen Wert der Lösung

Answer

Die Anzahl der Gleichungen minus der Anzahl der Unbekannten

Answer

Die Summe der Koeffizienten der Matrix

Answer

Die Determinante der Matrix

Question 11

Numerische Stabilität bedeutet:

Accepted Answer

Der Algorithmus liefert genaue Ergebnisse auch bei kleinen Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Der Algorithmus ist immer schnell und effizient.

Answer

Der Algorithmus findet immer die exakte Lösung.

Answer

Der Algorithmus ist unempfindlich gegenüber Rundungsfehlern.

Question 12

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme führt eine Matrix auf obere Dreiecksform?

Accepted Answer

Gauss-Eliminationsverfahren

Answer

Rückwärtseinsetzungsverfahren

Answer

Pivot-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 13

Welche Aussage über das Gauß-Jordan-Verfahren ist falsch?

Accepted Answer

Es ist für die Berechnung von Eigenwerten geeignet.

Answer

Es führt eine Matrix auf Diagonalform.

Answer

Es kann die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme bestimmen.

Answer

Es kann die Inverse einer Matrix berechnen.

Question 14

Welches iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist besonders für Matrizen mit vielen Nullen geeignet?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Answer

Kongruentengradientenverfahren

Question 15

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen in den Koeffizienten

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Spur der Matrix

Answer

Den Rang der Matrix

Question 16

In welchen Bereichen der Elektrotechnik finden lineare Algebra Anwendung?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Signalverarbeitung

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Steuerungstheorie

Question 17

Welche Methode eignet sich am besten zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix mit großem Maßstab?

Accepted Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Potenzmethode

Answer

Jacobi-Iteration

Question 18

Was ist die Definition des Spektralradius einer Matrix A?

Accepted Answer

Der größte Betrag der Eigenwerte der Matrix A.

Answer

Der kleinste Betrag der Eigenwerte der Matrix A.

Answer

Der Mittelwert der Eigenwerte der Matrix A.

Answer

Der Rang der Matrix.

Question 19

Welche der folgenden Matrizen ist eine Vandermonde-Matrix?

Accepted Answer

[1 4 9]

Answer

[1 2 3]

Answer

[1 1 1]

Answer

[0 1 0]

Question 20

Welche der folgenden Transformationen ist eine Ähnlichkeitstransformation?

Accepted Answer

Rotation

Answer

Skalierung

Answer

Translation

Answer

Spiegelung

Question 21

Was ist die Definition der Frobeniusnorm einer Matrix A?

Accepted Answer

Die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente der Matrix A.

Answer

Die Summe der Beträge aller Elemente der Matrix A.

Answer

Die Determinante der Matrix A.

Answer

Der Rang der Matrix A.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über symmetrische Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Ihre Determinante ist immer positiv.

Answer

Ihre Eigenwerte sind reell.

Answer

Ihre Eigenvektoren sind orthogonal.

Answer

Sie können diagonalisiert werden.

Question 23

Welche Methode wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer singulären Matrix verwendet?

Accepted Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 24

Welche Methode wird verwendet, um die Eigenwerte einer Matrix zu berechnen?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Pivotalkondensation

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauss-Elimination

Question 25

Was ist die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Empfindlichkeit einer Matrix gegenüber Störungen

Answer

Ein Maß für die Determinante einer Matrix

Answer

Ein Maß für den Rang einer Matrix

Question 26

Was ist eine Householder-Spiegelung?

Accepted Answer

Eine lineare Transformation, die einen Vektor auf einen anderen Vektor spiegelt und dabei den Nullraum erhält

Answer

Eine lineare Transformation, die einen Vektor orthogonalisiert

Answer

Eine lineare Transformation, die einen Vektor auf sich selbst projiziert

Question 27

Was ist der Zweck der Cholesky-Zerlegung?

Accepted Answer

Berechnung der Quadratwurzel einer symmetrisch positiven definiten Matrix

Answer

Berechnung der Eigenwerte einer symmetrischen Matrix

Answer

Berechnung der Inverse einer symmetrischen Matrix

Question 28

Welches der folgenden Kriterien ist für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme entscheidend?

Accepted Answer

Die Matrix muss diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss invertierbar sein.

Answer

Die Matrix muss positiv definit sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Question 29

Welche der folgenden Eigenschaften ist charakteristisch für eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Ihre Inverse ist gleich ihrer Transponierten.

Answer

Ihre Determinante ist gleich -1.

Answer

Ihre Hauptdiagonale besteht aus Einsen.

Answer

Ihre Spur ist gleich 1.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat **immer** eindeutig eine Lösung.

Answer

Die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems kann größer als eins sein.

Answer

Die Lösungsmenge eines lineares Gleichungssystems kann leer sein.

Question 31

Welche der folgenden Methoden wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Quadratwurzelverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Question 32

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale der Matrix.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenwerte einer Matrix sind **immer** reell.

Answer

Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind immer reell.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind charakteristische Werte der Matrix.

Answer

Eigenwerte einer Matrix können Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms sein.

Question 34

Welche der folgenden Methoden wird zur Berechnung von Eigenwerten verwendet?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Bisektion

Answer

Gradientenverfahren

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Matrizen ist **falsch**?

Accepted Answer

Orthogonale Matrizen haben ein Orthogonalitätsverhältnis von 0.

Answer

Orthogonale Matrizen sind invertierbar.

Answer

Orthogonale Matrizen haben eine Determinante gleich 1.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Singularwertzerlegung ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Singularwertzerlegung kann nur für quadratische Matrizen durchgeführt werden.

Answer

Die Singularwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Die Singularwertzerlegung kann verwendet werden, um den Rang einer Matrix zu bestimmen.

Question 37

Welche der folgenden Anwendungen ist für die numerische lineare Algebra relevant?

Accepted Answer

Lösen von Finite-Elemente-Gleichungen

Answer

Berechnung von Primzahlen

Answer

Sortierung von Daten

Answer

Darstellung von Graphen

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über die numerische lineare Algebra ist **falsch**?

Accepted Answer

Numerische lineare Algebra ist eine exakte Wissenschaft.

Answer

Numerische lineare Algebra beschäftigt sich mit der Entwicklung von Algorithmen zur Lösung linearer Probleme.

Answer

Numerische lineare Algebra ist für viele Anwendungen in Wissenschaft und Technik von entscheidender Bedeutung.

Question 39

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um ein großes, dünn besetztes lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 40

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Sie misst, wie stark sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems durch kleine Änderungen in den Koeffizienten der Matrix verändert.

Answer

Die Summe der Elemente der Matrix.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix.

Question 41

Wie lautet das Ergebnis der QR-Zerlegung einer Matrix A?

Accepted Answer

A = QR, wobei Q eine orthogonale Matrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer

A = SΛS⁻¹, wobei S eine Matrix aus Eigenvektoren und Λ eine Diagonalmatrix aus Eigenwerten ist.

Answer

A = LU, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und U eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer

A =  B + C, wobei B eine symmetrische und C eine schiefsymmetrische Matrix ist.

Question 42

Welches Verfahren ist besonders gut geeignet, um die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu finden?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Potenzmethode

Answer

Inverse Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Question 43

Welche Aussage über Eigenvektoren einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren bleiben bei einer linearen Transformation in die gleiche Richtung, werden aber möglicherweise skaliert.

Answer

Eigenvektoren sind nur für quadratische Matrizen definiert.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren ändern ihre Richtung bei einer linearen Transformation.

Question 44

Was ist der Vorteil der Verwendung einer iterativen Methode zur Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Iterative Methoden können für große, dünn besetzte Matrizen effizient sein.

Answer

Sie sind immer schneller als direkte Methoden.

Answer

Sie sind weniger anfällig für Rundungsfehler.

Answer

Sie liefern immer die exakte Lösung.

Question 45

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten in der Matrix.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Spalten in der Matrix.

Question 46

Welches Verfahren kann zur Berechnung der Eigenvektoren einer Matrix verwendet werden, nachdem die Eigenwerte bekannt sind?

Accepted Answer

Inverse Iteration

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Algorithmus

Question 47

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems konvergiert?

Accepted Answer

Die Matrix muss diagonal dominant sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss orthogonal sein.

Answer

Die Matrix muss singulär sein.

Question 48

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante ist Null, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Die Determinante ist immer gleich der Summe der Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante ist immer positiv.

Answer

Die Determinante ist immer gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Gaußschen Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme korrekt?

Accepted Answer

Er wandelt die Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix um.

Answer

Er verwendet Determinanten zur Berechnung von Lösungen.

Answer

Er löst Gleichungssysteme direkt durch Inversion der Koeffizientenmatrix.

Question 50

Was ist die Definition eines Eigenwertes einer quadratischen Matrix?

Accepted Answer

Ein Skalar, für den es einen nicht-trivialen Eigenvektor gibt.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zur Matrix steht.

Answer

Eine Zahl, die der Determinante der Matrix entspricht.

Question 51

Welche Methode eignet sich zur Berechnung von Eigenwerten einer Matrix?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 52

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie bilden eine Basis für den Eigenraum des zugehörigen Eigenwerts.

Answer

Sie sind immer normiert auf Länge 1.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Question 53

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn sie paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt.

Answer

Wenn sie keine mehrfachen Eigenwerte besitzt.

Answer

Wenn sie nur reelle Eigenwerte besitzt.

Answer

Wenn sie nur komplexe Eigenwerte besitzt.

Question 54

Welches Kriterium ist notwendig für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix?

Accepted Answer

Sie muss eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzen.

Answer

Sie muss symmetrisch sein.

Answer

Sie muss quadratisch sein.

Question 55

Was kennzeichnet die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Elemente auf der Diagonalen.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 56

Welche Eigenschaft gilt für eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Ihre Inverse ist gleich ihrer Transponierten.

Answer

Ihre Determinante ist gleich -1.

Answer

Ihre Eigenwerte sind alle gleich 1.

Answer

Ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig.

Question 57

Welche Zerlegung kann für eine positiv definite Matrix durchgeführt werden?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

SVD-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 58

Nennen Sie eine Anwendung numerischer linearer Algebra in der Elektrotechnik.

Accepted Answer

Lösen von Gleichungssystemen in der Schaltungsanalyse

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Statistik

Answer

Optimierung von Portfolios im Finanzwesen

Question 59

Welche Methode ist für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer hohen Anzahl an Gleichungen und Variablen am effizientesten?

Accepted Answer

Iterative Verfahren (z. B. Gauß-Seidel-Verfahren)

Answer

Direkte Verfahren (z. B. Gauß-Elimination)

Answer

Cramer's Regel

Answer

Determinantenmethode

Question 60

Was versteht man unter dem Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der bei Multiplikation mit der Matrix seine Richtung beibehält und lediglich skaliert wird.

Answer

Ein Vektor, dessen Multiplikation mit der Matrix die Determinante der Matrix verändert.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zur Matrix ist.

Question 61

Welche Aussage über das Gauß-Seidel-Verfahren ist **nicht** zutreffend?

Accepted Answer

Es liefert in jedem Fall eine exakte Lösung, unabhängig von der Matrix.

Answer

Es kann für große Matrizen schneller sein als die Gauß-Elimination.

Answer

Es verwendet vorherige Näherungen, um die nächste zu berechnen.

Answer

Es ist iterativ und nähert sich schrittweise der Lösung an.

Question 62

Welche Methode eignet sich am besten zur Berechnung der Eigenwerte einer symmetrischen Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus oder Potenzmethode

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Cramer's Regel

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 63

Unter welcher Bedingung hat ein lineares Gleichungssystem keine eindeutige Lösung?

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist gleich Null.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist eine diagonale Matrix.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist eine obere Dreiecksmatrix.

Question 64

Welche Eigenschaft gilt für alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix?

Accepted Answer

Sie sind reell.

Answer

Sie sind negativ.

Answer

Sie sind komplex.

Answer

Sie sind positiv.