Lineare Abbildungen: Interaktive Quizfragen für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Sie bewahrt Addition und skalare Multiplikation von Vektoren.

Answer

Ihre Matrixdarstellung ist immer invertierbar.

Answer

Sie ist eine eineindeutige Abbildung.

Answer

Sie besitzt stets einen eindeutigen Kern.

Question 2

Berechnen Sie die Determinante der Matrix [2 1; -3 2].

Accepted Answer

7

Answer

4

Answer

-4

Answer

-7

Question 3

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist immer ein Untervektorraum.

Answer

Er besteht ausschließlich aus dem Nullvektor.

Answer

Er ist nur bei invertierbaren Abbildungen definiert.

Answer

Er steht senkrecht zum Bild der Abbildung.

Question 4

Welche Operation ist bei linearen Abbildungen nicht abgeschlossen?

Accepted Answer

Invertierung

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit einer Zahl

Answer

Komposition

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Determinante ihrer transponierten Matrix.

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 7

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine Transformation, die die Länge von Vektoren nicht verändert?

Accepted Answer

Isometrie

Answer

Homöomorphie

Answer

Ähnlichkeit

Answer

Kongruenz

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Orthogonale Matrizen sind stets invertierbar.

Answer

Orthogonale Matrizen haben eine Determinante von 1.

Answer

Orthogonale Matrizen repräsentieren Drehungen oder Spiegelungen.

Question 9

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse von A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[[4, -2], [-3, 1]]

Answer

[[1, -2], [-3, 4]]

Answer

[[4, 2], [3, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 10

Welche Matrixdarstellung hat die lineare Abbildung f: R² → R mit f(x, y) = 2x + 3y?

Accepted Answer

[[2, 3]]

Answer

[[3, 2]]

Answer

[[2, 0], [3, 0]]

Answer

[[0, 2], [0, 3]]

Question 11

Was ist die Spur der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

Die Summe der Diagonalelemente

Answer

Die Determinante von A

Answer

Der Rang von A

Answer

Der Kern von A

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist immer invertierbar.

Answer

Eine lineare Abbildung erhält Linearkombinationen.

Answer

Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab.

Answer

Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wird durch eine Matrix dargestellt.

Question 13

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die eine Drehung um 90° im Uhrzeigersinn um den Ursprung durchführt?

Accepted Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[-1, 0], [0, 1]]

Question 14

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 3], [-1, 2]]

Accepted Answer

7

Answer

1

Answer

2

Answer

5

Question 15

Welche Matrizenart wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem darzustellen?

Accepted Answer

Koeffizientenmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Dreiecksmatrix

Answer

Einheitsmatrix

Question 16

Welche Eigenschaft einer Matrix garantiert, dass die zugehörige lineare Abbildung invertierbar ist?

Accepted Answer

Regulär

Answer

Quadratisch

Answer

Diagonalisierbar

Answer

Symmetrisch

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Welche Matrix stellt die lineare Abbildung f(x) = 2x + 3 dar?

Accepted Answer

[2 3]

Answer

[2 1]

Answer

[1 2]

Answer

[3 2]

Question 19

Berechne die Determinante der Matrix [2 1; 3 4].

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

1

Answer

-1

Question 20

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist surjektiv?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 21

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die Vektoren um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn dreht?

Accepted Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 22

Die Determinante einer Matrix ist:

Accepted Answer

Ein Maß für die Orientierung der Matrix

Answer

Ein Maß für die Größe der Matrix

Answer

Ein Maß für die Injektivität der durch die Matrix repräsentierten Abbildung

Answer

Ein Maß für die Surjektivität der durch die Matrix repräsentierten Abbildung

Question 23

Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b, wobei A eine invertierbare Matrix ist, ist:

Accepted Answer

Ein eindeutiger Vektor x

Answer

Eine unendlich große Menge von Vektoren x

Answer

Eine leere Menge

Answer

Ein Vektor x, der parallel zu A ist

Question 24

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

g(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

h(x) = |x|

Answer

k(x) = x^2

Question 25

Die Eigenwerte einer Matrix sind:

Accepted Answer

Die Werte, für die die Matrix eine Eigenbasis besitzt.

Answer

Die Werte, für die die Matrix invertierbar ist.

Answer

Die Werte, für die die Matrix singulär ist.

Answer

Die Werte, für die die Determinante der Matrix Null ist.

Question 26

Die Jordan-Normalform einer Matrix A ist:

Accepted Answer

Eine Matrix, die nur Jordan-Blöcke auf der Hauptdiagonale hat.

Answer

Eine Matrix, die nur Eigenwerte auf der Hauptdiagonale hat.

Answer

Eine Matrix, die nur Nullen auf der Hauptdiagonale hat.

Answer

Eine Matrix, die nur Einsen auf der Hauptdiagonale hat.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Verhalten linearer Abbildungen?

Accepted Answer

Sie transformieren Linearkombinationen in Linearkombinationen.

Answer

Sie berechnen Determinanten.

Answer

Sie invertieren Matrizen.

Question 28

Welche Eigenschaften zeichnen lineare Abbildungen aus?

Accepted Answer

Additivität und Homogenität

Answer

Injektivität und Surjektivität

Answer

Invertibilität und Diagonalisierbarkeit

Answer

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question 29

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung von R² nach R²?

Accepted Answer

[[1, 2],[3, 4]]

Answer

[[1, 2, 3],[4, 5],[6, 7]]

Answer

[[1, 2, 3],[4, 5, 6]]

Question 30

Welche der folgenden Abbildungen von R nach R ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 31

Welche Aussage über Eigenwerte linearer Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms.

Answer

Sie sind immer reell.

Question 32

Welche Determinante muss eine Matrix einer linearen Abbildung haben, um injektiv zu sein?

Accepted Answer

Ungleich 0

Answer

Größer als 1

Answer

Kleiner als 0

Answer

Gleich 0

Question 33

Welche Eigenschaft einer linearen Abbildung impliziert ihre Injektivität?

Accepted Answer

Distanztreue

Answer

Stetigkeit

Answer

Differenzierbarkeit

Answer

Integrierbarkeit

Question 34

Welche der folgenden Abbildungen ist eine affine Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 35

Welche Aussage charakterisiert eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Abbildung des Nullvektors auf den Nullvektor und Erhaltung der Linearkombination für alle Skalare und Vektoren

Answer

Erhaltung des Abstands zwischen Vektoren

Answer

Abhängigkeit des Funktionswerts vom Betrag des Vektors

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **wahr**?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen bilden Geraden auf Geraden oder Punkte ab.

Answer

Lineare Abbildungen invertieren immer Vektoren.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer nichtlinear.

Answer

Lineare Abbildungen sind nur für eindimensionale Räume definiert.

Question 37

Welche Determinante hat die Matrix einer linearen Abbildung, die eine **Spiegelung an der y-Achse** darstellt?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 38

Welche der folgenden Eigenschaften gilt **nicht** für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen invertieren immer Vektoren.

Answer

Lineare Abbildungen haben einen Rang.

Answer

Lineare Abbildungen bilden lineare Kombinationen auf lineare Kombinationen ab.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Question 39

Welche Matrix repräsentiert eine lineare Abbildung, die einen Vektor um den Faktor 3 **skaliert**?

Accepted Answer

[[3, 0], [0, 3]]

Answer

[[3, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 3], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 3]]

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist die **Inverse** der Matrix einer linearen Abbildung, die einen Vektor um die x-Achse spiegelt?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 41

Welche Eigenschaft trifft auf die Umkehrfunktion einer linearen Abbildung zu?

Accepted Answer

Sie ist ebenfalls linear.

Answer

Sie existiert immer.

Answer

Sie ist immer eine rationale Funktion.

Answer

Sie ist immer eine Polynomfunktion.

Question 42

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = (x, y, z)

Answer

f(x, y) = (x², y²)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y))

Question 43

Welche Matrix ist die Adjungierte von A = [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

A* = [4 -2; -3 1]

Answer

A* = [2 -1; 3 4]

Answer

A* = [4 3; -2 -1]

Answer

A* = [1 2; -3 4]

Question 44

Welche der folgenden Abbildungen ist eine Eigenabbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 45

Welche Eigenschaft gilt für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Sie erhalten Linearkombinationen.

Answer

Sie sind nur für endlichdimensionale Vektorräume definiert.

Answer

Sie verändern die Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie sind nicht stetig.

Question 46

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 47

Welche der folgenden Abbildungen ist bijektiv?

Accepted Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 48

Welche der folgenden Abbildungen ist eine orthogonale Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = [[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]x

Answer

f(x) = [[1, 1], [0, 1]]x

Answer

f(x) = [[0, 1], [1, 0]]x

Answer

f(x) = [[1, 0], [1, 1]]x

Question 49

Welche der folgenden Abbildungen ist eine selbstadjungierte Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = -x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 50

Was beschreibt der Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildvektorraums.

Answer

Er ist immer gleich dem Kern der Abbildung.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist unabhängig vom Zielvektorraum.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **falsch**?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung kann immer durch eine Matrix dargestellt werden, **sofern die Vektorräume endlichdimensional sind.**

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Answer

Die Nullvektorabbildung ist eine lineare Abbildung.

Question 52

Sei  f: R² → R³ eine lineare Abbildung mit f( (1, 0) ) = (1, 2, 3) und f( (0, 1) ) = (4, 5, 6). Bestimmen Sie f( (2, 3) ).

Accepted Answer

(14, 19, 24)

Answer

(6, 8, 10)

Answer

(5, 7, 9)

Answer

(2, 3, 4)

Question 53

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung f: R² → R² mit f( (x, y) ) = (x + 2y, 3x - y) ?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, -1]]

Answer

[[1, 2], [3, 1]]

Answer

[[2, 1], [3, -1]]

Answer

[[1, 3], [2, -1]]

Question 54

Sei A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[5, 6], [7, 8]]. Welche Matrix entspricht der Produktmatrix AB?

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[1, 2], [7, 8]]

Answer

[[5, 6], [21, 24]]

Answer

[[6, 8], [15, 20]]

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist Null, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Die Determinante einer Matrix entspricht dem Produkt ihrer Diagonalelemente. **(Nur für Diagonalmatrizen)**

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 56

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]

Accepted Answer

2

Answer

6

Answer

10

Answer

8

Question 57

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse der Matrix A = [[2, 1], [3, 2]]?

Accepted Answer

[[2, -1], [-3, 2]]

Answer

[[2, 1], [3, 2]]

Answer

[[1, -1], [-3, 2]]

Answer

[[2, 3], [1, 2]]

Question 58

Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix A = [[1, 0], [0, -1]] beschrieben?

Accepted Answer

Spiegelung an der x-Achse

Answer

Streckung in x-Richtung um den Faktor 2

Answer

Drehung um 90° im Uhrzeigersinn

Answer

Verschiebung um 1 Einheit nach rechts

Question 59

Sei f: R³ → R³ eine lineare Abbildung, deren Matrixdarstellung A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] ist. Welches ist der Rang von f?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

0

Question 60

Sei f: R² → R³ eine lineare Abbildung, deren Kern dim(Ker(f)) = 1 ist. Welche Aussage über den Rang von f ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Rang von f ist 1.

Answer

Der Rang von f ist 0.

Answer

Der Rang von f ist 3.

Answer

Der Rang von f ist 2.