Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche Aussage über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Ein Grenzwert ist abhängig vom gewählten Weg, auf dem man sich dem Grenzpunkt nähert.

Answer

Ein Grenzwert existiert, wenn der Funktionswert sich einer festen Zahl beliebig nähert.

Answer

Ein Grenzwert ist immer eine Zahl.

Answer

Ein Grenzwert kann ∞ oder -∞ sein.

Question 2

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 3

Welche Aussage über die Stetigkeit von Polynomfunktionen ist richtig?

Accepted Answer

Polynomfunktionen sind an allen Stellen stetig.

Answer

Polynomfunktionen haben nur an rationalen Stellen Unstetigkeitsstellen.

Answer

Polynomfunktionen haben nur an irrationalen Stellen Unstetigkeitsstellen.

Answer

Polynomfunktionen haben nur an Stellen mit ungeraden Exponenten Unstetigkeitsstellen.

Question 4

Beschreibe, wie die geometrische Interpretation des Grenzwerts einer Funktion Einblicke in die globale Form ihres Graphen liefert.

Accepted Answer

Globale Form

Answer

Lokales Verhalten

Answer

Längster Weg

Answer

Keine Information

Question 5

Bestimme, ob die Funktion f(x) = |x - 2| an der Stelle x = 2 stetig ist. Erläutere deine Antwort.

Accepted Answer

f(x) ist stetig an der Stelle x = 2, da der Grenzwert von f(x) für x gegen 2 existiert und gleich f(2) ist.

Answer

f(x) ist nicht stetig an der Stelle x = 2, da der Funktionswert an der Stelle x = 2 nicht definiert ist.

Answer

f(x) ist stetig links, aber nicht stetig rechts von x = 2.

Answer

f(x) ist nicht stetig links, aber stetig rechts von x = 2.

Question 6

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x - 2| stetig?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = -2

Answer

x = 0

Answer

f(x) ist nirgends stetig

Question 7

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den folgenden Grenzwert zu berechnen?

lim (x -> 0) (sin(x) / x)

Accepted Answer

Satz von l'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Cauchyscher Grenzwertsatz

Answer

Keine der gegebenen Optionen

Question 8

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Question 9

Berechne den Grenzwert:

lim (x -> -∞) (x² / (x³ + 1))

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x³ - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 11

Zeige mit Hilfe der Epsilon-Delta-Definition, dass die Summe zweier stetiger Funktionen an einem Punkt stetig ist.

Accepted Answer

Nutze die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit.

Answer

Bestimme den Grenzwert der Summe.

Answer

Überprüfe die Stetigkeit der einzelnen Funktionen.

Answer

Wende den Satz vom größten und kleinsten Wert an.

Question 12

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von f(x) = x^2 - 1 für x gegen unendlich zu berechnen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Polynome

Answer

Satz von l'Hospital

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Satz für den Grenzwert des Quotienten

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 14

Was ist die Definition eines Grenzwertes?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion für ein bestimmtes Argument unendlich annähert

Answer

Der Wert, den eine Funktion für ein bestimmtes Argument annimmt

Answer

Der Wert, für den eine Funktion unstetig ist

Answer

Der Wert, für den eine Funktion eine Nullstelle hat

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über einen Grenzwert ist richtig?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig.

Answer

Ein Grenzwert existiert entweder oder er existiert nicht.

Answer

Ein Grenzwert kann unendlich sein.

Answer

Ein Grenzwert kann für einen einseitigen Grenzwert existieren, aber nicht für den anderen.

Question 16

Welche Funktion hat einen Hebepunkt bei x = 3?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 3x^2

Answer

f(x) = x^3 + 3x^2

Answer

f(x) = x^4 - 3x^2

Answer

f(x) = x^4 + 3x^2

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von l'Hospital ist richtig?

Accepted Answer

Er kann verwendet werden, um Grenzwerte von rationalen Funktionen zu berechnen.

Answer

Er kann verwendet werden, um Grenzwerte von irrationalen Funktionen zu berechnen.

Answer

Er kann verwendet werden, um Grenzwerte von trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a korrekt?

Accepted Answer

Wenn der Funktionswert f(x) sich einer Zahl L nähert, wenn x sich der Zahl a nähert.

Answer

Wenn die Funktion f(x) an der Stelle x = a definiert ist.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen ist eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Es existiert ein Grenzwert lim f(x) für x gegen a und dieser Grenzwert ist gleich dem Funktionswert f(a).

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 21

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es, den Grenzwert von (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1 zu berechnen?

Accepted Answer

L'Hôpitalsche Regel

Answer

Quotientenregel

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Kettenregel

Question 22

Welche Aussage über die Funktion f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie besitzt eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei x = 1.

Answer

Sie ist an allen Stellen stetig.

Answer

Sie besitzt eine Sprungunstetigkeitsstelle bei x = 1.

Question 23

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 0) sin(1 / x)

Answer

lim (x -> 0) cos(x)

Answer

lim (x -> 0) e^x

Answer

lim (x -> 0) x^2

Question 24

Welcher der folgenden Grenzwertsätze kann verwendet werden, um den Grenzwert von lim (x -> 0) (1 + x)^(1/x) zu bestimmen?

Accepted Answer

Logarithmensatz

Answer

Grenzwertsatz für trigonometrische Funktionen

Answer

Grenzwertsatz für rationale Funktionen

Answer

Grenzwertsatz für Potenzen

Question 25

Welcher der folgenden Sätze ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Die Funktion muss im Punkt linksseitig und rechtsseitig stetig sein.

Answer

Die Funktion muss im Punkt linksseitig stetig sein.

Answer

Die Funktion muss im Punkt stetig sein.

Answer

Die Funktion muss im Punkt rechtsseitig stetig sein.

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat im Punkt x = 0 einen Hebungssprung?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1| - |x + 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = e^x

Question 27

Mit welchem Grenzwertsatz lässt sich der Grenzwert von lim (x->2) (x^2 - 3x + 2) bestimmen?

Accepted Answer

Einsetzen

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Faktorisieren

Answer

Limesregel von Quotienten

Question 28

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Hebungsstelle?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Polstelle?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x sin(x))

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 30

Ermitteln Sie den Grenzwert: lim (x->0) (sin(x) / x).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

unbestimmt

Question 31

Sei f(x) = (x-1)²/(x-1) für x ≠ 1 und f(1) = 2. An welcher Stelle ist f(x) nicht stetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

f(x) ist überall stetig

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 32

Sei f(x) = x³ - 2x² + x. Verwenden Sie den Epsilon-Delta-Kriterium, um zu zeigen, dass f(x) an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Für jedes ∈ > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - f(1)| < ∈ für alle x mit |x - 1| < δ

Answer

Für jedes ∈ > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x)| < ∈ für alle x mit |x - 1| < δ

Answer

Für jedes ∈ > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(1) - f(x)| < ∈ für alle x mit |x - 1| < δ

Question 33

Sei f(x) eine Funktion mit f(1) = 0 und f'(x) > 0 für alle x. Welche Aussage trifft auf f(x) zu?

Accepted Answer

f(x) ist streng monoton wachsend

Answer

f(x) ist streng monoton abnehmend

Answer

f(x) hat mindestens eine Nullstelle

Answer

f(x) ist beschränkt

Question 34

Bestimmen Sie den Grenzwert von lim(x->∞) (x^2 + 2x - 1) / (x^2 + 1).

Accepted Answer

1

Answer

undefiniert

Answer

0

Answer

∞

Question 35

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) an der Stelle x = 2.

Accepted Answer

5/3

Answer

1

Answer

3

Answer

undefiniert

Question 36

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim_(x→a) f(x)

Answer

∂f(x)/∂x⁄x=a

Answer

ϵf(x)

Answer

f(a)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine stetige Funktion f(x) an einer Stelle a?

Accepted Answer

lim_(x→a) f(x) = f(a)

Answer

f(x) ist an der Stelle a differenzierbar

Answer

f'(a) = 0

Answer

f(x) hat an der Stelle a ein lokales Maximum

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^(-x)

Answer

f(x) = x²

Question 39

Welcher der folgenden Grenzwertsätze kann verwendet werden, um lim_(x→2) (x² - 1) / (x - 2) zu berechnen?

Accepted Answer

Faktorisieren und Kürzen

Answer

Sandwich

Answer

Squeeze

Answer

L'Hôpital

Question 40

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für eine Funktion, um an einer Stelle stetig zu sein?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an dieser Stelle

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle integrierbar

Question 41

Welche Art von Unstetigkeit liegt bei der Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 vor?

Accepted Answer

Sprung-Unstetigkeit

Answer

Hebebare Unstetigkeit

Answer

Wesentliche Unstetigkeit

Answer

Unendliche Unstetigkeit

Question 42

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall?

Accepted Answer

Sie erreicht ihr Minimum und Maximum auf dem Intervall

Answer

Sie hat an allen Punkten eine Tangente

Answer

Sie ist auf dem Intervall monoton

Question 43

Welche Aussage zur Stetigkeit der Funktion (f(x) = rac{1}{x}) an der Stelle (x = 0) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist nicht stetig.

Answer

Die Funktion hat einen Grenzwert von Unendlich.

Answer

Die Funktion ist stetig.

Answer

Die Funktion hat einen Grenzwert von 0.

Question 44

Sei (f(x)) eine Funktion, die für alle (x) definiert ist. Welche Bedingung ist notwendig und hinreichend für die Stetigkeit von (f(x)) an der Stelle (x = a)?

Accepted Answer

f(a) existiert und (lim_{x 	o a} f(x) = f(a))

Answer

(lim_{x 	o a} f(x)) existiert und (f(x)) ist an (x = a) definiert.

Answer

f(a) existiert und (f(x)) ist für (x) nahe (a) definiert.

Question 45

Welche Aussage über die Funktion (f(x) = ln(x)) an der Stelle (x = 0) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist nicht stetig.

Answer

f(x) ist stetig.

Answer

f(x) hat einen Grenzwert von Unendlich.

Answer

f(x) hat einen Grenzwert von 0.

Question 46

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = x² - 1 für x gegen 2 ist richtig?

Accepted Answer

lim[x->2] f(x) = 3

Answer

lim[x->2] f(x) existiert nicht

Answer

lim[x->2] f(x) = 2

Answer

lim[x->2] f(x) = 1

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = sin(1/x)

Question 48

Welche der folgenden Aussagen ist eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle stetig differenzierbar

Answer

f(x) hat an der Stelle einen Pols

Answer

f(x) ist an der Stelle stückweise definiert

Answer

f(x) ist an der Stelle monoton