Vektorräume: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Gegeben ist der Vektorraum V = { (x, y, z) ∈ R³ | 2x + 3y - z = 0 }. Bestimmen Sie eine Basis von V.

Accepted Answer

{(1, 2, -3)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Question 2

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Vektorraums am besten?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist

Answer

Eine Menge von Zahlen, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist

Answer

Eine Menge von Punkten, die auf einer Linie liegen

Answer

Eine Menge von Funktionen, die stetig und differenzierbar sind

Question 3

Welche der folgenden Mengen stellt einen Teilraum des Vektorraums R³ dar?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + y + z = 0}

Answer

{(x, y, z) | x = y = z}

Answer

{(x, y, z) | x > y > z}

Answer

{(x, y, z) | x² + y² + z² = 1}

Question 4

Welches Verfahren wird zur Konstruktion einer orthonormalen Basis aus einer gegebenen Basis verwendet?

Accepted Answer

Gram-Schmidt-Orthonormalisierung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 5

Welche der folgenden Abbildungen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine Matrix ist

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 6

Sind die Vektoren (1, 2, 3), (2, 4, 6) und (3, 6, 9) linear abhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Unbestimmt

Question 7

Betrachten Sie den Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]. Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Untervektorraum der Funktionen, die an der Stelle x = 1/2 gleich Null sind?

Accepted Answer

{sin(πx), cos(πx), 1 - 2x}

Answer

{x, x², x³}

Answer

{e^x, sin(x), cos(x)}

Answer

{1, x, x²}

Question 8

In einem endlichdimensionalen Vektorraum V ist die Dimension unabhängig von der gewählten Basis. Begründe diese Aussage.

Accepted Answer

Die Dimension von V entspricht der Anzahl linear unabhängiger Vektoren in V.

Answer

Die Dimension von V entspricht der Gesamtzahl der Vektoren in V.

Answer

Die Dimension von V entspricht der Anzahl möglicher Basen von V.

Answer

Die Dimension von V hängt von der Wahl der Basis ab.

Question 9

Welche Aussage zur Definition eines Vektorraums ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren.

Answer

Ein Vektorraum ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen.

Answer

Ein Vektorraum ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

Ein Vektorraum enthält den Nullvektor.

Question 10

Welche der folgenden Transformationen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 11

Welche Matrixdarstellung hat die lineare Abbildung f: R^2 → R^2 gegeben durch f(x, y) = (x + y, x - y)?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Question 12

Was ist die Definition von Orthogonalität für Vektoren in einem Vektorraum mit innerem Produkt? Nennen Sie ein Beispiel für zwei orthogonale Vektoren.

Accepted Answer

Zwei Vektoren u und v sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Answer

Zwei Vektoren u und v sind orthogonal, wenn ihr Kreuzprodukt null ist.

Answer

Zwei Vektoren u und v sind orthogonal, wenn sie linear abhängig sind.

Answer

Zwei Vektoren u und v sind orthogonal, wenn sie parallel sind.

Question 13

Welche der folgenden Abbildungen zwischen den Vektorräumen V und W ist **nicht** linear?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 1

Question 14

Welches der folgenden Axiomensysteme ist für Vektorräume korrekt?

Accepted Answer

Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ, Skalare Multiplikation ist distributiv über die Vektoraddition, es gibt ein negatives Element zu jedem Element und es gibt einen Nullvektor

Answer

Vektoraddition ist kommutativ, aber nicht assoziativ, Skalare Multiplikation ist distributiv über die Vektoraddition, es gibt ein negatives Element zu jedem Element und es gibt einen Nullvektor

Answer

Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ, Skalare Multiplikation ist nicht distributiv über die Vektoraddition, es gibt ein negatives Element zu jedem Element und es gibt einen Nullvektor

Answer

Addition ist kommutativ und assoziativ, Skalare Multiplikation ist distributiv über die Vektoraddition, es gibt ein negatives Element zu jedem Element, aber keinen Nullvektor

Question 15

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Teilmenge eines Vektorraums ist ein Vektorraum, wenn sie abgeschlossen unter Vektoraddition und Skalare Multiplikation ist und den Nullvektor enthält

Answer

Eine lineare Kombination von Vektoren ist selbst ein Vektor, aber nicht immer ein Vektor im Vektorraum

Answer

Eine Teilmenge eines Vektorraums ist immer ein Vektorraum

Question 16

Wie viele linear unabhängige Vektoren kann ein Vektorraum der Dimension (n) minimal haben?

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n / 2

Answer

n - 1

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine minimale Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen

Answer

Eine Basis ist eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren

Answer

Jedes Element des Vektorraums kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, aber nicht alle Elemente

Question 18

Welches der folgenden ist keine Anwendung von Vektorräumen in der Informatik?

Accepted Answer

Quantenmechanik

Answer

Finanzmathematik

Answer

Computergrafik

Question 19

Welches der folgenden Tupel stellt einen Vektor im Vektorraum $R³$ dar?

Accepted Answer

(2, -1, 0)

Answer

(1, 2, 3, 4)

Answer

(1, 2)

Answer

(2, 1, -1, 0)

Question 20

Welche Aussage über die lineare Abhängigkeit von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn mindestens ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn jeder Vektor ein Vielfaches eines anderen ist

Question 21

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum $R²$?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (1, 1)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Question 22

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl aller Vektoren im Vektorraum

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Summe der Dimensionen seiner Untervektorräume

Question 23

Welche Aussage über den dualen Vektorraum ist korrekt?

Accepted Answer

Der duale Vektorraum eines Vektorraums $V$ ist der Vektorraum aller linearen Funktionalen auf $V$

Answer

Der duale Vektorraum eines Vektorraums $V$ ist der Vektorraum aller Polynome vom Grad $≤ dim(V)$

Answer

Der duale Vektorraum eines Vektorraums $V$ ist der Vektorraum aller linearen Transformationen von $V$ nach $R$

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Eigenschaften eines Vektorraums?

Accepted Answer

Abgeschlossen gegenüber der Addition von Vektoren und der skalaren Multiplikation mit beliebigen Skalaren

Answer

Ist ein Unterraum des R^n für ein beliebiges n

Answer

Enthält nur endlich viele Vektoren

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt linear abhängige Vektoren in einem Vektorraum?

Accepted Answer

Ein Vektor kann als Linearkombination der anderen dargestellt werden

Answer

Die Vektoren erzeugen den gesamten Vektorraum

Answer

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den Kern einer linearen Transformation?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Answer

Ist gleich dem Bild der linearen Transformation

Answer

Enthält nur den Nullvektor

Question 27

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Bild einer linearen Transformation?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Anwendung der Transformation entstehen

Answer

Ist gleich dem Kern der linearen Transformation

Answer

Ist immer endlich dimensional

Answer

Enthält immer den Nullvektor

Question 28

Welche der folgenden Eigenschaften muss ein Vektorraum **nicht** erfüllen?

Accepted Answer

Die Vektoraddition ist nicht kommutativ.

Answer

Es gibt ein Element 0 im Vektorraum, sodass für jeden Vektor a gilt: a + 0 = a

Answer

Zu jedem Vektor a im Vektorraum gibt es einen Vektor -a, sodass a + (-a) = 0 gilt

Answer

Für alle Vektoren a und b im Vektorraum gilt: a + b = b + a

Question 29

Welches der folgenden Vektorpaare ist linear abhängig?

Accepted Answer

(1, 2), (2, 4)

Answer

(2, 1), (3, 2)

Answer

(1, 1), (-1, 1)

Answer

(1, 0), (0, 1)

Question 30

Welche der folgenden Mengen bildet **keine** Basis des Vektorraums R²?

Accepted Answer

{(1, 2), (2, 4)}

Answer

{(1, 1), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, -1), (1, 1)}

Question 31

Was ist die Dimension des Vektorraums R³?

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich

Answer

1

Answer

2

Question 32

Welche der folgenden Mengen bildet **keinen** Untervektorraum des Vektorraums R³?

Accepted Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x + y = 1}

Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x = y = z}

Answer

{(x, 0, 0) ∈ R³ | x ∈ R}

Answer

{(x, y, z) ∈ R³ | x + y + z = 0}

Question 33

Welche Aussage über den Vektorraum C der komplexen Zahlen ist **richtig**?

Accepted Answer

C ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.

Answer

C ist nur ein Vektorraum über sich selbst.

Answer

C ist ein Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen, aber nicht über den reellen Zahlen.

Answer

C ist kein Vektorraum.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens zwei Vektoren enthalten.

Answer

Die Multiplikation mit Skalaren ist assoziativ.

Answer

Ein Vektorraum enthält immer den Nullvektor.

Answer

Die Addition von Vektoren ist kommutativ.

Question 35

Welche der folgenden Mengen bildet **keinen** Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome mit nur geraden Exponenten.

Answer

Die Menge aller 2x2 Matrizen.

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y, 0) mit x, y ∈ ℝ.

Question 36

Welche der folgenden Vektorpaare ist linear abhängig?

Accepted Answer

v1 = (1, 2), v2 = (2, 4)

Answer

v1 = (1, 1), v2 = (-1, 1)

Answer

v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)

Answer

v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)

Question 37

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis des Vektorraums ℝ³?

Accepted Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0) }

Answer

{ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) }

Question 38

Welche Dimension hat der Vektorraum der 3x3 Matrizen über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

9

Answer

12

Answer

3

Answer

6

Question 39

Welches der folgenden ist KEIN Unterraum des Vektorraums ℝ²?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y) mit x + y = 1.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, 0) mit x ∈ ℝ.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, 2x) mit x ∈ ℝ.

Question 40

Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V. Welche Aussage ist IMMER korrekt?

Accepted Answer

Der Nullvektor von V liegt auch in U.

Answer

U ist eine Basis von V.

Answer

U enthält alle Vektoren von V.

Answer

U ist ein Vektorraum mit derselben Dimension wie V.

Question 41

Sei V ein Vektorraum mit Basis {v1, v2, ..., vn}. Welche Aussage ist IMMER korrekt?

Accepted Answer

Jeder Vektor in V kann als Linearkombination von v1, v2, ..., vn dargestellt werden.

Answer

Die Basis ist eindeutig.

Answer

Die Dimension von V ist kleiner als n.

Question 42

Welche der folgenden Transformationen ist KEINE lineare Transformation?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + 1, y)

Answer

T(x, y) = (0, 0)

Answer

T(x, y) = (x, 2y)

Answer

T(x, y) = (x + y, x - y)

Question 43

Welche der folgenden Eigenschaften muss eine lineare Transformation IMMER erfüllen?

Accepted Answer

T(u + v) = T(u) + T(v) für alle Vektoren u und v.

Answer

T(u) = u für alle Vektoren u.

Answer

T(cu) = cT(u) für alle Skalare c und alle Vektoren u.

Answer

T(u) = 0 für alle Vektoren u.

Question 44

Welche der folgenden Mengen mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation bildet KEINEN Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad genau 2.

Answer

Die Menge aller stetigen Funktionen von R nach R.

Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2.

Answer

Die Menge aller 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen.

Question 45

Seien u, v und w Vektoren in einem Vektorraum V. Welche der folgenden Aussagen ist IMMER wahr?

Accepted Answer

Wenn u + v = u + w, dann ist v = w.

Answer

Wenn u linear abhängig von v und w ist, dann sind v und w linear abhängig.

Answer

Wenn u linear unabhängig von v ist, dann ist u auch linear unabhängig von v + w.

Answer

Die Menge {u, v, w} ist linear unabhängig.

Question 46

Welche der folgenden Mengen von Vektoren ist linear unabhängig in R^3?

Accepted Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) }

Answer

{ (1, 1, 0), (2, 2, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) }

Question 47

Sei U = span{(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ein Unterraum von R^3. Welche Dimension hat U?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 48

Sei B = { (1, 1), (1, -1) } eine Basis von R^2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors v = (3, 1) bezüglich der Basis B.

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(3, -1)

Answer

(1, 2)

Answer

(-1, 3)

Question 49

Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen FALSCH für einen Vektorraum V?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum hat eine endliche Basis.

Answer

Die Summe zweier Vektoren in V ist auch ein Vektor in V.

Answer

Das skalare Vielfache eines Vektors in V ist auch ein Vektor in V.

Answer

Jeder Vektorraum enthält den Nullvektor.

Question 50

Seien u und v linear unabhängige Vektoren in einem Vektorraum V.  Ist die Menge {u+v, u-v} linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur wenn V endlichdimensional ist.

Answer

Hängt von u und v ab.

Answer

Nein

Question 51

Was ist die Dimension des Vektorraums aller reellen 2x3 Matrizen?

Accepted Answer

6

Answer

2

Answer

3

Answer

5

Question 52

Sei T: R^2 -> R^2 eine lineare Abbildung mit T(1,0) = (2,1) und T(0,1) = (-1,1). Bestimmen Sie T(2,3).

Accepted Answer

(1, 5)

Answer

(4, 2)

Answer

(3, 4)

Question 53

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage, dass die Vektoren v_1, v_2, ..., v_n einen Vektorraum V aufspannen?

Accepted Answer

Jeder Vektor in V lässt sich als Linearkombination von v_1, v_2, ..., v_n schreiben.

Answer

Die Anzahl der Vektoren n ist gleich der Dimension von V.

Answer

Die Vektoren v_1, v_2, ..., v_n sind linear unabhängig.

Question 54

Welches der folgenden Paare stellt einen Vektorraum dar?

Accepted Answer

R³ × R³ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation

Answer

Die Menge der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation

Answer

Die Menge der Matrizen 2x2 mit der Addition und Multiplikation von Matrizen

Question 55

Welches der folgenden Untermengen von R³ ist linear abhängig?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über Basen von Vektorräumen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum nicht aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum erzeugen.

Question 57

Welche der folgenden Transformationen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f: R³ → R³, f(x, y, z) = (x + y, y + z, z)

Answer

f: R³ → R³, f(x, y, z) = (x, y, 0)

Answer

f: R³ → R, f(x, y, z) = |x|

Answer

f: R³ → R³, f(x, y, z) = (x², y², z²)

Question 58

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Transformation, die den Vektorraum R³ in sich selbst abbildet?

Accepted Answer

[1 2 3], [4 5 6], [7 8 9]

Answer

[1 2 3], [2 4 6], [3 6 9]

Answer

[2 1 0], [1 2 1], [0 1 2]

Answer

[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]

Question 59

Welches der folgenden Beispiele ist eine Untergruppe eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Menge der geraden Vektoren in R³

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen in R³

Answer

Die Menge der positiven reellen Zahlen in R

Answer

Die Menge der Einheitsvektoren in R³

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl aller Vektoren im Vektorraum.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums kann negativ sein.

Question 61

Welcher der folgenden Vektorräume ist isomorph zu R³?

Accepted Answer

Der Vektorraum der Lösungen des Systems x + y + z = 0

Answer

Der Vektorraum der Polynome vom Grad 2

Answer

Der Vektorraum der komplexen Zahlen

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über innere Produkte ist richtig?

Accepted Answer

Das innere Produkt zweier Vektoren ist eine Zahl.

Answer

Das innere Produkt zweier Vektoren ist ein Vektor.

Answer

Das innere Produkt zweier Vektoren kann negativ sein.

Answer

Das innere Produkt zweier Vektoren ist immer gleich 1.

Question 63

Welche der folgenden Anwendungen von Vektorräumen ist in der Praxis von Bedeutung?

Accepted Answer

Computergrafik

Answer

Philosophie

Answer

Quantenmechanik

Answer

Wirtschaft