Nichtlineare Gleichungen lösen: Online-Quiz für Angewandte Informatik (Bachelor)

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Fixpunktiteration am besten?

Accepted Answer

Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung eines Fixpunktes einer Funktion, das nur konvergiert, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

Answer

Ein direktes Verfahren zur Bestimmung aller Lösungen einer nichtlinearen Gleichung mit einer eindeutigen Lösung.

Answer

Ein Verfahren, das immer die beste Näherung an den Fixpunkt einer Funktion liefert, unabhängig von der Gleichung.

Answer

Eine Methode, die garantiert eine Folge von Näherungen erzeugt, die monoton gegen den Fixpunkt konvergiert.

Question 2

Wie wird das Newton-Verfahren angepasst, um Mehrfachwurzeln einer nichtlinearen Gleichung zu finden? Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Modifikation der Ableitung unter Berücksichtigung der Wurzelmultiplizität

Answer

Iteration der Anfangsnäherung

Answer

Erhöhung des Konvergenzradius

Answer

Das Newton-Verfahren kann nicht für Mehrfachwurzeln modifiziert werden

Question 3

Welcher Schritt im Newton-Verfahren bestimmt die Richtung der Iteration?

Accepted Answer

Berechnung der Ableitung der Funktion

Answer

Berechnung des Fehlerterms

Answer

Berechnung des nächsten Approximationswerts

Answer

Aktualisierung des aktuellen Approximationswerts

Question 4

Welche Aussage über nichtlineare Gleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können mehrere Lösungen haben.

Answer

Sie haben immer genau eine Lösung.

Answer

Sie haben höchstens zwei Lösungen.

Answer

Sie können keine Lösungen haben.

Question 5

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x + 1 lautet:

Accepted Answer

3x² - 2

Answer

1

Answer

3x - 2

Answer

x³ - 2

Question 6

Damit das Newton-Verfahren konvergiert, muss die Funktion f(x):

Accepted Answer

stetig differenzierbar sein.

Answer

linear sein.

Answer

eine gerade Funktion sein.

Answer

eine positive Ableitung haben.

Question 7

Welche der folgenden Methoden eignet sich nicht zur numerischen Integration?

Accepted Answer

Bisection-Methode

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Question 8

Welche Aussage über den Fehler des Newton-Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Er wird mit jeder Iteration quadratisch kleiner.

Answer

Er bleibt in jeder Iteration konstant.

Answer

Er wird mit jeder Iteration linear kleiner.

Answer

Er wird mit jeder Iteration größer.

Question 9

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Question 10

Welche Aussage über numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer exakte Lösungen.

Answer

Sie können Näherungslösungen liefern.

Answer

Sie können für verschiedene Gleichungen verwendet werden.

Answer

Sie erfordern oft iterative Verfahren.

Question 11

Welches Verfahren wird verwendet, um eine nichtlineare Gleichung f(x) = 0 iterativ zu lösen, indem eine Folge von Näherungen x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n) berechnet wird?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Regula Falsi

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 12

Welche der folgenden Methoden ist ein numerisches Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Regula Falsi

Question 13

Welches Konvergenzkriterium gilt für das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Quadratische Konvergenzrate, wenn die erste Ableitung ungleich Null ist

Answer

Das Konvergenzkriterium ist immer erfüllt, wenn f(x) zweimal stetig differenzierbar ist.

Answer

Das Konvergenzkriterium hängt nicht von der Wahl der Anfangsnäherung ab.

Question 14

Welches Verfahren kann verwendet werden, um die Anzahl der Iterationen bis zur Konvergenz des Newton-Verfahrens zu verringern?

Accepted Answer

Sekantenverfahren

Answer

Positionsfalsch-Verfahren

Answer

Bi секtionsverfahren

Answer

Verbesserte Regula Falsi

Question 15

Welche Aussage über die Fixpunktiteration ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer eine gute Wahl, wenn eine geschlossene Lösung der Gleichung nicht möglich ist.

Answer

Sie erfordert nur die Auswertung der Funktion g(x).

Answer

Sie kann auch für Gleichungen mit mehreren Wurzeln verwendet werden.

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen ist eine nichtlineare Gleichung?

Accepted Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

y = mx + b (m != 0)

Answer

x + y = 5

Answer

x - y = 0

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die Fixpunktiteration ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert nur gegen den Fixpunkt, wenn die Ableitung der Funktion an diesem Punkt ungleich null ist.

Answer

Sie ist immer schneller als das Newton-Verfahren.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über das Newton-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist eine iterative Methode.

Answer

Es ist immer global konvergent.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren.

Answer

Es erfordert keine Berechnung der Ableitung.

Question 19

Welches der folgenden numerischen Integrationsverfahren ist am genauesten?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Answer

Rechteckregel

Question 20

Welche der folgenden Funktionen hat keine reelle Lösung?

Accepted Answer

x^2 + 1 = 0

Answer

|x| = 2

Answer

y = mx + b

Answer

x - 1 = 0

Question 21

Welche Bedingung muss für die Konvergenz des Newton-Verfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) darf an der aktuellen Näherung nicht null sein.

Answer

f(x) = 0

Answer

f(x) < 0

Answer

f(x) > 0

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über die Fixpunktiteration ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert nicht immer, auch wenn die Konvergenzbedingungen erfüllt sind.

Answer

Sie ist immer schneller als das Newton-Verfahren

Answer

Sie liefert immer eine exakte Lösung

Answer

Sie erfordert die Berechnung von Ableitungen

Question 23

Welche der folgenden Methoden verwendet Zufallszahlen zur Schätzung von Integralen über mehrdimensionale Gebiete?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Question 24

Welches Verfahren verwendet man, um die Nullstelle einer Funktion iterativ zu finden, indem man die Tangente am aktuellen Punkt nutzt?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Trapezregel

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Simpsonregel

Question 25

Welche der folgenden Methoden ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Integralen?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Fixpunktiteration

Question 26

Welche Formel verwendet die Trapezregel zur Approximation des bestimmten Integrals?

Accepted Answer

(b - a) / 2 * (f(a) + f(b))

Answer

(b - a) / 2 * (f(a) - f(b))

Answer

(b - a) * f(a)

Answer

(b - a) * f(b)

Question 27

Welche Aussage über das Newton-Verfahren ist FALSCH?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer.

Answer

Das Newton-Verfahren benötigt die Ableitung der Funktion.

Answer

Das Newton-Verfahren kann zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet werden.

Answer

Das Newton-Verfahren kann zur Approximation von Nullstellen verwendet werden.

Question 28

Wie kann die Genauigkeit der Approximation eines bestimmten Integrals mit der Trapezregel verbessert werden?

Accepted Answer

Durch Verkleinerung der Schrittweite.

Answer

Durch Verwendung der Simpsonregel.

Answer

Durch Erhöhung der Schrittweite.

Answer

Durch Verwendung des Newton-Verfahrens.

Question 29

Welche Methode wird typischerweise zur Approximation des bestimmten Integrals über ein Intervall mit mehreren Teilintervallen verwendet?

Accepted Answer

Zusammengesetzte Trapezregel

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Einfache Trapezregel

Question 30

Welches der folgenden Integrationsverfahren ist typischerweise genauer als die Trapezregel?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Rechteckregel

Answer

Mittelpunktsregel

Question 31

Welche Aussage zum Newton-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Approximation der Nullstellen einer Funktion.

Answer

Das Newton-Verfahren garantiert die Konvergenz zu einer Nullstelle.

Answer

Das Newton-Verfahren ist nur für lineare Gleichungen anwendbar.

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen ist eine nichtlineare Gleichung?

Accepted Answer

x² + 2x - 1 = 0

Answer

2x + 3 = 0

Answer

x - 5 = 0

Answer

3x + 4y = 10

Question 33

Welche Aussage über die Fixpunktiteration ist korrekt?

Accepted Answer

Die Fixpunktiteration ist ein Verfahren zur Suche nach einem Fixpunkt einer Funktion.

Answer

Die Fixpunktiteration ist nur für lineare Gleichungen anwendbar.

Answer

Die Fixpunktiteration konvergiert immer zu einem Fixpunkt.

Question 34

Welche der folgenden Integrationsmethoden ist eine numerische Integrationsmethode?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Integration durch Substitution

Question 35

Die Gleichung x = cos(x) hat eine Lösung in dem Intervall [0, π/2]. Welche der folgenden Methoden ist am besten geeignet, diese Lösung zu approximieren?

Accepted Answer

Fixpunktiteration

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Verfahren

Question 36

Was ist der Vorteil der Simpsonregel gegenüber der Trapezregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist in der Regel genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel benötigt weniger Funktionsauswertungen.

Answer

Die Simpsonregel ist einfacher zu implementieren.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz des Newton-Verfahrens ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konvergenz des Newton-Verfahrens hängt vom Startwert ab.

Answer

Die Konvergenz des Newton-Verfahrens ist immer linear.

Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer zu einer Nullstelle.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen zum Newton-Verfahren ist **falsch**?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer gegen eine Lösung.

Answer

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren.

Answer

Das Newton-Verfahren benötigt die Ableitung der Funktion.

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen ist eine **nichtlineare** Gleichung?

Accepted Answer

x² + 2x - 3 = 0

Answer

x + 4 = 0

Answer

2x + 5 = 0

Answer

3x - 1 = 0

Question 40

Welche der folgenden Aussagen zur Fixpunktiteration ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Fixpunktiteration konvergiert, wenn die Lipschitz-Konstante der Iterationsfunktion kleiner als 1 ist.

Answer

Die Fixpunktiteration konvergiert immer gegen eine Lösung.

Question 41

Welche der folgenden Methoden ist ein numerisches Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Fixpunktiteration

Question 42

Wie lautet die Formel für die Trapezregel?

Accepted Answer

∫f(x)dx ≈ (h/2) * (f(a) + f(b))

Answer

∫f(x)dx ≈ h * (f(a) + f(b))

Answer

∫f(x)dx ≈ h * (f(a) + 2f(b))

Answer

∫f(x)dx ≈ (h/2) * (f(a) + 2f(b))

Question 43

Welche der folgenden Aussagen zum Newton-Verfahren ist **richtig**?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren kann zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen verwendet werden.

Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer gegen eine Lösung.

Answer

Das Newton-Verfahren ist ein Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen.

Question 44

Was ist die Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens?

Accepted Answer

Quadratisch

Answer

Linear

Answer

Kubisch

Answer

Logarithmisch

Question 45

Welche der folgenden Aussagen zur Fixpunktiteration ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Fixpunktiteration ist ein sehr schnell konvergierendes Verfahren.

Answer

Die Fixpunktiteration kann zur Lösung von Gleichungen mit mehreren Variablen verwendet werden.

Answer

Die Fixpunktiteration benötigt keine Ableitung der Funktion.

Question 46

Was ist der Unterschied zwischen dem Newton-Verfahren und der Fixpunktiteration?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren benötigt die Ableitung der Funktion, die Fixpunktiteration nicht.

Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer, die Fixpunktiteration nicht.

Answer

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, die Fixpunktiteration nicht.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist **richtig**?

Accepted Answer

Numerische Integrationsverfahren approximieren das Integral einer Funktion.

Answer

Numerische Integrationsverfahren liefern immer die exakte Lösung des Integrals.

Answer

Numerische Integrationsverfahren sind nur für lineare Funktionen anwendbar.

Question 48

Welche der folgenden Gleichungen ist eine nichtlineare Gleichung?

Accepted Answer

x^2 + 2x - 1 = 0

Answer

3x = 9

Answer

x - 5 = 0

Answer

2x + 3 = 0

Question 49

Das Newton-Verfahren ist ein Verfahren zur:

Accepted Answer

Approximation von Nullstellen nichtlinearer Funktionen.

Answer

Berechnung von Integralen.

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme.

Question 50

Die Fixpunktiteration konvergiert, wenn:

Accepted Answer

die Ableitung der Funktion im Fixpunkt kleiner als 1 ist.

Answer

die Funktion stetig ist.

Answer

die Funktion monoton steigend ist.

Question 51

Welches numerische Integrationsverfahren basiert auf der Approximation der Funktion durch eine Gerade?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Question 52

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Fixpunktiteration konvergiert?

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion im Fixpunkt muss kleiner als 1 sein.

Answer

Die Funktion muss stetig differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss eine Nullstelle haben.

Question 53

Was ist der Vorteil der Simpsonregel gegenüber der Trapezregel?

Accepted Answer

Sie ist genauer, da sie die Funktion durch eine Parabel approximiert.

Answer

Sie benötigt weniger Funktionsauswertungen.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Question 54

Was passiert, wenn die Schrittweite im Newton-Verfahren zu groß gewählt wird?

Accepted Answer

Die Konvergenz kann langsamer oder sogar unmöglich werden.

Answer

Die Approximation wird genauer.

Answer

Die Anzahl der Iterationen wird reduziert.

Question 55

Welches Verfahren ist für die Approximation von Integralen mit unstetigen Funktionen am besten geeignet?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Question 56

Welche der folgenden Aussagen zur Fixpunktiteration ist falsch?

Accepted Answer

Die Fixpunktiteration konvergiert immer, wenn die Funktion stetig ist.

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit der Fixpunktiteration hängt von der Ableitung der Funktion im Fixpunkt ab.

Answer

Die Fixpunktiteration kann zur Lösung nichtlinearer Gleichungen verwendet werden.

Question 57

Welche der folgenden Gleichungen ist keine nichtlineare Gleichung?

Accepted Answer

x = 3

Answer

cos(x) = 0,5

Answer

e^x = 2

Answer

x^2 - 2x + 1 = 0

Question 58

Welches Verfahren wird verwendet, um eine nichtlineare Gleichung f(x) = 0 iterativ zu lösen, wenn die Ableitung von f(x) bekannt ist?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über das Newton-Verfahren ist richtig?

Accepted Answer

Es konvergiert quadratisch, wenn die Anfangsschätzung nahe an der Lösung liegt.

Answer

Es konvergiert immer, unabhängig von der Anfangsschätzung.

Answer

Es ist nur für lineare Gleichungen anwendbar.

Question 60

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Fixpunktiteration?

Accepted Answer

x_n+1 = g(x_n)

Answer

x_n+1 = (x_n + f(x_n)) / 2

Answer

x_n+1 = 1 / f(x_n)

Answer

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Question 61

Welche Bedingung muss die Funktion g(x) für die Konvergenz der Fixpunktiteration erfüllen?

Accepted Answer

|g'(x)| < 1 für alle x im Konvergenzbereich

Answer

g(x) muss konvex sein.

Answer

g(x) muss differenzierbar sein.

Answer

g(x) muss stetig sein.

Question 62

Welches numerische Integrationsverfahren verwendet die Trapezregel?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über die Trapezregel ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist genauer als die Rechteckregel, aber weniger genau als die Simpsonregel.

Answer

Sie ist nur für lineare Funktionen anwendbar.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Ableitung der Integrandenfunktion.

Question 64

Welches der folgenden Programme löst eine nichtlineare Gleichung mit dem Newton-Verfahren?

Accepted Answer

x0 = 1;
while (abs(f(x0)) > 1e-6) {
  x0 = x0 - f(x0) / f'(x0);
}

Answer

for (i = 0; i < 100; i++) {
  x0 = (x0 + f(x0)) / 2;
}

Answer

x0 = 0;
while (abs(f(x0) - f(x0-1)) > 1e-6) {
  x0++;
}