Integralrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Studierende

Question 1

Berechne das Integral ∫x * e^x dx mithilfe der partiellen Integration.

Accepted Answer

x * e^x - e^x + C

Answer

x * e^x + e^x + C

Answer

e^x - x * e^x + C

Question 2

Welche Aussage definiert korrekt die Stammfunktion einer Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, deren Integral die gegebene Funktion ergibt

Answer

Eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt

Answer

Eine Funktion, deren Graph die gegebene Funktion tangiert

Answer

Eine Funktion, deren Steigung die gegebene Funktion darstellt

Question 3

Berechne das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x) dx.

Accepted Answer

F(b) - F(a)

Answer

F(a) - F(b)

Answer

F(b) + F(a)

Answer

F(a) ⋅ F(b)

Question 4

Welche Methode kann zur Berechnung der Fläche unter einer Kurve angewendet werden?

Accepted Answer

Integration

Answer

Ableitung

Answer

Differenzierung

Answer

Grenzwertberechnung

Question 5

Welche Transformationsformel ist anzuwenden, um das Integral von f(ax+b) zu berechnen?

Accepted Answer

∫f(ax+b) dx = (1/a) ∫f(u) du

Answer

∫f(ax+b) dx = a ∫f(u) du

Answer

∫f(ax+b) dx = (1/b) ∫f(u) du

Answer

∫f(ax+b) dx = b ∫f(u) du

Question 6

Welches Integral stellt den Weg s(t) eines Objekts dar, das sich mit einer Geschwindigkeit v(t) bewegt?

Accepted Answer

∫v(t) dt

Answer

∫s(t) dt

Answer

∫v'(t) dt

Answer

∫s'(t) dt

Question 7

Welches Kriterium muss eine Funktion erfüllen, um Riemann-integrierbar zu sein?

Accepted Answer

Stückweise Stetigkeit

Answer

Stetigkeit

Answer

Differenzierbarkeit

Answer

Beschränktheit

Question 8

Welche Aussage über unbestimmte Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Sie unterscheiden sich lediglich um eine Konstante

Answer

Sie liefern die eindeutig bestimmte Stammfunktion

Answer

Sie sind nur für rationale Funktionen definiert

Answer

Sie sind nur für algebraische Funktionen definiert

Question 9

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

x³ / 3 + C

Answer

x⁴ + C

Answer

(x³ + 1) / 3 + C

Answer

x² / 2 + C

Question 10

Welche Regel zur Integration durch Substitution ist korrekt?

Accepted Answer

∫f(u) du = uF(u) + C

Answer

∫f(x) du = uF(x) + C

Answer

∫f(x) du = F(x) + C

Answer

∫f(x) du = xF(x) + C

Question 11

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x + C

Answer

e^(x²) + C

Answer

(1/x) * e^x + C

Question 12

Welche Integrationstechnik wird zur Lösung von ∫x * sin(x) dx verwendet?

Accepted Answer

Integration durch partielle Integration

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Integration durch Zerlegung in Partialbrüche

Answer

Integration durch trigonometrische Substitution

Question 13

Welche Funktion ist unbestimmt integrierbar?

Accepted Answer

e^x / x

Answer

1 / x

Answer

sin(x) / x

Answer

x² * sin(x)

Question 14

Welches der folgenden Integrale ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

2x³ + C

Answer

4x + C

Answer

2x³ + C

Question 15

Welche Integrationstechnik ist für das Integral ∫√(x) dx geeignet?

Accepted Answer

Substitution

Answer

partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Numerische Integration

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion f(x) ist eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist.

Answer

Das Integral einer Funktion ist immer eine Konstante.

Answer

Das Integral einer Funktion kann nur numerisch berechnet werden.

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist ein Beispiel für eine Diskontinuität einer Funktion, die ein Integral ungültig macht?

Accepted Answer

f(x) = 1/x bei x = 0

Answer

f(x) = e^x bei x = 0

Answer

f(x) = sin(x) bei x = 0

Answer

f(x) = x² bei x = 0

Question 18

Welches der folgenden Verfahren ist nicht zur numerischen Integration geeignet?

Accepted Answer

Differentielle Gleichungen

Answer

Gaußsche Quadratur

Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Trapezregel

Question 19

In welcher Anwendung der Integralrechnung wird die Integralformel zur Berechnung der Arbeit verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit einer Kraft

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Answer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Question 20

Welches Integral ergibt den Flächeninhalt des von der Kurve y = x und der x-Achse eingeschlossenen Gebiets zwischen x = 1 und x = 3?

Accepted Answer

∫_1^3 x dx

Answer

∫_1^3 x² dx

Answer

∫_3^1 x dx

Answer

∫_3^1 x² dx

Question 21

Welche der folgenden Gleichungen ist der Hauptsatz der Integralrechnung?

Accepted Answer

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Answer

∫(f(x) - g(x)) dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx

Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Answer

F'(x) = ∫ f(x) dx

Question 22

Welches Integral ergibt das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn das von y = x² und y = 2x begrenzte Gebiet um die y-Achse gedreht wird?

Accepted Answer

π∫_0^1 (2x)² - x² dx

Answer

2π∫_0^1 x² dx

Answer

π∫_0^1 (x)² + (2x)² dx

Answer

π∫_1^0 (x)² - (2x)² dx

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig integrierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

e^x

Answer

x³

Answer

sin(x)

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zum Integral ∫_1^∞ 1/x² dx ist wahr?

Accepted Answer

Es ist divergent.

Answer

Es ist konvergent und gleich π/2.

Answer

Es ist konvergent, aber sein Wert kann nicht bestimmt werden.

Answer

Es ist konvergent und gleich 1.

Question 25

Berechnen Sie das Flächenintegral der Funktion f(x, y) = xy über das Rechteck mit Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1):

Accepted Answer

1/2

Answer

2

Answer

1

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über bestimmte Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein bestimmtes Integral repräsentiert die Nettofläche zwischen einer Funktion und der x-Achse

Answer

Ein bestimmtes Integral kann nur über ein unbeschränktes Intervall berechnet werden

Answer

Ein bestimmtes Integral ist immer positiv

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x / x?

Accepted Answer

e^x * ln(x) + C

Answer

e^x * x + C

Answer

e^x / x + C

Answer

ln(x) / x + C

Question 28

Berechnen Sie das bestimmte Integral von -1 bis 1 für die Funktion f(x) = |x|:

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

4

Question 29

Welche der folgenden Integrationstechniken wird verwendet, um das Integral von ∫(x^2 + 1) / (x^3 + x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Partielle Bruchzerlegung

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Question 30

Berechne das Volumen des Körpers, der durch die Rotation der Kurve y = x^2 zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

16π/5

Answer

8π/5

Answer

64π/5

Answer

32π/5

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist eine primitive Funktion von ∫ln(x) dx?

Accepted Answer

x * ln(x) - x + C

Answer

ln(x)^2 + C

Answer

ln(x) + C

Answer

x^2 * ln(x) + C

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über bestimmte Integrale ist falsch?

Accepted Answer

Die untere Integrationsgrenze muss immer kleiner als die obere Integrationsgrenze sein.

Answer

Das bestimmte Integral einer positiven Funktion ist immer positiv.

Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion über ein Intervall gibt den Nettoflächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse an.

Question 33

Welche Integrationsmethode eignet sich am besten, um ∫√(x^2 + 4) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch Bruchzerlegung

Answer

Partielle Integration

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von ∫e^(2x) dx?

Accepted Answer

e^(2x)/2 + C

Answer

e^(2x) + C

Answer

2e^(2x) + C

Answer

e^(4x) + C

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = x² + 1 + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Answer

F(x) = 2x + C

Question 36

Welches bestimmte Integral berechnet die Fläche unter der Kurve von f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫(0 bis 2) x² dx

Answer

∫(0 bis 2) 1/3x³ dx

Answer

∫(0 bis 2) x³ dx

Answer

∫(0 bis 2) 2x dx

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist immer eine lineare Funktion.

Answer

Stammfunktionen sind immer eindeutige Funktionen.

Question 38

Welches bestimmte Integral berechnet das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Kurve f(x) = √x um die x-Achse rotiert wird zwischen x = 1 und x = 4?

Accepted Answer

π∫(1 bis 4) (√x)² dx

Answer

π∫(1 bis 4) x² dx

Answer

π∫(1 bis 4) (x²) dx

Answer

π∫(1 bis 4) (√x) dx

Question 39

Welche Integrationsmethode wird verwendet, um das Integral von ∫x*sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Summenregel

Question 40

Welches Integral berechnet die Fläche zwischen den Kurven f(x) = x² und g(x) = x zwischen x = 0 und x = 1?

Accepted Answer

∫(0 bis 1) (x² - x) dx

Answer

∫(0 bis 1) (x - x²) dx

Answer

∫(0 bis 1) (x² - 1) dx

Answer

∫(0 bis 1) (x² + x) dx

Question 41

Welche Substitution würde man für das Integral ∫(x² + 1)² * 2x dx verwenden?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = x²

Answer

u = 2x

Answer

u = x

Question 42

Welche der folgenden Aussagen ist KEINE Eigenschaft des bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral ist immer positiv.

Answer

Das bestimmte Integral gibt die Fläche unter der Kurve an.

Answer

Das bestimmte Integral ist linear.

Answer

Das bestimmte Integral ist eine Zahl.

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = x² + 2x + C

Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Question 44

Was ist die Fläche unter der Kurve der Funktion f(x) = x² von x = 0 bis x = 2?

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4

Answer

16/3

Question 45

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das Integral von sin(x) zu bestimmen?

Accepted Answer

Integration durch Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Direkte Integration

Question 46

Wie lautet das Integral von 1/x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

x + C

Answer

x² + C

Answer

1/x² + C

Question 47

Welche Methode wird verwendet, um das Integral von x² * sin(x) zu berechnen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch Substitution

Question 48

Was ist das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Kurve y = x² um die x-Achse von x = 0 bis x = 1 rotiert?

Accepted Answer

π/5

Answer

π/2

Answer

π/3

Question 49

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(x+1) + C

Answer

e^x / x + C

Answer

x * e^x + C

Question 50

Wie lautet das bestimmte Integral von 0 bis 1 von x^3?

Accepted Answer

1/4

Answer

3/4

Answer

1/2

Answer

1

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

F(x) = x³ + x² - x + C

Answer

F(x) = 6x + 2 + C

Answer

F(x) = 3x³ + x² - x + C

Answer

F(x) = x³ + 2x² - x + C

Question 52

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = 2x + 1 im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

6

Answer

7

Answer

5

Answer

4

Question 53

Welches Integral berechnet die Fläche zwischen der Kurve y = x², der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 3?

Accepted Answer

∫₁³ x² dx

Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₁³ (x² + 1) dx

Answer

∫₀³ x² dx

Question 54

Bestimmen Sie die Integrationskonstante C der Stammfunktion F(x) von f(x) = cos(x) mit F(0) = 2.

Accepted Answer

C = 1

Answer

C = -1

Answer

C = 2

Answer

C = 0

Question 55

Welches Integrationsverfahren eignet sich am besten zur Berechnung des Integrals ∫ x * e^x dx ?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Partialbruchzerlegung

Answer

Substitution

Answer

Direkte Integration

Question 56

Ein Objekt bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) = 3t² + 2 m/s. Welchen Weg legt das Objekt im Zeitintervall [0, 2] Sekunden zurück?

Accepted Answer

12 Meter

Answer

8 Meter

Answer

10 Meter

Answer

14 Meter

Question 57

Berechnen Sie das Integral ∫ (1 / (x + 2)) dx.

Accepted Answer

ln|x + 2| + C

Answer

arctan(x + 2) + C

Answer

-1/(x + 2)² + C

Answer

(x + 2)^-2 + C

Question 58

Das Volumen eines Körpers, der durch Rotation der Funktion f(x) = √x um die x-Achse im Intervall [0, 4] entsteht, wird berechnet durch...

Accepted Answer

π ∫₀⁴ x dx

Answer

2π ∫₀⁴ √x dx

Answer

2π ∫₀⁴ x dx

Answer

π ∫₀⁴ √x dx

Question 59

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist falsch?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann einen Integranden haben, der an einer Stelle im Integrationsbereich unbeschränkt ist.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann einen unendlichen Integrationsbereich haben.

Answer

Die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals kann mit Hilfe von Grenzwerten untersucht werden.

Question 60

Die Ableitung des bestimmten Integrals ∫₂^x (t² + 1) dt nach x ist...

Accepted Answer

x² + 1

Answer

(x² + 1) - 5

Answer

2x

Answer

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