Funktionen in der Analysis: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Ist die Funktion f(x) = |x - 3| an der Stelle x = 3 stetig?

Accepted Answer

Ja, die Funktion ist stetig.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, weil der Grenzwert für x gegen 3 nicht existiert.

Answer

Nein, die Funktion ist unstetig, weil sie an der Stelle x = 3 nicht differenzierbar ist.

Question 2

Bestimme die Ableitung der implizit durch die Gleichung (x^2 + y^2 = 4) definierten Funktion y.

Accepted Answer

(y' = -x/y)

Answer

(y' = x/y)

Answer

(y' = x^2)

Answer

(y' = y^2)

Question 3

Was beschreibt den Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle a?

Accepted Answer

f(x) nähert sich einem bestimmten Wert, wenn sich x der Stelle a nähert.

Answer

f(x) ist an der Stelle a stetig.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an der Stelle a existiert immer.

Question 4

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird verwendet, um die Tangentensteigung an einen Funktionspunkt zu bestimmen?

Accepted Answer

Ableitungsfunktion gleich der Steigung setzen

Answer

Zweite Ableitung berechnen

Answer

Grenzwerte berechnen

Answer

Extrema der Funktion ermitteln

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 1) / (x + 2)

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist streng monoton wachsend?

Accepted Answer

f(x) = -x³ + 3x + 2

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = cos(x)

Question 7

Welche der folgenden Integrale ergibt die Länge des Graphen der Funktion f(x) = x^2 + 1 im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0, 1] sqrt(x^2 + 1) dx

Answer

∫[0, 1] (x^2 + 1)^2 dx

Answer

∫[0, 1] (x^2 + 1) / sqrt(x^2 + 1) dx

Answer

∫[0, 1] (x^2 + 1) dx

Question 8

Für die Funktion h(x) = eˣ gilt:

Accepted Answer

h'(x) = eˣ und h''(x) = eˣ

Answer

h'(x) = eˣ und h''(x) = -eˣ

Answer

h'(x) = -eˣ und h''(x) = eˣ

Answer

h'(x) = -eˣ und h''(x) = -eˣ

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über Anwendungen der Differentialrechnung ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Ermitteln von Umkehrfunktionen

Answer

Ermitteln von Tangenten an Kurven

Answer

Bestimmen von Extremwerten

Answer

Berechnen von Flächeninhalten

Question 10

Welche der folgenden Funktionen hat einen asymptotischen Graphen?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin x

Question 11

Welche Funktion ist an der Stelle $x = -1$ stetig?

Accepted Answer

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x ≤ -1 \ -x + 3, & x > -1 end{cases}$

Answer

$f(x) = \sqrt{x + 1}$

Answer

$f(x) = \frac{|x|}{x}$

Question 12

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$

Accepted Answer

$3x^2 + 4x - 5$

Answer

$x^2 + 2x - 5$

Answer

$3x^3 + 4x^2 - 6x$

Answer

$4x^3 + 2x^2 - 5$

Question 13

Berechnen Sie das Integral $\int\limits_{0}^{1} x^3 dx$

Accepted Answer

$\frac{1}{4}$

Answer

$\frac{1}{2}$

Answer

2

Answer

1

Question 14

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Funktion $f(x) = e^x$?

Accepted Answer

$f'(x) = f(x)$

Answer

$f'(x) = \frac{1}{f(x)}$

Answer

$f'(x) = x f(x)$

Answer

$f'(x) = -f(x)$

Question 15

Welche der folgenden Folgen konvergiert?

Accepted Answer

$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

Answer

$a_n = (-1)^n$

Answer

$a_n = n$

Answer

$a_n = 2^n$

Question 16

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 * ln(x).

Accepted Answer

f'(x) = 2x * ln(x) + x

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x^2 / ln(x)

Question 17

Welche Aussage über die Taylorentwicklung der Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylorentwicklung ist eine Potenzreihe mit unendlich vielen Termen.

Answer

Die Taylorentwicklung ist eine trigonometrische Reihe.

Answer

Die Taylorentwicklung ist eine Polynomentwicklung mit endlich vielen Termen.

Question 18

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat bei x = 2 ein Minimum.

Answer

Die Funktion hat bei x = 2 ein Maximum.

Answer

Die Funktion hat bei x = 1 einen Wendepunkt.

Answer

Die Funktion hat keinen Extrempunkt.

Question 19

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = x^3 - 2x^2 + 1:

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x

Answer

f'(x) = 3x - 4

Answer

f'(x) = x^2 - 4x + 1

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = e^x

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist eine trigonometrische Funktion?

Accepted Answer

f(x) = cos(2x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = e^x

Question 22

Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion?

Accepted Answer

f(x) = 2^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Question 23

Berechne die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung der Funktion f(x) = e^x in x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x²/2

Answer

1 + x + x³/2

Answer

1 + x + x³

Answer

1 + x² + x³

Question 24

Welche Aussage über die Funktion f(x, y) = x² + y² ist richtig?

Accepted Answer

f(x, y) ist eine positive definite Funktion.

Answer

f(x, y) ist eine semidefinite Funktion.

Answer

f(x, y) ist eine indefinite Funktion.

Answer

f(x, y) ist eine negative definite Funktion.

Question 25

Berechne das Integral von f(x) = x^2 + 1 über das Intervall [0, 2].

Accepted Answer

10/3

Answer

8

Answer

4

Answer

6

Question 26

Welche Funktion ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x^2 - 4) / (x + 2)

Answer

g(x) = √(x)

Answer

k(x) = e^x

Answer

h(x) = sin(x)

Question 27

Welche Funktion ist eine trigonometrische Funktion?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

k(x) = e^x

Answer

h(x) = 1 / x

Answer

g(x) = x^2

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = x^2 + 2x

Answer

f'(x) = x^3

Question 30

Welche der folgenden Funktionen gehört zur Klasse der rationalen Funktionen?

Accepted Answer

f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 + 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Question 31

Bestimme die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = 2x - 1.

Accepted Answer

f^-1(x) = (x + 1)/2

Answer

f^-1(x) = 2x + 1

Answer

f^-1(x) existiert nicht.

Answer

f^-1(x) = 1/x

Question 32

Welche der folgenden Aussagen bezüglich der Ableitung verketteter Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

(f∘g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

(f∘g)'(x) = f'(x) * g'(x)

Answer

(f∘g)'(x) = g'(f(x)) * f'(x)

Answer

(f∘g)'(x) = f'(g'(x)) * g(x)

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist FALSCH?

Accepted Answer

Für jede Funktion existiert ein Grenzwert.

Answer

Ein Grenzwert kann eine Zahl, plus unendlich oder minus unendlich sein.

Answer

Eine Funktion kann an verschiedenen Stellen unterschiedliche Grenzwerte haben.

Answer

Grenzwerte können grafisch untersucht werden.

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = √(x - 2)

Question 35

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 9x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist immer positiv.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist immer negativ.

Question 37

An welcher Stelle hat die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ein lokales Minimum?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

f(x) hat kein lokales Minimum.

Question 38

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = (x + 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 39

Eine Funktion f(x) ist monoton steigend, wenn:

Accepted Answer

f'(x) > 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f'(x) < 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f(x) > 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f(x) ist eine gerade Funktion.

Question 40

Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) = 2t - 1. Wie weit bewegt sich der Körper im Zeitintervall von t = 0 bis t = 2?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 41

Die Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x + 3 ist:

Accepted Answer

F(x) = x² + 3x + C

Answer

F(x) = 2x + 3 + C

Answer

F(x) = x² + 3 + C

Answer

F(x) = 2x² + 3x + C

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x = a ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist.

Answer

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn f(a) = 0 ist.

Answer

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn f(a) definiert ist.

Question 43

Die Ableitung der Funktion  *f(x) = x²*  gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von  *f(x)*  an einer bestimmten Stelle an.  Was ist die Steigung der Tangente an den Graphen von  *f(x)*  an der Stelle  *x = 2*?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 44

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, auch wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Question 45

Die Funktion *f(x) = x³ + 2x² - 5* hat einen lokalen Extremwert bei *x = -2*. Was ist der Wert dieses lokalen Extremwerts?

Accepted Answer

-1

Answer

-5

Answer

1

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² + 3x - 4

Question 47

Was ist die Ableitung der Funktion *f(x) = sin(x)*?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Question 48

Die Funktion *f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x² - 4x + 1* hat einen Wendepunkt bei *x = 1*. Welche Aussage über diesen Wendepunkt ist KORREKT?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung von *f(x)* ist an der Stelle *x = 1* gleich 0.

Answer

Die erste Ableitung von *f(x)* ist an der Stelle *x = 1* gleich 0.

Answer

Die Funktion *f(x)* hat an der Stelle *x = 1* ein lokales Maximum.

Question 49

Die Funktion *f(x) = x² - 4x + 3* hat eine Nullstelle bei *x = 1*. Welche ist die andere Nullstelle der Funktion?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = -1

Question 50

Welches ist der Definitionsbereich der Funktion *f(x) = √(x - 2)*?

Accepted Answer

x ≥ 2

Answer

x < 2

Answer

x ≤ 2

Answer

x > 2