Differentialgleichungen lernen: Online-Quizze und Übungen

Question 1

Welche Aussage zu den Konvergenz- und Stabilitätseigenschaften numerischer Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konvergenz und Stabilität hängen von der Schrittweite und der Differentialgleichung ab.

Answer

Die Euler-Methode ist immer konvergent und stabil.

Answer

Die Heun-Methode ist immer konvergent und stabil.

Answer

Die Runge-Kutta-Methode ist immer konvergent und stabil.

Question 2

Welche Rolle spielen Differentialgleichungen bei der Modellierung und Vorhersage realer Phänomene wie Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Epidemien oder Schwankungen an den Finanzmärkten?

Accepted Answer

Differentialgleichungen können das Wachstum von Bakterienpopulationen modellieren.

Accepted Answer

Differentialgleichungen können die Ausbreitung von Epidemien vorhersagen.

Accepted Answer

Differentialgleichungen können Schwankungen an den Finanzmärkten modellieren.

Answer

Differentialgleichungen sind nur in der theoretischen Mathematik von Bedeutung.

Question 3

Beschreibt, wie Differentialgleichungen in der Epidemiologie genutzt werden, um Ausbrüche von Infektionskrankheiten zu verstehen und zu bewältigen.

Accepted Answer

Differentialgleichungen können die Anzahl der Infizierten in einer Population modellieren und vorhersagen.

Accepted Answer

Differentialgleichungen können die Wirksamkeit von Maßnahmen zur Eindämmung von Krankheitsausbrüchen bewerten.

Accepted Answer

Differentialgleichungen können das Risiko einer Krankheitsübertragung in verschiedenen Szenarien bestimmen.

Answer

Differentialgleichungen können die genaue Ausbreitung einer Krankheit in einem bestimmten geografischen Gebiet vorhersagen.

Question 4

Welche der folgenden Anweisungen beschreibt korrekt den Lösungsweg einer linearen homogenen Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

Aufstellen der charakteristischen Gleichung und Berechnung der allgemeinen Lösung

Answer

Integrieren beider Seiten und Auflösen nach y

Answer

Trennen der Variablen und darauffolgende Integration

Answer

Anwenden der Laplace-Transformation

Question 5

Welche der folgenden Funktionen stellt eine Lösung der Differentialgleichung y' - 2y = x dar?

Accepted Answer

y = x + e^(-2x)

Answer

y = x - e^(-2x)

Answer

y = x + e^(2x)

Answer

y = x - e^(2x)

Question 6

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

u'' + u = 0

Answer

y' + 2y = e^x

Answer

xy' = y + ln(x)

Answer

y'' + y = 0

Question 7

Welche der folgenden Randbedingungen für die Differentialgleichung y'' + y = 0 ist eine Dirichlet-Randbedingung?

Accepted Answer

y(0) = 0

Answer

y'(0) = 0

Answer

y''(0) = 0

Answer

y''(1) = 0

Question 8

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluss der Schwerkraft?

Accepted Answer

y'' + g = 0

Answer

y' - g = 0

Answer

y'' - g = 0

Answer

y' + g = 0

Question 9

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Sturm-Liouville-Gleichung?

Accepted Answer

y'' + λy = 0

Answer

y'' + y = 0

Answer

xy' + y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Question 10

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Differentialgleichung **zweiter Ordnung**?

Accepted Answer

**y'' - 3y' + 2y = 0**

Answer

y = sin(x)

Answer

y' + y = e^x

Answer

y' = 2x + 1

Question 11

Welche Lösungsmethode eignet sich für die Differentialgleichung **y' = y^2**?

Accepted Answer

**Trennung der Variablen**

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 12

Welche Aussage über das Lösen einer Differentialgleichung ist **richtig**?

Accepted Answer

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung enthält **unbestimmte Konstanten**.

Answer

Differentialgleichungen können nur mit **analytischen Methoden** gelöst werden.

Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer **eindeutig**.

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen ist eine **partielle Differentialgleichung**?

Accepted Answer

**∂u/∂x + ∂u/∂y = 0**

Answer

y = sin(x)cos(y)

Answer

y'' - 3y' + 2y = 0

Answer

y' + 2y = e^x

Question 14

Welche Eigenschaft einer Differentialgleichung beschreibt die Anzahl der **unabhängigen Variablen**?

Accepted Answer

**Dimension**

Answer

Linearität

Answer

Ordnung

Answer

Grad

Question 15

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine **homogene Differentialgleichung**?

Accepted Answer

**y' = xy**

Answer

y = sin(x)cos(y)

Answer

y'' - 3y' + 2y = 0

Answer

y' + 2y = e^x

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Differentialgleichung mit **Anfangsbedingung**?

Accepted Answer

**y' + 2y = e^x, y(0) = 1**

Answer

y'' - 3y' + 2y = 0

Answer

y = sin(x)cos(y)

Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Question 17

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Vorgehen zum Lösen linearer Differentialgleichungen erster Ordnung?

Accepted Answer

Multipliziere die Gleichung mit dem integrierenden Faktor e^(Integral des Koeffizienten der Ableitung von y nach x).

Answer

Integriere die Gleichung direkt.

Question 18

Eine Differentialgleichung der Form y' + p(x)y = 0 wird als welche Art von Differentialgleichung bezeichnet?

Accepted Answer

Homogene Differentialgleichung

Answer

Bernoulli-Differentialgleichung

Answer

Inhomogene Differentialgleichung

Answer

Riccati-Differentialgleichung

Question 19

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Bernoulli-Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)y^n

Answer

y'' + p(x)y = q(x)

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y' + p(x)y = q(x)

Question 20

Welche Substitution kann verwendet werden, um eine exakte Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung umzuwandeln?

Accepted Answer

x = u(v) und y = v(u)

Answer

x = sin(u) und y = cos(v)

Answer

x = e^u und y = e^v

Answer

x = u^2 und y = v^2

Question 21

Welche Methode kann verwendet werden, um die Ordnung einer Differentialgleichung zu verringern?

Accepted Answer

Substitution von u = y' oder u = y''

Answer

Differentiation

Answer

Integration

Answer

Multiplikation mit y

Question 22

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Riccati-Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = p(x)y^2 + q(x)y + r(x)

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y'' + p(x)y = q(x)

Question 23

In welchem Bereich der Physik finden Differentialgleichungen Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung von schwingenden Systemen

Answer

Berechnung von Steuern

Answer

Erstellung von Kunstwerken

Answer

Lösen von Rätseln

Question 24

Welche Methode wird zur Lösung der Differentialgleichung **y' + y = x** verwendet?

Accepted Answer

Integrierender Faktor

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Homogene Differentialgleichungen

Answer

Trennvariablen

Question 25

Welche Transformation kann verwendet werden, um eine Differentialgleichung erster Ordnung in eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen umzuformen?

Accepted Answer

Substitution u = y/x

Answer

Substitution u = xy

Answer

Substitution u = y'

Question 26

Welche Bedingung muss für die Existenz einer eindeutigen Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung erfüllt sein?

Accepted Answer

Die partielle Ableitung der rechten Seite nach y ist stetig.

Answer

Die partielle Ableitung der rechten Seite nach x ist stetig.

Answer

Die rechte Seite ist eine Funktion von x.

Question 27

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine **Bernoullische Differentialgleichung**?

Accepted Answer

y' + xy = y^(1/2)

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' + y^2 = x

Answer

y' + y = x

Question 28

Welche numerische Methode kann zur Approximation von Lösungen von Differentialgleichungen verwendet werden?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Zufallsgenerator

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 29

Welche Aussage beschreibt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung erster Ordnung: dy/dx + 2xy = 0?

Accepted Answer

y = Ce^(-x^2)

Answer

y = Cx^2

Answer

y = Ce^(x^2)

Question 30

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

y'' - 3y' + 2y = 0

Answer

y'' = (y/x) + x

Answer

y' = x^2 + y

Question 31

Welche Methode wird verwendet, um die folgende Differentialgleichung zu lösen: y'' + 2y' + y = e^x?

Accepted Answer

Variation der Konstanten

Answer

Charakteristische Gleichung

Answer

Integrierender Faktor

Answer

Trennung der Variablen

Question 32

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

u_xx + u_yy + u_zz = 0

Answer

u_x = u_y

Answer

u_t + u_x = 0

Answer

u_x + u_y = 0

Question 33

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung elliptischen Typs?

Accepted Answer

u_xx + u_yy = 0

Answer

u_tt - u_xx = 0

Answer

u_x - u_y = 0

Question 34

Welche homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die charakteristische Gleichung r^2 - 4r + 3 = 0?

Accepted Answer

y'' - 4y' + 3y = 0

Answer

y'' - 3y' + 4y = 0

Answer

y'' + 4y' + 3y = 0

Question 35

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt eine gedämpfte harmonische Bewegung?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'' + 4y' + y = 0

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Question 36

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Riccati-Gleichung?

Accepted Answer

y' = y^2 + x

Answer

y' = xy

Answer

y'' + y = x

Answer

y' = y + x

Question 37

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y'' + y = sin(x)

Answer

y' = x^2

Answer

y''' = e^x

Question 38

Welche der folgenden Methoden kann zur Lösung der partiellen Differentialgleichung ∂u/∂x + ∂u/∂y = 0 verwendet werden?

Accepted Answer

Methode der Charakteristiken

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 39

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Reihenentwicklung

Question 40

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = sin(x)

Answer

y'' + y = e^x

Answer

y'' - 2xy' + y = 0

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der Differentialgleichung y' = y^2?

Accepted Answer

y = 1/(C-x)

Answer

y = C*e^x

Answer

y = 1/x

Answer

y = x

Question 42

Welche der folgenden Bedingungen ist eine Anfangsbedingung für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y(0) = 1, y'(0) = 2

Answer

y''(0) = 3

Answer

y'(2) = 1

Answer

y(1) = 0

Question 43

Welche der folgenden Differentialgleichungen kann durch die Laplace-Transformation gelöst werden?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = e^x

Answer

y'' + y = y^2

Answer

y'' - 2xy' + y = 0

Answer

y'' - 2y' + y = sin(x)

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie enthält beliebig viele Konstanten.

Answer

Sie hängt von den Anfangsbedingungen ab.

Answer

Sie ist eindeutig bestimmt.

Answer

Sie kann nicht berechnet werden.

Question 45

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen ist in der Physik zu finden?

Accepted Answer

Modellierung der Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft

Answer

Berechnung von Steuerzahlungen

Answer

Erstellung von Kunstwerken

Question 46

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um eine Differentialgleichung numerisch zu lösen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Laplace-Transformation

Question 47

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung?

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y' = y^2

Answer

y''' - 3y'' + 2y' = sin(x)

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Question 48

Welche der folgenden Differentialgleichungen kann verwendet werden, um ein einfaches Pendel zu modellieren?

Accepted Answer

L'' + (g/l)*sin(L) = 0

Answer

y''' + 2y'' - y = 0

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' = y^2