Stochastik lernen: Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeiten und mehr

Question 1

Welche Aussage zur Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X und Y ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Das Eintreten von X beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von Y.

Answer

P(X und Y) = P(X) * P(Y)

Answer

P(nicht X und nicht Y) = P(nicht X) + P(nicht Y)

Question 2

Was ist eine Zufallsvariable und wie wird sie verwendet, um reale Phänomene zu modellieren?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuweist. Sie dient als mathematische Darstellung zufälliger Ereignisse.

Answer

Zufallsvariablen sind nur Zahlen, die den möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments entsprechen.

Answer

Zufallsvariablen sind dasselbe wie Ereignisse, deren Eintreten ungewiss ist.

Answer

Zufallsvariablen sind dasselbe wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Question 3

Wie beeinflusst die Größe der Stichprobe die statistische Schlussfolgerung?

Accepted Answer

Eine größere Stichprobe verbessert die Genauigkeit von Schätzungen und Hypothesentests.

Accepted Answer

Eine kleinere Stichprobe führt zu schwankenderen Schätzungen.

Answer

Die Stichprobengröße hat keinen Einfluss auf die statistischen Ergebnisse.

Question 4

In einer Urne befinden sich 10 blaue und 5 rote Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?

Accepted Answer

2/3

Answer

1/2

Answer

3/5

Answer

1/3

Question 5

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist symmetrisch zur y-Achse?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 6

Was versteht man unter dem Erwartungswert einer Zufallsgröße?

Accepted Answer

Der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte der Zufallsgröße

Answer

Die Standardabweichung der Zufallsgröße

Answer

Der wahrscheinlichste Wert der Zufallsgröße

Question 7

Die Varianz einer Zufallsgröße gibt an:

Accepted Answer

Die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert

Answer

Den Mittelwert der Zufallsgröße

Answer

Den wahrscheinlichsten Wert der Zufallsgröße

Question 8

Welche Aussage zur Normalverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegt, beträgt etwa 95%.

Answer

Die Normalverteilung ist immer symmetrisch zur x-Achse.

Question 9

Welche Methode der Stichprobenziehung stellt sicher, dass jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden?

Accepted Answer

Zufällige Stichprobenziehung

Answer

Schneeballstichprobe

Answer

Bequemlichkeitsstichprobe

Answer

Quotenstichprobe

Question 10

Welches Maß dient zur Beschreibung der zentralen Tendenz einer Verteilung?

Accepted Answer

Mittelwert

Answer

Varianz

Answer

Reichweite

Answer

Quartilsabstand

Question 11

Welche der folgenden Aussagen zu Hypothesentests ist korrekt?

Accepted Answer

Die Nullhypothese wird verworfen, wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau.

Answer

Die Alternativhypothese wird verworfen, wenn der p-Wert größer ist als das Signifikanzniveau.

Answer

Ein Hypothesentest kann beweisen, dass die Nullhypothese wahr ist.

Question 12

Welche der folgenden Aussagen definiert exakt eine Zufallsgröße?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

Eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Answer

Eine Zahl, die den Ausgang eines Zufallsexperiments beschreibt.

Question 13

Welche der aufgeführten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist symmetrisch zur y-Achse?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 14

Was beschreibt der Erwartungswert einer Zufallsgröße X?

Accepted Answer

Den gewichteten Mittelwert aller möglichen Werte von X, wobei die Gewichtung durch die Wahrscheinlichkeiten der Werte erfolgt.

Answer

Den Wert von X mit der höchsten Wahrscheinlichkeit.

Question 15

Nenne ein Anwendungsgebiet der Stochastik im medizinischen Bereich.

Accepted Answer

Modellierung der Ausbreitung von Krankheiten

Answer

Berechnung des Bruttoinlandsprodukts

Answer

Vorhersage von Wahlergebnissen

Answer

Optimierung von Verkehrsrouten

Question 16

Was ist der wesentliche Unterschied zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsgröße?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsgrößen können nur bestimmte Werte annehmen, während stetige Zufallsgrößen jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen können.

Answer

Diskrete Zufallsgrößen haben immer einen Erwartungswert von 0.

Question 17

Was ist die Zielsetzung der Parameterschätzung?

Accepted Answer

Das Schätzen unbekannter Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Basis von Stichprobendaten.

Answer

Das Vorhersagen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine diskrete Zufallsgröße? Eine Zufallsgröße nimmt nur bestimmte, voneinander getrennte Werte an.

Accepted Answer

Die Anzahl der geworfenen Sechsen mit einem Würfel

Answer

Das Gewicht eines Apfels

Answer

Die Höhe eines Menschen in Metern

Answer

Die Zeit bis zum nächsten Bus

Question 19

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Folge unabhängiger Versuche zu erzielen?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 20

Welcher der folgenden Werte ist der Erwartungswert einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = 3?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

9

Answer

-3

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Normalverteilung? Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine glockenförmige Kurve dargestellt wird.

Accepted Answer

Eine symmetrische, glockenförmige Verteilung

Answer

Eine asymmetrische Verteilung

Answer

Eine diskrete Verteilung

Answer

Eine binomialverteilte Verteilung

Question 22

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung der Stochastik in der Praxis?

Accepted Answer

Modellierung des Risikos in der Finanzwirtschaft

Answer

Lernen einer neuen Sprache

Answer

Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks

Answer

Erstellen eines Gedichts

Question 23

Welche der folgenden Größen ist eine Zufallsvariable? Eine Zufallsvariable ist eine Größe, deren Wert durch Zufall bestimmt wird.

Accepted Answer

Die Anzahl der defekten Produkte in einer Charge

Answer

Die Farbe eines Autos

Answer

Das Datum einer Prüfung

Answer

Die Zeitdauer eines Experiments

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Unabhängigkeit von Ereignissen? Das Eintreten des einen Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses.

Accepted Answer

Das Eintreten des einen Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses.

Answer

Die beiden Ereignisse treten gleichzeitig ein.

Question 25

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird verwendet, um die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis zu modellieren?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 26

Welche der folgenden Aussagen zu einer diskreten Zufallsgröße X mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten p(x) über alle möglichen Werte von X ist 1.

Answer

Die Standardabweichung von X ist immer größer als der Erwartungswert von X.

Answer

Der Erwartungswert von X ist gleich der Summe aller Werte von x.

Question 27

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf genau zweimal erscheint?

Accepted Answer

0,375

Answer

0,25

Answer

0,75

Answer

0,5

Question 28

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 29

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist 5 und ihre Varianz beträgt 2. Wie groß ist ihre Standardabweichung?

Accepted Answer

1,414

Answer

2

Answer

5

Answer

2,828

Question 30

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Normalverteilung?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert und ihre Dichtefunktion ist eine Glockenkurve.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung mit einer endlichen Anzahl von Werten.

Answer

Sie hat einen Erwartungswert von 0 und eine Varianz von 1.

Question 31

Welche der folgenden Aussagen ist eine Folgerung aus dem zentralen Grenzwertsatz?

Accepted Answer

Die Stichprobenmittelwerte einer großen Stichprobe aus einer Grundgesamtheit sind näherungsweise normalverteilt.

Answer

Der Stichprobenmittelwert ist immer größer als der Grundgesamtheitsmittelwert.

Question 32

Eine Zufallsvariable X hat eine Poissonverteilung mit dem Parameter λ = 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 2 annimmt?

Accepted Answer

0,224

Answer

0,135

Answer

0,303

Question 33

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Zufallsgröße korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.

Answer

Eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses angibt.

Answer

Eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Question 34

Welche der aufgeführten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist stetig?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 35

Wie lässt sich der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße X berechnen?

Accepted Answer

Erwartungswert = Summe aller (Ergebniswert * Wahrscheinlichkeit des Ergebniswertes)

Answer

Erwartungswert = Summe aller Wahrscheinlichkeiten des Ergebniswertes

Answer

Erwartungswert = Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über die Varianz

Answer

Erwartungswert = Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über den Definitionsbereich

Question 36

Welche Aussage über die Normalverteilung ist falsch?

Accepted Answer

Die Normalverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Die Glockenkurve der Normalverteilung ist unendlich lang.

Answer

Die Normalverteilung ist symmetrisch um ihren Mittelwert.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Varianz einer Zufallsgröße korrekt?

Accepted Answer

Ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße um ihren Erwartungswert.

Answer

Eine Zufallsgröße, die den Erwartungswert angibt.

Answer

Ein Wert, der immer größer als der Erwartungswert ist.

Question 38

Welche Anwendung der Stochastik kommt in der Praxis nicht vor?

Accepted Answer

Vorhersage des Wetters anhand von Horoskopen

Answer

Risikobewertung in der Finanzbranche

Answer

Meinungsumfragen bei Wahlen

Question 39

Wann ist eine Zufallsgröße binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Zeit bis zum nächsten Erfolg in einer Folge unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Anzahl der Defekte in einer Produktcharge

Question 40

Was beschreibt die hypergeometrische Verteilung?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von k Erfolgen in n Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K erfolgreich sind.

Answer

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von k Erfolgen in n Ziehungen mit Zurücklegen aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K erfolgreich sind.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Zufallsgröße zutreffend?

Accepted Answer

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Element einer Grundgesamtheit einen numerischen Wert zu.

Answer

Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die immer eine positive Zahl zurückgibt.

Answer

Eine Zufallsgröße ist eine Größe, die einen fest definierten Wert annimmt.

Question 42

Wie lautet der Erwartungswert einer Poissonverteilung mit dem Parameter λ = 4?

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

16

Answer

0,25

Question 43

Nenne eine gängige Anwendung der Stochastik in der Praxis.

Accepted Answer

Vorhersage von Wetterverhältnissen

Answer

Lösen von linearen Gleichungen

Answer

Berechnung von geometrischen Flächen

Question 44

Welche Aussage zur Varianz ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Datenpunkte um den Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist eine dimensionslose Größe.

Answer

Die Varianz kann auch negative Werte annehmen.

Question 45

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in einer festgelegten Anzahl unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Answer

Zeit bis zum ersten Erfolg in einem Versuch mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem Poissonprozess

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung ist falsch?

Accepted Answer

Die Normalverteilung ist eine endliche Verteilung.

Answer

Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Answer

Die Normalverteilung ist eine glockenförmige Verteilung.

Question 47

Nenne eine Anwendung der Stochastik im Bereich der Finanzmathematik.

Accepted Answer

Modellierung von Aktienkursen

Answer

Vorhersage von Erdbeben

Answer

Analyse von Krankheitsdaten

Answer

Optimierung von Produktionsprozessen

Question 48

Welche der folgenden Aussagen zur Standardabweichung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Answer

Die Standardabweichung ist eine dimensionslose Größe.

Answer

Die Standardabweichung kann negative Werte annehmen.

Question 49

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal 'Kopf' fällt?

Accepted Answer

3/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Answer

1/8

Question 50

Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 7 beträgt?

Accepted Answer

1/6

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/12

Question 51

Ein Unternehmen produziert Glühbirnen, von denen 5% defekt sind. Eine Stichprobe von 100 Glühbirnen wird entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Glühbirnen defekt sind?

Accepted Answer

0.97

Answer

0.50

Answer

0.90

Answer

0.03

Question 52

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist falsch?

Accepted Answer

Die Standardabweichung einer Zufallsvariable kann negativ sein.

Answer

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable kann negativ sein.

Answer

Die Varianz einer Zufallsvariable ist immer positiv.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1.

Question 53

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

Accepted Answer

5/14

Answer

3/8

Answer

1/2

Answer

5/8

Question 54

Welche der folgenden Verteilungen ist am besten geeignet, um die Anzahl der Autos zu beschreiben, die in einer Stunde an einer bestimmten Kreuzung vorbeifahren?

Accepted Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Gleichverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 55

Ein Unternehmen stellt Batterien her, deren Lebensdauer normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 100 Stunden und einer Standardabweichung von 10 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Batterie länger als 120 Stunden hält?

Accepted Answer

2.5%

Answer

97.5%

Answer

16%

Answer

50%

Question 56

Ein Spieler würfelt mit einem fairen Würfel. Er gewinnt, wenn er eine 6 würfelt. Welches ist der Erwartungswert seines Gewinns in Euro, wenn er pro Wurf 1 Euro einsetzt?

Accepted Answer

-0.17

Answer

0.00

Answer

1.00

Answer

0.17

Question 57

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen mindestens 8 beträgt?

Accepted Answer

5/12

Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

7/12

Question 58

Eine Münze wird viermal geworfen. X ist die Zufallsvariable für die Anzahl der Kopfseiten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Kopfseiten (X = 2).

Accepted Answer

3/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Answer

1/8

Question 59

Die Lebensdauer von Glühbirnen ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 1000 Stunden und einer Standardabweichung von 100 Stunden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Glühbirne mindestens 1100 Stunden hält?

Accepted Answer

0,1587

Answer

0,8413

Answer

0,3413

Answer

0,6827

Question 60

Bei einem Spiel musst du eine Zahl zwischen 1 und 10 erraten. Für jede falsche Antwort zahlst du 2 Euro. Rätst du richtig, gewinnst du 10 Euro. Berechne den Erwartungswert für dieses Spiel.

Accepted Answer

-0,80 Euro

Answer

2 Euro

Answer

0,80 Euro

Answer

10 Euro

Question 61

Welche Aussage zur Varianz einer Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Werte um den Mittelwert.

Answer

Die Varianz ist die Quadratwurzel der Standardabweichung.

Answer

Die Varianz ist immer positiv.

Answer

Die Varianz ist ein Maß für die Lage der Verteilung.

Question 62

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander. Welche Gleichung gilt in diesem Fall?

Accepted Answer

P(A und B) = P(A) * P(B)

Answer

P(A oder B) = P(A) + P(B)

Answer

P(A | B) = P(A)

Answer

P(B | A) = P(B)

Question 63

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen, ohne die erste Kugel zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.

Accepted Answer

5/14

Answer

25/64

Answer

1/2

Answer

5/8

Question 64

Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:  
 X | 1 | 2 | 3 | 4 | 
 P(X) | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 
 Berechne den Erwartungswert von X.

Accepted Answer

2,1

Answer

3,0

Answer

2,5

Answer

1,0