Vektorrechnung lernen: Grundlagen, Addition, Subtraktion, Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl Betrag als auch Richtung.

Answer

Vektoren haben keinen Betrag.

Answer

Vektoren haben weder Betrag noch Richtung.

Answer

Vektoren haben einen Betrag, aber keine Richtung.

Question 2

Was ist die Definition eines Vektors?

Accepted Answer

Eine gerichtete Strecke im Raum

Answer

Eine Zahl mit Betrag und Vorzeichen

Answer

Eine Menge von Punkten im Raum

Answer

Eine Größe, die nur einen Betrag hat

Question 3

Welche Eigenschaft trifft auf Vektoren nicht zu?

Accepted Answer

Vektoren haben einen festen Anfangs- und Endpunkt.

Answer

Vektoren haben eine Größe und eine Richtung.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Question 4

Definiere einen Vektor.

Accepted Answer

Eine gerichtete Größe mit Betrag und Richtung.

Answer

Eine Größe mit Richtung, aber ohne Betrag.

Answer

Ein Punkt im Raum.

Answer

Eine Gleichung.

Question 5

Welche Formel beschreibt das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b?

Accepted Answer

a · b

Answer

a + b

Answer

a - b

Answer

a x b

Question 6

Welche Aussage über den Kreuzprodukt-Vektor zweier Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Er ist ein Einheitsvektor.

Answer

Er ist orthogonal zu beiden Vektoren.

Answer

Sein Betrag ist gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Answer

Er zeigt in Richtung des Daumens der rechten Hand, wenn die Finger in Richtung der Vektoren zeigen.

Question 7

Berechne das Volumen des von den Vektoren **a** = (1, 2, 3), **b** = (2, 3, 1) und **c** = (-1, 1, 2) aufgespannten Parallelepipeds.

Accepted Answer

Das Volumen ist gleich dem Betrag des gemischten Produktes der drei Vektoren.

Answer

Das Volumen ist gleich der Summe der Beträge der drei Vektoren.

Answer

Das Volumen ist gleich dem Produkt der Beträge der drei Vektoren.

Answer

Das Volumen ist gleich dem Quotienten der Beträge der drei Vektoren.

Question 8

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt einen Vektor?

Accepted Answer

(3, 4)

Answer

3 + 4i

Answer

x^2 + y^2

Answer

xyz

Question 9

Welche Aussage über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Vektoren sind immer parallel zueinander.

Answer

Vektoren haben eine Größe und eine Richtung.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Question 10

Die Länge des Vektors a = (3, 4) beträgt:

Accepted Answer

7

Answer

1

Answer

5

Answer

9

Question 11

Welcher der folgenden Terme ist ein Vektor?

Accepted Answer

[2, 5]

Answer

3

Answer

x²

Answer

sin(x)

Question 12

Berechne die Summe der Vektoren a = [1, 3] und b = [-2, 5].

Accepted Answer

[-1, 8]

Answer

[-3, 2]

Answer

[1, -8]

Answer

[3, -2]

Question 13

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren a = [1, 0, 2] und b = [0, 1, -1].

Accepted Answer

[2, -1, 1]

Answer

[-2, 1, -1]

Answer

[1, -2, 1]

Answer

[-1, 2, -1]

Question 14

Welcher der folgenden Ausdrücke entspricht der Länge des Vektors [3, 4, 5]?

Accepted Answer

√(3² + 4² + 5²)

Answer

3 + 4 + 5

Answer

(3 + 4 + 5) / 3

Answer

3 * 4 * 5

Question 15

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a = [1, 1] und b = [2, 0].

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

60°

Answer

90°

Question 16

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

[0, 1, 0]

Answer

[1, 2, 3]

Answer

[3, 4, 5]

Answer

[-1, 0, 1]

Question 17

Welcher der folgenden Vektoren liegt auf der Geraden durch die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6)?

Accepted Answer

[3, 4, 5]

Answer

[3, 3, 3]

Answer

[5, 6, 7]

Answer

[-1, 0, 1]

Question 18

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Vektor dar?

Accepted Answer

2i + 3j

Answer

3

Answer

x^2 + y^2

Answer

sin(x)

Question 19

Berechne die Summe der Vektoren a = (1, 2) und b = (3, -1).

Accepted Answer

(4, 1)

Answer

(4, -1)

Answer

(2, 3)

Answer

(2, -3)

Question 20

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a = (1, 0) und b = (0, 1).

Accepted Answer

90°

Answer

0°

Answer

45°

Answer

180°

Question 21

Welche Ungleichung beschreibt die Dreiecksungleichung für Vektoren in der Ebene?

Accepted Answer

|**a** + **b**| ≤ |**a**| + |**b**|

Answer

|**a** + **b**|² = |**a**|² + |**b**|²

Answer

|**a** + **b**| = |**a**| + |**b**|

Answer

|**a** + **b**| ≥ |**a**| + |**b**|

Question 22

Was ist die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zweier Vektoren? Erläutere sie anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Betrag des Projektionsvektors eines Vektors auf den anderen.

Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren.

Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Winkel zwischen den Vektoren.

Question 23

Wie berechnet man mit dem Kreuzprodukt die Flächennormale einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte definiert ist?

Accepted Answer

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren von P1 nach P2 und von P1 nach P3.

Answer

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren von P1 nach P2 und von P1 nach P3.

Answer

Addiere die Vektoren von P1 nach P2 und von P1 nach P3.

Answer

Subtrahiere den Vektor von P1 nach P2 vom Vektor von P1 nach P3.

Question 24

Welche drei Transformationen von 3D-Modellen in der Computergrafik werden durch Vektoren ermöglicht?

Accepted Answer

Skalierung, Drehung, Translation

Answer

Skalierung, Farbe, Position

Answer

Drehung, Texturierung, Beleuchtung

Question 25

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes (mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)). Erläutern Sie kurz die physikalische Bedeutung der Rotation.

Accepted Answer

(
abla	imesmathbf{F} = ( rac{partial F_z}{partial y} - rac{partial F_y}{partial z}, rac{partial F_x}{partial z} - rac{partial F_z}{partial x}, rac{partial F_y}{partial x} - rac{partial F_x}{partial y} ))

Answer

(
abla	imesmathbf{F} = 0)

Answer

(
abla	imesmathbf{F} = mathbf{0})

Answer

(
abla	imesmathbf{F} = mathbf{F} 	imes mathbf{F})

Question 26

Das Skalarprodukt ist eine bilineare Operation. Erläutern Sie diese Eigenschaft, indem Sie seine Links- und Rechtsdistributivität aufzeigen.

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist sowohl links- als auch rechtsdistributiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist linksdistributiv, aber nicht rechtsdistributiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist rechtsdistributiv, aber nicht linksdistributiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist weder links- noch rechtsdistributiv.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl eine Größe als auch eine Richtung.

Answer

Vektoren sind immer parallel zueinander.

Answer

Vektoren haben nur eine Größe.

Answer

Vektoren haben nur eine Richtung.

Question 28

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zur x-Achse?

Accepted Answer

(3, 0)

Answer

(1, -2)

Answer

(2, 2)

Answer

(0, 3)

Question 29

Gib die Länge des Vektors v = (2, -3, 4) an.

Accepted Answer

√29

Answer

10

Answer

5

Answer

29

Question 30

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(sqrt(3)/3, sqrt(3)/3, sqrt(3)/3)

Answer

(2, 0, -1)

Answer

(0, 1, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Question 31

Was ist die Länge des Vektors ⁢(3, 4, 5)⁣?

Accepted Answer

sqrt(50)

Answer

25

Answer

7

Answer

12

Question 32

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor ⁢(2, 3, -1)⁣?

Accepted Answer

(4, 6, -2)

Answer

(2, 1, -3)

Answer

(1, 1, 0)

Answer

(0, 0, 1)

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren haben eine Länge und eine Richtung.

Answer

Vektoren können nicht mit einer Zahl multipliziert werden.

Answer

Vektoren haben nur einen Endpunkt.

Answer

Vektoren können subtrahiert, aber nicht addiert werden.

Question 34

Was ist das Ergebnis des Skalarprodukts zweier Vektoren?

Accepted Answer

Eine Zahl

Answer

Ein Vektor

Answer

Ein Kreuzprodukt

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt ist korrekt?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist 0, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer negativ.

Answer

Das Skalarprodukt ist ein Vektor.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über den Normalenvektor einer Ebene ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist senkrecht zu jedem Vektor in der Ebene.

Answer

Er ist parallel zu jedem Vektor in der Ebene.

Answer

Er hat die gleiche Länge wie jeder Vektor in der Ebene.

Answer

Er ist eindeutig bestimmt.

Question 37

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert das Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

a · b = |a| |b| cos(θ)

Answer

a · b = a x b

Answer

a · b = |a| + |b|

Answer

a · b = a + b

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt ist kommutativ.

Answer

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor.

Answer

Das Kreuzprodukt hat die Länge |a| |b| sin(θ).

Answer

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ.

Question 39

Welche Operation ist für Vektoren **nicht** definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Skalarprodukt

Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Question 40

Gegeben sind die Vektoren **a** = (2, 1) und **b** = (-1, 3). Bestimme **a** + **b**.

Accepted Answer

(1, 4)

Answer

(1, 2)

Answer

(3, 4)

Answer

(-2, 2)

Question 41

Ermittle die Länge des Vektors **a** = (3, 4).

Accepted Answer

5

Answer

7

Answer

1

Answer

25

Question 42

Nenne die Bedingung, die für die Orthogonalität zweier Vektoren erfüllt sein muss.

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist null.

Answer

Sie haben die gleiche Richtung.

Answer

Sie sind parallel zueinander.

Answer

Ihre Länge ist gleich.

Question 43

Welche Richtung hat das Kreuzprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

Senkrecht zu beiden Vektoren

Answer

Parallel zu beiden Vektoren

Answer

In der gleichen Richtung wie der erste Vektor

Question 44

Welche Aussage über das Kreuzprodukt ist **falsch**?

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt ist kommutativ.

Answer

Die Länge des Kreuzprodukts entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Answer

Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.

Answer

Das Kreuzprodukt ist distributiv.

Question 45

Gib die Formel für die Ebenengleichung in Vektorform an.

Accepted Answer

**r** = **a** + s**u** + t**v**

Answer

**r** = **a** + **u** + **v**

Answer

**r** = **a** + t**u**

Answer

**r** = s**u** + t**v**

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren steht.

Answer

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der parallel zu beiden Ausgangsvektoren steht.

Answer

Das Kreuzprodukt ist ein Skalar, der den Winkel zwischen den Vektoren darstellt.

Question 47

Gegeben ist der Vektor **a = (3, -2)**. Was ist der Betrag von **a**?

Accepted Answer

√13

Answer

7

Answer

1

Answer

5

Question 48

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Gerade, die durch den Punkt **P(1, 2)** geht und parallel zum Vektor **v = (2, -1)** ist?

Accepted Answer

**x = 1 + 2t, y = 2 - t**

Answer

**x = 1 + t, y = 2 + 2t**

Answer

**x = 2 + t, y = -1 + 2t**

Answer

**x = 2 + 2t, y = -1 - t**

Question 49

Gegeben sind die Vektoren **a = (2, 1)** und **b = (-1, 3)**. Was ist der Winkel zwischen den Vektoren **a** und **b**?

Accepted Answer

71,57°

Answer

90°

Answer

45°

Answer

180°

Question 50

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt einen Vektor?

Accepted Answer

Eine gerichtete Größe mit Betrag und Richtung

Answer

Eine skalare Größe mit nur einem Betrag

Answer

Eine komplexe Zahl mit Real- und Imaginärteil

Answer

Eine Matrix mit mehreren Elementen

Question 51

Wie lautet die Summe der Vektoren **a = (2, 3)** und **b = (-1, 5)**?

Accepted Answer

**(1, 8)**

Answer

**(1, -8)**

Answer

**(-3, 8)**

Answer

**(3, 2)**

Question 52

Welcher der folgenden Winkel ist zwischen den Vektoren a = (1, 0) und b = (0, 1) eingeschlossen?

Accepted Answer

90°

Answer

180°

Answer

45°

Answer

0°

Question 53

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1/√2, 1/√2)

Answer

(2/√2, 1/√2)

Answer

(1/√3, 1/√3)

Answer

(1, 0)

Question 54

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die Summe der Vektoren **a** und **b** dar?

Accepted Answer

**a** + **b**

Answer

|**a**| - |**b**|

Answer

|**a**| + |**b**|

Answer

**a** - **b**

Question 55

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt das Skalarprodukt der Vektoren **a** und **b** dar?

Accepted Answer

**a** ⋅ **b**

Answer

|**a**| + |**b**|

Answer

**a** + **b**

Answer

|**a**| × |**b**|

Question 56

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt das Kreuzprodukt der Vektoren **a** und **b** dar?

Accepted Answer

**a** × **b**

Answer

**a** ⋅ **b**

Answer

**a** + **b**

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl eine Größe als auch eine Richtung.

Answer

Vektoren haben nur eine Richtung.

Answer

Vektoren haben nur eine Größe.

Question 58

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors **a**?

Accepted Answer

|**a**| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Answer

|**a**| = a₁² + a₂² + a₃²

Answer

|**a**| = a₁ + a₂ + a₃

Answer

|**a**| = (a₁² + a₂² + a₃²)¹⁄³

Question 59

Welcher der folgenden Vektoren ist kollinear zum Vektor **a** = (2, 3, 4)?

Accepted Answer

**b** = (4, 6, 8)

Answer

**d** = (3, 2, 4)

Answer

**c** = (1, 1, 1)

Answer

**e** = (2, 1, 3)

Question 60

Welcher der folgenden Vektoren ist orthogonal zum Vektor **a** = (2, 3, 4)?

Accepted Answer

**b** = (-3, 2, 1)

Answer

**d** = (3, 2, 4)

Answer

**e** = (2, 1, 3)

Answer

**c** = (1, 1, 1)

Question 61

Welche der folgenden Anwendungen verwendet Vektorrechnung?

Accepted Answer

Berechnung von Kräften und Drehmomenten in der Physik

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Answer

Zeichnen von Diagrammen