Zufallsvariablen verstehen: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Ergebnisraums einen:

Accepted Answer

Zahlenwert zu.

Answer

Ereignis zu.

Answer

Wahrscheinlichkeitsverteilung zu.

Answer

Konstanten Wert zu.

Question 2

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt eine Zufallsvariable, die eine begrenzte Anzahl bestimmter Werte annehmen kann?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 3

Die Definition des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen lautet:

Accepted Answer

Gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte

Answer

Modus der Zufallsvariablen

Answer

Summe aller möglichen Werte

Answer

Größer als die Standardabweichung

Question 4

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen, die einer Binomialverteilung folgt, lautet:

Accepted Answer

P(X = x) = (n! / (x! * (n-x)!)) * p^x * q^(n-x)

Answer

P(X = x) = (1 / sqrt(2 * pi * sigma^2)) * e^(-(x - mu)^2 / (2 * sigma^2))

Answer

P(X = x) = lambda^x * e^(-lambda) / x!

Answer

P(X = x) = 1 / n

Question 5

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Zufallsvariable am genauesten?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine eindeutige reelle Zahl zuordnet.

Answer

Eine Zufallsvariable ist immer diskret.

Answer

Eine Zufallsvariable kann nur positive Werte annehmen.

Answer

Eine Zufallsvariable ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments.

Question 6

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen zweier Münzen mindestens eine Kopfseite zeigt, beträgt:

Accepted Answer

3/4

Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

1/8

Question 7

Welche der folgenden Funktionen ist eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

f(x) = e^(-x^2)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x >= 0

Question 8

Eine Zufallsvariable X hat folgende Werte: x1, x2, x3. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind p1, p2, p3. Welcher Ausdruck gibt die Standardabweichung von X an?

Accepted Answer

sqrt(sum((x - mu)^2 * p))

Answer

sum((x - mu)^2 * p)

Answer

sqrt(sum((x - mu)^2))

Answer

sum(x * p)

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über Zufallsvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Zufallsvektoren sind Funktionen, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Vektor zuordnen.

Answer

Die Komponenten eines Zufallsvektors sind immer voneinander abhängig.

Answer

Ein Zufallsvektor kann nur endlich viele Werte annehmen.

Answer

Alle Aussagen treffen zu.

Question 10

Welche Art von Zufallsvariablen liegt vor, wenn die möglichen Werte nur bestimmte diskrete Zahlen annehmen können?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Stetige Zufallsvariable

Answer

Mischverteilung

Question 11

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen ordnet jedem möglichen Wert der Zufallsvariablen eine:

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit zu

Answer

Verteilung zu

Answer

Erwartungswert zu

Question 12

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist zutreffend?

Accepted Answer

Er ist gleich dem Mittelwert der Zufallsvariablen

Answer

Er ist gleich der Varianz der Zufallsvariablen

Answer

Er ist immer positiv

Question 13

Eine Zufallsvariable Y folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ=2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y kleiner als 1 ist?

Accepted Answer

0,1353

Answer

0,5

Answer

0,8647

Question 14

Welche Aussage über unabhängige Zufallsvariablen ist falsch?

Accepted Answer

Ihre Varianzen sind voneinander abhängig

Answer

Ihre Summe ist eine Zufallsvariable

Answer

Ihre Erwartungswerte sind voneinander unabhängig

Question 15

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Var(X) = E(X²) - E(X)²

Answer

Var(X) = E(X) - E(X)²

Answer

Var(X) = E(X) + E(X)²

Question 16

Was beschreibt den Begriff Zufallsvariable treffend?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable bildet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable bleibt bei jedem Ausgang eines Zufallsexperiments gleich.

Answer

Eine Zufallsvariable berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses.

Question 17

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable gibt an:

Accepted Answer

Mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Die Standardabweichung der Zufallsvariablen.

Answer

Den Erwartungswert der Zufallsvariablen.

Question 18

Welche Zufallsvariable stellt ein diskretes Ereignis dar?

Accepted Answer

Anzahl der Würfe bis zum Würfeln einer 6 bei einem normalen Würfel

Answer

Körpergröße einer Person in Zentimetern

Answer

Gewicht eines Autos in Kilogramm

Question 19

Wie lautet der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit n=10 und p=0,5?

Accepted Answer

5

Answer

0,5

Answer

10

Question 20

Was beschreibt die Standardabweichung einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Streuung der Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Answer

Den wahrscheinlichsten Wert der Zufallsvariablen.

Answer

Den minimalen Wert der Zufallsvariablen.

Question 21

Welche Aussage zum zentralen Grenzwertsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Die Verteilung von Stichprobenmittelwerten einer Zufallsvariablen nähert sich einer Normalverteilung an, wenn die Stichprobengröße ausreichend groß ist.

Answer

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist gleich dem Mittelwert ihrer Verteilung.

Question 22

Welche Anwendung von Zufallsvariablen ist in der Praxis relevant?

Accepted Answer

Simulation stochastischer Prozesse

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Berechnen des Flächeninhalts von Kreisen

Answer

Zeichnen von Geraden

Question 23

Welche Software eignet sich zur Simulation von Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Python mit der NumPy-Bibliothek

Answer

AutoCAD

Answer

Adobe Photoshop

Answer

Microsoft Excel

Question 24

Welche der folgenden Größen ist eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der gewürfelten Augen beim einmaligen Werfen eines Würfels.

Answer

Die Nationalität einer Person

Answer

Die Temperatur in Berlin am 1. Januar 2023

Answer

Die Größe eines Menschen

Question 25

Welche Aussage über Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ist gleich 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung muss eine Normalverteilung sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes kann größer als 1 sein.

Question 26

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der mittlere Wert der Zufallsvariablen.

Answer

Der Erwartungswert ist immer positiv.

Answer

Der Erwartungswert ist der häufigste Wert.

Question 27

Welche Aussage über die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen.

Answer

Die Korrelation ist immer positiv.

Answer

Die Korrelation ist das Produkt der Varianzen.

Question 28

Welche Maßnahme ist am besten geeignet, um den linearen Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen zu messen?

Accepted Answer

Korrelationskoeffizient

Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Answer

Modus

Question 29

Welche Aussage über diskrete Zufallsvariablen ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable ist immer monoton steigend.

Answer

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an.

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable ist 1.

Question 30

Welche der folgenden ist eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Zeit, die ein Kunde im Geschäft verbringt.

Answer

Die Augenzahl beim Würfeln eines Würfels.

Answer

Die Anzahl der Kinder in einer Familie.

Question 31

Was beschreibt die Erwartung einer Zufallsvariable am besten?

Accepted Answer

Der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte der Zufallsvariable.

Answer

Der maximale Wert der Zufallsvariable.

Answer

Der wahrscheinlichste Wert der Zufallsvariable.

Question 32

Welche Transformation einer Zufallsvariable X verändert die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X NICHT?

Accepted Answer

X + c, wobei c eine Konstante ist.

Answer

X^2

Answer

|X|

Answer

sin(X)

Question 33

Welche der folgenden ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 34

Welche Aussage über die Normalverteilung ist WAHR?

Accepted Answer

Die Normalverteilung ist symmetrisch.

Answer

Die Normalverteilung ist eine diskrete Verteilung.

Answer

Die Normalverteilung hat nur einen Modus.

Question 35

Welche Aussage über die t-Verteilung ist FALSCH?

Accepted Answer

Die t-Verteilung ist nicht symmetrisch.

Answer

Die t-Verteilung hat dickere Schwänze als die Normalverteilung.

Answer

Die t-Verteilung hat einen Freiheitsgradparameter.

Answer

Die t-Verteilung wird verwendet, um Hypothesen über den Mittelwert einer Normalverteilung zu testen.

Question 36

Welche der folgenden Zufallsvariablen hat eine Chi-Quadrat-Verteilung?

Accepted Answer

Die Summe der Quadrate von n unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen.

Answer

Die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Answer

Die Zeit bis zum Eintreffen des nächsten Ereignisses in einem Poisson-Prozess mit Rate λ.

Question 37

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist **falsch**?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable kann immer nur ganzzahlige Werte annehmen.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängt.

Answer

Eine Zufallsvariable kann diskret oder stetig sein.

Question 38

Welche der folgenden Variablen ist **keine** Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der Seiten eines Würfels.

Answer

Die Temperatur in einem Raum.

Answer

Die Anzahl der roten Kugeln, die bei 5 Ziehungen aus einer Urne gezogen werden.

Answer

Die Körpergröße einer zufällig ausgewählten Person.

Question 39

Welche Art von Zufallsvariable ist die Anzahl der defekten Produkte in einer Stichprobe von 100 Produkten?

Accepted Answer

Diskret

Answer

Normalverteilt

Answer

Stetig

Answer

Binomialverteilt

Question 40

Was beschreibt die Standardabweichung einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Die Streuung der Werte um den Erwartungswert.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Answer

Die maximale Abweichung von einem Wert vom Erwartungswert.

Question 41

Eine Firma produziert Glühbirnen. Die durchschnittliche Lebensdauer einer Glühbirne beträgt 1000 Stunden mit einer Standardabweichung von 100 Stunden. Welche Aussage ist **am wahrscheinlichsten**?

Accepted Answer

Die meisten Glühbirnen haben eine Lebensdauer zwischen 900 und 1100 Stunden.

Answer

Die meisten Glühbirnen haben eine Lebensdauer von mehr als 1100 Stunden.

Answer

Die meisten Glühbirnen haben eine Lebensdauer von genau 1000 Stunden.

Question 42

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 50 und einer Standardabweichung von 10. Welcher Wert von X entspricht dem 90. Perzentil?

Accepted Answer

62.8

Answer

50.0

Answer

58.3

Answer

65.5

Question 43

Welche Situation wird **am besten** mit einer binomialverteilten Zufallsvariablen modelliert?

Accepted Answer

Die Anzahl der defekten Bauteile in einer Stichprobe von 100 Bauteilen, wenn die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Bauteil 0.05 beträgt.

Answer

Die Körpergröße von 100 zufällig ausgewählten Personen.

Question 44

Ein Unternehmen führt eine Umfrage durch, um die Kundenzufriedenheit mit einem neuen Produkt zu ermitteln. 100 Kunden werden zufällig ausgewählt. Welche Zufallsvariable wird verwendet, um die Anzahl der zufriedenen Kunden in dieser Stichprobe zu modellieren?

Accepted Answer

Binomialverteilt

Answer

Gleichverteilt

Answer

Normalverteilt

Answer

Poissonverteilt

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Zufallsvariablen ist **falsch**?

Accepted Answer

Zufallsvariablen können nur diskrete Werte annehmen.

Answer

Zufallsvariablen können sowohl diskrete als auch stetige Werte annehmen.

Answer

Zufallsvariablen beschreiben den Ausgang eines Zufallsexperiments.

Question 46

Welche Art von Zufallsvariable ist die Körpergröße einer zufällig ausgewählten Person?

Accepted Answer

Stetige Zufallsvariable

Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Wahrscheinlichkeitsvariable

Answer

Binäre Zufallsvariable

Question 47

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine 6 zeigt, beträgt 1/6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei vier Würfen mindestens einmal eine 6 gewürfelt wird?

Accepted Answer

1 - (5/6)^4

Answer

(5/6)^4

Answer

4 * (1/6)

Answer

(1/6)^4

Question 48

Welche der folgenden Grafiken zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Ein Histogramm mit Balken für die verschiedenen Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Eine stetige Kurve, die die Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt.

Answer

Ein Streudiagramm, das die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen zeigt.

Question 49

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der defekten Chips in einer Produktionsserie von 100 Chips. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip defekt ist, beträgt 0.02. Wie berechnet man den Erwartungswert von X?

Accepted Answer

E(X) = n * p = 100 * 0.02

Answer

E(X) = p = 0.02

Answer

E(X) = 1 - p = 0.98

Question 50

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Erwartungswert gibt den durchschnittlichen Wert der Zufallsvariablen an, wenn das Experiment viele Male wiederholt wird.

Answer

Der Erwartungswert entspricht dem wahrscheinlichsten Wert der Zufallsvariablen.

Question 51

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Fehler in einem Programmcode. Die Varianz von X beträgt 2.5. Was sagt das über die Streuung der Daten aus?

Accepted Answer

Die Daten sind relativ stark gestreut.

Answer

Die Daten sind sehr eng um den Erwartungswert verteilt.

Answer

Die Daten sind gleichmäßig verteilt.

Answer

Die Varianz sagt nichts über die Streuung der Daten aus.

Question 52

Welche der folgenden Eigenschaften ist **nicht** typisch für eine Binomialverteilung?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis kann unterschiedlich sein.

Answer

Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse für jedes Ereignis.

Answer

Die Ereignisse sind unabhängig voneinander.