Reihen in der Mathematik: Definition und Konvergenz

Question 1

Formuliere das Cauchy-Folge-Kriterium für die Konvergenz einer unendlichen Reihe.

Accepted Answer

Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn ihre Folgenglieder eine Cauchy-Folge bilden.

Answer

Eine Reihe ist genau dann divergent, wenn ihre Folgenglieder eine Cauchy-Folge bilden.

Answer

Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn ihre Teilsummen eine Cauchy-Folge bilden.

Answer

Eine Reihe ist genau dann divergent, wenn ihre Teilsummen eine Cauchy-Folge bilden.

Question 2

Welche Aussage trifft auf eine konvergente Reihe zu?

Accepted Answer

Die Summe ihrer Glieder nähert sich einem endlichen Wert an.

Answer

Die Summe ihrer Glieder wächst unbegrenzt an.

Answer

Die Summe ihrer Glieder schwankt zwischen zwei Werten.

Answer

Die Summe ihrer Glieder ist undefiniert.

Question 3

Welche Reihe ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - ...

Answer

1 + 2 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Question 4

Welcher Test wird verwendet, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu testen?

Accepted Answer

Alternating Reihen-Test

Answer

D'Alembert-Test

Answer

Wurzeltest

Answer

Integralkriterium

Question 5

Welche Reihe ist eine bedingt konvergente Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - ...

Answer

1 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...

Question 6

Was ist keine Reihe?

Accepted Answer

1, 2, 3, 4, ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Question 7

Welche Aussage gilt für eine alternierende Reihe, die gegen 0 konvergiert?

Accepted Answer

Ihre Folgenglieder werden im Betrag immer kleiner.

Accepted Answer

Sie ist nicht absolut konvergent.

Answer

Ihre Folgenglieder nähern sich demselben Grenzwert an.

Answer

Ihre Summe ist eine rationale Zahl.

Question 8

Was versteht man unter einer Reihe?

Accepted Answer

Die Summe unendlich vieler Zahlen

Answer

Die Summe endlich vieler Zahlen

Answer

Die Differenz unendlich vieler Zahlen

Answer

Die Differenz endlich vieler Zahlen

Question 9

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 10

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 11

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 12

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 13

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Question 14

Um die Konvergenz einer Reihe mit dem Majorantenkriterium zu überprüfen, musst du zuerst…

Accepted Answer

…eine konvergente Reihe finden, die die gegebene Reihe majorisiert.

Answer

…den Grenzwert der Reihe berechnen.

Answer

…das Konvergenzverhalten der Folge der Partialsummen untersuchen.

Answer

…überprüfen, ob die Reihe monoton ist.

Question 15

Die Reihe ( sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n^2+2} ) soll mit dem Integraltest untersucht werden. Konvergiert oder divergiert die Reihe?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da ( int_1^infty rac{1}{x^2+2}  dx ) konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert, da ( lim_{n	oinfty} rac{1}{n^2+2} = 0 ).

Answer

Die Reihe divergiert, da ( rac{1}{n^2+2} ) nicht monoton fallend ist.

Answer

Die Reihe divergiert, da ( sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n^2} ) divergiert.

Question 16

Eine geometrische Reihe ist definiert durch:

Accepted Answer

Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist konstant.

Answer

Jedes Folgenglied entsteht durch Addition einer konstanten Zahl zum vorherigen Folgenglied.

Answer

Alle Folgenglieder sind gleich.

Answer

Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern ist konstant.

Question 17

Für die Konvergenz einer geometrischen Reihe mit dem Quotienten r ist folgendes Kriterium notwendig:

Accepted Answer

|r| < 1

Answer

|r| > 1

Answer

r = 1

Answer

r = -1

Question 18

Eine alternierende Reihe ...

Accepted Answer

... hat sowohl positive als auch negative Folgenglieder mit abwechselnden Vorzeichen.

Answer

... hat alle positiven Folgenglieder.

Answer

... hat alle negativen Folgenglieder.

Answer

... hat konstante Folgenglieder.

Question 19

Der Leibniz-Test dient zum Testen der Konvergenz von:

Accepted Answer

Alternierenden Reihen

Answer

Geometrische Reihen

Answer

Harmonie-Reihen

Answer

p-Reihen

Question 20

Eine bedingte konvergente Reihe ...

Accepted Answer

... konvergiert, aber nicht unbedingt absolut.

Answer

... ist absolut konvergent.

Answer

... divergiert.

Answer

... ist eine alternierende Reihe.

Question 21

Eine absolut konvergente Reihe ...

Accepted Answer

... konvergiert sowohl absolut als auch bedingt.

Answer

... ist eine bedingte konvergente Reihe.

Answer

... divergiert.

Answer

... ist eine harmonische Reihe.

Question 22

Eine divergente Reihe ...

Accepted Answer

... hat keinen Grenzwert.

Answer

... konvergiert gegen einen endlichen Grenzwert.

Answer

... konvergiert gegen unendlich.

Answer

... ist eine bedingte konvergente Reihe.

Question 23

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge ...

Accepted Answer

... für die eine Zahl ε existiert, sodass es einen Index N gibt, für alle n > N gilt: |a_n - a_m| < ε für alle m > n.

Answer

... deren Glieder gegen Null konvergieren.

Answer

... deren Glieder beschränkt sind.

Answer

... deren Glieder sich unendlich oft wiederholen.

Question 24

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist:

Accepted Answer

Die Folge der Folgenglieder muss gegen Null konvergieren.

Answer

Die Folge der Folgenglieder muss beschränkt sein.

Answer

Die Reihe muss alternierend sein.

Answer

Die Reihe muss geometrisch sein.

Question 25

Welche Aussage beschreibt die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... treffend?

Accepted Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 31

Answer

Konvergiert

Answer

Konvergenztest nicht anwendbar

Question 26

Welche Reihe konvergiert gegen e?

Accepted Answer

1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

Answer

-1 + 1/2 - 1/4 + 1/8 - ...

Answer

1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 27

Welche Aussage definiert eine konvergente Reihe?

Accepted Answer

Die Grenzwertfolge der Partialsummen existiert und ist endlich.

Answer

Die Partialsummen pendeln zwischen zwei festen Werten.

Answer

Die Grenzwertfolge der Partialsummen existiert und ist unendlich.

Question 28

Überprüfe, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert.

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Divergiert gegen 0

Answer

Divergiert gegen unendlich

Answer

Alterniert

Question 29

Überprüfe, ob die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... konvergiert.

Accepted Answer

Divergiert gegen unendlich

Answer

Alterniert

Answer

Konvergiert gegen 0

Answer

Konvergiert gegen 32

Question 30

Welche Aussage ist für die Reihe 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + ... zutreffend?

Accepted Answer

Alterniert und konvergiert gegen 4/3.

Answer

Alterniert und divergiert gegen 0.

Answer

Divergiert gegen unendlich.

Answer

Konvergiert gegen 1.

Question 31

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz einer Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Grenzwerte ihrer Partialsummenfolgen existieren.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummenfolgen monoton sind.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummenfolgen beschränkt sind.

Question 32

Welche der folgenden Reihen ist nicht konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1,∞) 1/n

Answer

∑(n=1,∞) (-1)^(n+1) / n

Answer

∑(n=1,∞) 1/n²

Answer

∑(n=1,∞) e^(-n)

Question 33

Formulieren Sie das Quotientenkriterium.

Accepted Answer

Sei {a_n} eine Folge von reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ∑(n=1,∞) a_n genau dann, wenn lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) = L existiert und L < 1 ist.

Answer

Sei {a_n} eine Folge von reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ∑(n=1,∞) a_n genau dann, wenn lim_(n→∞) (a_(n+1) / a_n) = L existiert und L > 1 ist.

Question 34

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=0,∞) 2^n

Answer

∑(n=1,∞) n²

Answer

∑(n=1,∞) sin(n)

Answer

∑(n=1,∞) 1/n

Question 35

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1,∞) (1/(n+1) - 1/n)

Answer

∑(n=1,∞) n²

Answer

∑(n=1,∞) 1/n

Answer

∑(n=1,∞) sin(n)

Question 36

Bestimmen Sie die Summe der teleskopischen Reihe ∑(n=1,∞) (1/(n(n+1)))

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 37

Bestimmen Sie, ob die folgende Reihe absolut konvergiert: ∑(n=1,∞) (-1)^(n+1) / n²

Accepted Answer

Absolut konvergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Divergent

Question 38

Welche Aussage beschreibt eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

a_n = a_1 * q^(n-1)

Answer

a_n = a_1 + log(n)

Answer

a_n = a_1 + n * d

Answer

a_n = a_1 + n^2

Question 39

Welche Reihe stellt eine harmonische Reihe dar?

Accepted Answer

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

Question 40

Welches Konvergenzkriterium besagt, dass eine Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Quotienten aufeinanderfolgender Terme gleich 1 ist?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Verdichtungskriterium

Answer

Integralkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 41

Welche Reihe ist ein Beispiel für eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

(-1)^n / n

Answer

sin(n)

Answer

1/n^2

Answer

n^2 + 1

Question 42

Welches Konvergenzkriterium wird zur Bestimmung der Konvergenz einer alternierenden Reihe verwendet?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Verdichtungskriterium

Question 43

Welche Aussage zur bedingten Konvergenz ist korrekt?

Accepted Answer

Eine bedingt konvergente Reihe konvergiert, aber ihre absolute Reihe divergiert.

Answer

Eine bedingt konvergente Reihe konvergiert absolut.

Answer

Eine bedingt konvergente Reihe divergiert.

Question 44

Welche Reihe ist ein Beispiel für eine divergente Reihe?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

(-1)^n / n

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 45

Bestimme den Grenzwert der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Question 46

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

-1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 47

Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = (n + 2) / (n - 1) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

existiert nicht

Answer

0

Answer

unendlich

Question 48

Welche Aussage über die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen π²/6.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 1.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Question 49

Welchen Grenzwert hat die alternierende Reihe (-1)^n / n^2 für n gegen unendlich?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-1

Question 50

Welche Aussage über die Reihe 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe ist bedingt konvergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Question 51

Was ist der Grenzwert der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

(-1/2)^n

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 54

Was beschreibt der Konvergenzradius einer Potenzreihe?

Accepted Answer

Den Bereich um den Entwicklungspunkt, in dem die Potenzreihe konvergiert.

Answer

Den Grad der Abweichung vom Grenzwert.

Answer

Die Anzahl der Summanden, die für die Konvergenz benötigt werden.

Answer

Den Wert, gegen den die Potenzreihe konvergiert.

Question 55

Was ist die Definition einer Reihe?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist eine Summe von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist eine Differenz von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist eine endliche Folge von Zahlen.

Question 56

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

-1 + 1/2 - 1/4 + 1/8 - ...

Answer

|1| + |1/2| + |1/4| + |1/8| + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Question 57

Was ist die Summe der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

2

Answer

Die Reihe konvergiert nicht.

Answer

1

Answer

1/2

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

|1| + |1/2| + |1/4| + |1/8| + ...

Question 59

Welcher Test kann verwendet werden, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 60

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopierende Reihe?

Accepted Answer

(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...