Vektorräume und lineare Abbildungen: Interaktive Lernquizzes für Studierende der Informatik

Question 1

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 2

Definiere einen Vektorraum.

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit den Verknüpfungen Addition und Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen

Answer

Eine Menge von Matrizen mit den Verknüpfungen Addition und Matrixmultiplikation

Answer

Eine Funktion mit Wertebereich in den reellen Zahlen

Answer

Eine Gleichung mit mehreren Variablen

Question 3

Bestimme die Dimension des folgenden Vektorraums, der von den Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) aufgespannt wird:

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 4

Berechne den Kern der folgenden linearen Abbildung: f(x, y) = (x + y, x - 2y)

Accepted Answer

Der eindimensionale Untervektorraum, aufgespannt von (1, -1)

Answer

Der Nullvektor

Answer

Der zweidimensionale Untervektorraum, aufgespannt von (1, 0), (0, 1)

Answer

Der dreidimensionale Untervektorraum, aufgespannt von (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Question 5

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Nullen in der Matrix.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Bildraums der Matrix.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Eigenwerte der Matrix.

Question 6

Berechne den Rang der folgenden Matrix: [[1, 2], [3, 6]]

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen trifft zu?

Accepted Answer

Sie erhalten die Addition und die skalare Multiplikation.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind immer bijektiv.

Question 8

Sei V ein Vektorraum und T: V -> V eine lineare Abbildung. Welcher der folgenden Sachverhalte ist der Kern von T?

Accepted Answer

{v in V | T(v) = 0}

Answer

{v in V | T(v) = v}

Answer

{v in V | T(v) = -v}

Answer

{v in V | T(v) = 1}

Question 9

Sei V ein Vektorraum und T: V -> V eine lineare Abbildung. Welcher der folgenden Sachverhalte ist das Bild von T?

Accepted Answer

{v in V | es gibt ein u in V mit T(u) = v}

Answer

{v in V | es gibt ein u in V mit T(v) = u}

Answer

{v in V | es gibt ein u in V mit T(u) + T(v) = 0}

Answer

{v in V | es gibt ein u in V mit T(u) * T(v) = 0}

Question 10

Sei V ein Vektorraum mit dim(V) = n. Wie viele linear unabhängige Vektoren kann V höchstens haben?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

unendlich viele

Question 11

Sei V ein Vektorraum. Welcher der folgenden Sachverhalte ist ein Untervektorraum von V?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren in V mit einer dritten Komponente gleich 0

Answer

Die Menge aller Vektoren in V mit einer geraden ersten Komponente

Answer

Die Menge aller Vektoren in V mit einer ungeraden zweiten Komponente

Answer

Die Menge aller Vektoren in V mit einer vierten Komponente größer als 5

Question 12

Welche der folgenden Abbildungen ist surjektiv?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

h(x) = sin(x)

Answer

i(x) = x^2

Answer

g(x) = |x|

Question 13

Welche der folgenden Abbildungen ist bijektiv?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

g(x) = x^2

Answer

h(x) = sin(x)

Answer

i(x) = |x|

Question 14

Sei f: V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Was ist der Kern von f?

Accepted Answer

A: Die Menge aller Vektoren v ∈ V, für die f(v) = 0

Answer

C: Die Menge aller Vektoren v ∈ V, für die v = 0

Answer

B: Die Menge aller Vektoren w ∈ W, für die f(v) = w

Question 15

Sei V ein Vektorraum und T: V → V ein linearer Operator. Was ist ein Eigenwert von T?

Accepted Answer

A: Eine Zahl λ, für die es einen von Null verschiedenen Vektor v ∈ V gibt, sodass T(v) = λv.

Answer

C: Eine Zahl λ, für die es einen von Null verschiedenen Vektor v ∈ V gibt, sodass T(v) = -λv.

Answer

B: Eine Zahl λ, für die es einen von Null verschiedenen Vektor v ∈ V gibt, sodass T(v) = 0.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen ist für endlichdimensionale Vektorräume falsch?

Accepted Answer

Die Dimensionsanzahl ist kleiner als die Anzahl der Basisvektoren.

Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist auch linear unabhängig.

Answer

Jeder Vektorraum hat eine Basis.

Question 17

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Welcher der folgenden Sätze ist eine äquivalente Charakterisierung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren v1, ..., vk in V?

Accepted Answer

Die Gleichung c1v1 + ... + ckvk = 0 mit c1, ..., ck in K hat nur die triviale Lösung c1 = ... = ck = 0.

Answer

Es gibt keine Linearkombination von v1, ..., vk, die Null ergibt.

Question 18

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung von R² nach R³?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y, 2x)

Answer

f(x, y) = (x², y², 1)

Answer

f(x, y) = (x, y, xy)

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|, 0)

Question 19

Welcher der folgenden Sätze trifft auf die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung f: V → W zwischen Vektorräumen V und W zu?

Accepted Answer

Die Spaltenvektoren der Matrix sind genau die Bilder der Basisvektoren von V.

Answer

Die Dimension von V ist gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Die Matrix ist eine Quadratmatrix.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen ist für den Rang einer linearen Abbildung f: V → W richtig?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Bildraums von f.

Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Kernraums von f.

Answer

Der Rang ist kleiner oder gleich der Dimension von V.

Question 21

Sei f: V → W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn f injektiv ist, dann ist auch W ein Unterraum von V.

Answer

Wenn f bijektiv ist, dann sind V und W isomorph.

Answer

Wenn f surjektiv ist, dann ist V isomorph zu einem Unterraum von W.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen ist für den Kern einer linearen Abbildung f: V → W richtig?

Accepted Answer

Der Kern ist ein Unterraum von V.

Answer

Der Kern ist immer trivial, wenn f surjektiv ist.

Answer

Der Kern ist ein Teilraum von W.

Answer

Die Dimension des Kerns ist gleich der Dimension des Bildraums von f.

Question 23

Welche der folgenden Eigenschaften ist für einen Vektorraum V über einem Körper K eine Äquivalenzbedingung für die Existenz einer Basis?

Accepted Answer

V ist endlichdimensional.

Answer

V ist der Nullraum einer linearen Abbildung.

Answer

V ist unendlichdimensional.

Answer

V ist ein Teilraum eines anderen Vektorraums.

Question 24

Sei f: V → W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn die Dimension von V größer ist als die Dimension von W, dann kann f nicht bijektiv sein.

Answer

Wenn der Kern von f trivial ist, dann ist f injektiv.

Answer

Wenn die Dimension von V kleiner ist als die Dimension von W, dann kann f nicht surjektiv sein.

Question 25

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei S ein Erzeugendensystem von V. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn S linear unabhängig ist, dann ist S eine Basis von V.

Answer

Wenn S eine endliche Menge ist, dann ist V endlichdimensional.

Answer

Wenn S eine Teilmenge einer Basis von V ist, dann ist S linear unabhängig.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für einen endlichdimensionalen Vektorraum V?

Accepted Answer

Er besitzt keine Basis.

Answer

Er ist isomorph zum Produkt von Teilräumen.

Answer

Die Dimension ist gleich der Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Jeder Vektor kann als Linearkombination einer Basis ausgedrückt werden.

Question 27

Welche der folgenden Abbildungen ist linear für Vektoren x, y und Skalare a?

Accepted Answer

f(x+y) = f(x) + f(y)

Answer

f(x+y) = f(x) + a*f(y)

Answer

f(ax) = a*f(x)

Answer

f(ax) = a*f(x) + f(y)

Question 28

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die eine Drehung im zweidimensionalen Raum um den Ursprung bewirkt?

Accepted Answer

[[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

Answer

[[cos(θ), cos(θ)], [sin(θ), -sin(θ)]]

Answer

[[cos(θ), sin(θ)], [-sin(θ), cos(θ)]]

Answer

[[sin(θ), cos(θ)], [cos(θ), sin(θ)]]

Question 29

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist linear.

Answer

Die Summe linearer Abbildungen ist linear.

Answer

Die Menge aller linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen ist ein Vektorraum.

Answer

Die Inverse einer linearen Abbildung ist immer linear.

Question 30

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation von R³ in R²?

Accepted Answer

f(x, y, z) = (x + y, z)

Answer

f(x, y, z) = (x + y, y + z, z)

Answer

f(x, y, z) = (x + y, z - x)

Answer

f(x, y, z) = (x, y + z)

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[1, -1], [2, -2]]

Answer

[[2, -1], [1, -2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für den Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Er ist gleich der Dimension des Spaltenraums.

Answer

Er ist gleich der Summe der Zeilenränge.

Answer

Er ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Spalten.

Answer

Er ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen.

Question 33

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R² → R², f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f: R² → R², f(x, y) = (x², y²)

Answer

f: R² → R², f(x, y) = (x, 0)

Answer

f: R³ → R², f(x, y, z) = (x, y + z)

Question 34

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal.

Answer

Jeder Eigenwert ist eine komplexe Zahl.

Answer

Eigenvektoren spannen den gesamten Vektorraum auf.