Stochastische Prozesse: Online-Quizzes für Mathematik-Studierende

Question 1

Welches Ereignis ist kein Teil eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Der Prozess ist zeitlich inhomogen.

Answer

Die Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit ist konstant.

Answer

Die Ereignisse sind voneinander unabhängig.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem kurzen Zeitintervall auftritt, ist proportional zur Länge des Intervalls.

Question 2

Welche Kennzahl beschreibt die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit in einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Answer

Median

Question 3

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für Markov-Ketten?

Accepted Answer

Der aktuelle Zustand hängt nur vom vorherigen Zustand ab.

Answer

Die Übergangsmatrix ist immer symmetrisch.

Answer

Markov-Ketten sind nur für diskrete Zufallsprozesse geeignet.

Question 4

Welcher der folgenden Prozesse ist ein Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Die Anzahl der Anrufe, die bei einem Callcenter innerhalb einer Stunde eingehen.

Answer

Die Lebensdauer von Glühbirnen in Stunden.

Answer

Die Größe von Bakterienpopulationen.

Answer

Die Entfernung, die ein Fahrzeug in einer Stunde zurücklegt.

Question 5

Welche der folgenden Größen ist die Übergangsrate von Zustand 2 zu Zustand 1 in einer Markov-Kette mit Übergangsmatrix P?

Accepted Answer

P(2, 1).

Answer

P(1, 2).

Answer

P(1, 1).

Answer

P(2, 2).

Question 6

Welche Methoden werden typischerweise zur Analyse von Poisson-Prozessen verwendet?

Accepted Answer

Beides 1 und 2

Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Answer

Autokorrelationsfunktion

Question 7

Wie tragen stochastische Prozesse zur Simulation komplexer Systeme wie biologischer Netzwerke oder sozioökonomischer Modelle bei?

Accepted Answer

Ermöglichen realistische Verhaltenssimulationen

Answer

Vereinfachen die Modellierung mit deterministischen Annahmen

Answer

Beschränken Simulationen auf kleine, einfache Systeme

Answer

Ermöglichen genaue Vorhersagen des Systemverhaltens

Question 8

Welche Technik eignet sich zur Modellierung einer Ereignisfolge in einem stochastischen Prozess, bei der die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses nur vom aktuellen Zustand abhängt?

Accepted Answer

Markov-Ketten

Answer

Poisson-Prozesse

Answer

Zufallsvariablen

Answer

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Question 9

Erläutern Sie die wesentlichen Unterschiede zwischen Markov-Ketten und Poisson-Prozessen in Bezug auf ihre zugrunde liegenden Annahmen und ihr Verhalten hinsichtlich Vorhersehbarkeit und Zufälligkeit.

Accepted Answer

Markov-Ketten berücksichtigen den vorherigen Zustand des Systems, während Poisson-Prozesse dies nicht tun.

Answer

Markov-Ketten sind deterministische Prozesse, während Poisson-Prozesse stochastische Prozesse sind.

Question 10

Welche Eigenschaft erfüllt ein Markov-Prozess?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Zustands hängt nur vom aktuellen Zustand ab.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Zustands hängt von allen vergangenen Zuständen ab.

Question 11

Welcher Parameter in einer Markov-Kette bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs von Zustand i zu Zustand j?

Accepted Answer

p<sub>ij</sub>

Answer

σ

Answer

λ

Answer

μ

Question 12

Welches Modell beschreibt die Entwicklung von Aktienkursen?

Accepted Answer

Geometrische Brownsche Bewegung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Question 13

Welcher Parameter bestimmt die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit in einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

λ

Answer

p

Answer

μ

Answer

σ

Question 14

Welcher stochastische Prozess kann durch eine Differentialgleichung beschrieben werden?

Accepted Answer

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Binomialverteilung

Question 15

Welche Methode wird zur Simulation von Zufallszahlen für einen stochastischen Prozess verwendet?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Clustering

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Regression

Question 16

Welche Art von stochastischem Prozess beschreibt ein zufälliges Ereignis, das mit einer konstanten Rate in gleichen Zeitabständen auftritt?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Wiener-Prozess

Question 17

Welche Eigenschaft haben die Übergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Die Summe der Übergangswahrscheinlichkeiten für alle Zustände, ausgehend von einem gegebenen Zustand, ist gleich 1.

Answer

Die Übergangswahrscheinlichkeiten können kleiner als 0 sein.

Question 18

Welche Eigenschaft trifft auf einen Poisson-Prozess zu?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem gegebenen Zeitintervall auftritt, folgt einer Poisson-Verteilung.

Answer

Die Zeit zwischen zwei Ereignissen ist konstant.

Answer

Die Ereignisrate nimmt mit der Zeit zu.

Question 19

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Anzahl der Ereignisse in einem gegebenen Zeitintervall für einen Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 20

Welcher Parameter ist für einen Poisson-Prozess charakteristisch?

Accepted Answer

Eintreffrate

Answer

Mittelwert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Question 21

Welche Aussage über stochastische Prozesse ist korrekt?

Accepted Answer

Stochastische Prozesse können sowohl zeitdiskret als auch zeitkontinuierlich sein.

Answer

Stochastische Prozesse sind immer deterministisch.

Answer

Stochastische Prozesse können nur mit Hilfe von Simulationen untersucht werden.

Question 22

Welche Aussage beschreibt eine Markov-Kette zutreffend?

Accepted Answer

Eine Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands nur vom aktuellen Zustand abhängt.

Answer

Eine Markov-Kette ist ein deterministischer Prozess, bei dem der nächste Zustand vollständig durch den aktuellen Zustand bestimmt ist.

Answer

Eine Markov-Kette ist ein Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands von allen vorherigen Zuständen abhängt.

Question 23

Welcher Prozess lässt sich als Poisson-Prozess modellieren?

Accepted Answer

Die Anzahl der Anrufe, die bei einem Callcenter in einem bestimmten Zeitraum eingehen.

Answer

Die Zeit zwischen zwei Erdbeben an einem bestimmten Ort.

Answer

Die Höhe des Börsenkurses an einem bestimmten Tag.

Question 24

Was beschreibt die Übergangsmatrix einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Eine Übergangsmatrix gibt für jedes Element die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs von einem Zustand zum nächsten an.

Answer

Eine Übergangsmatrix gibt für jedes Element den Zustand an, in den mit größter Wahrscheinlichkeit übergegangen wird.

Answer

Eine Übergangsmatrix gibt für jedes Element die Zeit an, die für einen Übergang von einem Zustand zum nächsten benötigt wird.

Question 25

Welche Verteilung modelliert die Wartezeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Question 26

Was kennzeichnet den stationären Zustand einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Im stationären Zustand bleibt die Wahrscheinlichkeit eines Zustands im Laufe der Zeit konstant.

Answer

Im stationären Zustand nimmt die Wahrscheinlichkeit eines Zustands im Laufe der Zeit zu.

Answer

Im stationären Zustand ist die Wahrscheinlichkeit jedes Zustands gleich.

Question 27

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Markov-Kette einen stationären Zustand aufweist?

Accepted Answer

Die Übergangsmatrix muss irreduzibel und aperiodisch sein.

Answer

Die Übergangsmatrix muss regular und aperiodisch sein.

Answer

Die Übergangsmatrix muss irreduzibel und regular sein.

Question 28

Welche Größe gibt die erwartete Anzahl von Übergängen von einem Zustand zum nächsten in einem Poisson-Prozess an?

Accepted Answer

Rate

Answer

Amplitude

Answer

Frequenz

Answer

Intensität

Question 29

Welche Annahme wird typischerweise für einen einfachen Poisson-Prozess getroffen?

Accepted Answer

Die Ereignisse sind unabhängig und treten mit einer konstanten Rate auf.

Answer

Die Ereignisse sind unabhängig, aber die Rate variiert mit der Zeit.

Answer

Die Ereignisse sind abhängig und treten mit einer variablen Rate auf.

Question 30

Was beschreibt die Übergangswahrscheinlichkeit einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem in einen anderen Zustand

Answer

Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Answer

Verweilwahrscheinlichkeit in einem bestimmten Zustand

Question 31

Welche Aussage zu Poisson-Prozessen trifft zu?

Accepted Answer

Zeit zwischen Ereignissen ist exponentialverteilt

Answer

Prozessrate ist variabel

Answer

Prozess ist nicht-markovsch

Question 32

Wie berechnet sich der Erwartungswert eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Produkt aus Rate und Zeitspanne

Answer

Rate des Prozesses

Answer

Dauer des Prozesses

Question 33

Welche Aussage zu Wiener-Prozessen ist korrekt?

Accepted Answer

Stetige Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen

Answer

Diskrete Prozesse mit abhängigen Zuwächsen

Answer

Deterministische Prozesse mit vorhersagbaren Zuwächsen

Answer

Nicht-stochastische Prozesse mit konstanten Zuwächsen

Question 34

Welches Beispiel verdeutlicht die Anwendung eines stochastischen Prozesses?

Accepted Answer

Modellierung der Ausbreitung einer Krankheit

Answer

Flächenberechnung eines Kreises

Answer

Lösung eines linearen Gleichungssystems

Question 35

Welche Aussage zur stationären Verteilung einer Markov-Kette ist zutreffend?

Accepted Answer

Unabhängig vom Ausgangszustand

Answer

Gibt Wahrscheinlichkeiten der Zustände zum Zeitpunkt 0 an

Answer

Existiert nur für reversible Markov-Ketten

Answer

Immer eine Gleichverteilung

Question 36

Was ist der grundlegende Unterschied zwischen einem Erneuerungsprozess und einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Erneuerungsprozess erfasst Zeit zwischen Ereignissen, Markov-Kette erfasst Zustände eines Systems

Answer

Erneuerungsprozess ist diskret, Markov-Kette ist stetig

Question 37

Ein stochastischer Prozess beschreibt die Entwicklung einer Zufallsvariablen über die Zeit. Welches der folgenden Merkmale trifft **nicht** auf einen stochastischen Prozess zu?

Accepted Answer

Die Entwicklung der Zufallsvariablen ist deterministisch.

Answer

Die Zufallsvariable kann diskret oder stetig sein.

Answer

Die Entwicklung der Zufallsvariablen ist zufällig.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Markov-Ketten ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Zukunft eines Zustands hängt von allen vergangenen Zuständen ab.

Answer

Markov-Ketten können diskrete oder stetige Zustandsräume haben.

Answer

Die Zukunft eines Zustands hängt nur vom aktuellen Zustand ab.

Question 39

Ein stochastischer Prozess wird als **ergodisch** bezeichnet, wenn...

Accepted Answer

die Zeitmittelwerte über einen ausreichend langen Zeitraum den Ensemblemittelwerten entsprechen.

Answer

der Prozess nur endlich viele Zustände hat.

Answer

der Prozess unabhängig von der Anfangsverteilung ist.

Question 40

Welcher der folgenden Algorithmen kann verwendet werden, um die stationäre Verteilung einer Markov-Kette zu berechnen?

Accepted Answer

Power-Methode

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Question 41

Ein Warteschlangensystem mit einer einzigen Warteschlange und einem Server kann mit einem **M/M/1**-Modell beschrieben werden. Was bedeutet die erste 'M' in dieser Bezeichnung?

Accepted Answer

Die Ankunftsrate der Kunden folgt einer Poisson-Verteilung.

Answer

Die Warteschlange hat eine maximale Kapazität.

Answer

Die Servicezeit der Kunden folgt einer Exponentialverteilung.

Question 42

Ein Student soll für seine Bachelorarbeit ein stochastisches Modell entwickeln, um den Verlauf von Aktienkursen zu simulieren. Welches stochastische Modell wäre am besten geeignet?

Accepted Answer

Geometrischer Brownscher Prozess

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette mit diskretem Zustandsraum

Answer

Lineares Regressionsmodell

Question 43

Ein Markov-Prozess ist ein stochastischer Prozess, bei dem die zukünftige Entwicklung allein vom aktuellen Zustand und nicht von der Vergangenheit abhängt. Welches der folgenden Beispiele ist kein Markov-Prozess?

Accepted Answer

Die Anzahl der Autos, die in einer Stunde an einer bestimmten Kreuzung vorbeifahren.

Answer

Die Anzahl der Köpfe bei aufeinanderfolgenden Münzwürfen.

Question 44

Welche Aussage über Markov-Ketten ist falsch?

Accepted Answer

Markov-Ketten sind stationäre Prozesse.

Answer

Markov-Ketten werden durch eine Übergangsmatrix beschrieben.

Answer

Markov-Ketten sind zeitdiskrete Prozesse.

Answer

Markov-Ketten haben die Markov-Eigenschaft.

Question 45

Die Poisson-Verteilung modelliert:

Accepted Answer

die Anzahl zufälliger Ereignisse in festgelegten Intervallen.

Answer

die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem kontinuierlichen Intervall eintritt.

Answer

die Wartezeit zwischen zufälligen Ereignissen.

Question 46

Die Übergangsmatrix einer Markov-Kette wird wie folgt berechnet:

Accepted Answer

P(n+1) = P(n) x T

Answer

P(n+1) = P(n) + T

Answer

T = P(n) x P(n+1)

Answer

P(n) = T x P(n+1)

Question 47

Die zufällige Variable X hat eine Poisson-Verteilung mit Parameter λ. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert k annimmt?

Accepted Answer

e^(-λ) x λ^k / k!

Answer

λ x k.

Answer

1 - e^(-λ) x λ^k / k!

Question 48

Welcher Prozess ist deterministisch?

Accepted Answer

Die Bewegung eines Pendels

Answer

Die Anzahl der Anrufe bei einem Callcenter

Answer

Die Entwicklung der Aktienkurse

Answer

Die Ausbreitung einer Epidemie

Question 49

Die Markov-Eigenschaft besagt:

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung hängt nur vom gegenwärtigen Zustand ab.

Answer

Die Vergangenheit hat keinen Einfluss auf die Zukunft.

Answer

Alle Zustände sind gleich wahrscheinlich.

Question 50

Welche Aussage über Poisson-Prozesse ist falsch?

Accepted Answer

Poisson-Prozesse sind nicht zeitkontinuierlich.

Answer

Poisson-Prozesse sind Erneuerungsprozesse.

Answer

Poisson-Prozesse haben unabhängige Zuwächse.

Question 51

Welche Verteilung ist eine Spezialform der Poisson-Verteilung?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Gammaverteilung

Answer

Chi-Quadrat-Verteilung

Question 52

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Poisson-Prozess mit Parameter λ in einem Intervall der Länge t genau k Ereignisse erzeugt, beträgt:

Accepted Answer

e^(-λt) x (λt)^k / k!

Answer

e^(-λt) x (λt)^(k-1) / k!

Answer

(λt)^(k-1) x e^(-λt)

Answer

(λt)^k x e^(-λt)

Question 53

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine Markov-Kette zu?

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung der Kette hängt nur vom aktuellen Zustand ab, nicht von der Vergangenheit.

Answer

Die Übergangsraten zwischen den Zuständen sind konstant über die Zeit.

Question 54

Welche der folgenden Situationen kann mit einem Poisson-Prozess modelliert werden?

Accepted Answer

Die Anzahl der Kunden, die in einem bestimmten Zeitraum einen Supermarkt betreten.

Answer

Die Höhe des Gewinns, den ein Unternehmen in einem Jahr erzielt.

Answer

Die Temperatur in einem Raum über die Zeit.

Question 55

Eine Markov-Kette hat die Übergangsmatrix P = [[0.2, 0.8], [0.5, 0.5]]. Welche ist die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Schritten im Zustand 2 zu sein, wenn der Startzustand 1 ist?

Accepted Answer

0.6

Answer

0.4

Answer

0.8

Answer

0.5

Question 56

Ein Poisson-Prozess hat eine Rate von 5 Ereignissen pro Stunde. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Stunde genau 3 Ereignisse stattfinden?

Accepted Answer

0.1404

Answer

0.6333

Answer

0.0337

Answer

0.2650

Question 57

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Unterschied zwischen einem kontinuierlichen und einem diskreten stochastischen Prozess?

Accepted Answer

Ein kontinuierlicher Prozess kann jeden Wert in einem bestimmten Intervall annehmen, während ein diskreter Prozess nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann.

Answer

Ein kontinuierlicher Prozess hat eine endliche Anzahl von Zuständen, während ein diskreter Prozess eine unendliche Anzahl von Zuständen hat.

Question 58

Eine Maschine produziert mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 defekte Teile. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 10 Teilen höchstens ein defektes Teil ist?

Accepted Answer

0.9044

Answer

0.7361

Answer

0.4686

Answer

0.1000

Question 59

Welcher stochastischer Prozess modelliert am besten die Anzahl der Autos, die in einem bestimmten Zeitraum an einer bestimmten Kreuzung vorbeifahren?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Question 60

Ein Spieler hat 5 Euro und möchte beim Roulette 1 Euro auf Rot setzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf Rot fällt, ist 18/37. Was ist der erwartete Gewinn des Spielers?

Accepted Answer

-0.11 Euro

Answer

0.11 Euro

Answer

-1 Euro

Answer

1 Euro

Question 61

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die stationäre Verteilung einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Die stationäre Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die angibt, wie oft sich die Kette im Laufe der Zeit in jedem Zustand befindet, wenn sie lange genug läuft.

Answer

Die stationäre Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Startzustands.

Question 62

Eine Firma hat 3 Produktionslinien. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Linie ausfällt, beträgt 0.1. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Linie in Betrieb ist?

Accepted Answer

0.972

Answer

0.3

Answer

0.7