Numerische Lineare Algebra: Online-Quizze für Studierende der Informatik

Question 1

Welches Kriterium ist für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens hinreichend?

Accepted Answer

Die Matrix A muss diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix A muss symmetrisch positiv definit sein.

Answer

Die Matrix A muss invertierbar sein.

Answer

Die Matrix A muss reell sein.

Question 2

Welche Art von Eigenwerten kann eine symmetrische Matrix besitzen?

Accepted Answer

Reelle Eigenwerte

Answer

Komplexe Eigenwerte

Answer

Imaginäre Eigenwerte

Answer

Null-Eigenwerte

Question 3

Welche Eigenschaft zeichnet eine orthogonale Matrix aus?

Accepted Answer

Ihre Spaltenvektoren sind orthogonal zueinander

Answer

Ihre Inverse ist gleich ihrer Transponierten

Answer

Ihre Determinante ist gleich 1

Answer

Ihre Eigenwerte sind alle reell

Question 4

Welches Verfahren ist für schwach besetzte lineare Gleichungssysteme zu empfehlen?

Accepted Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 5

Was unterscheidet eine invertierbare von einer singulären Matrix?

Accepted Answer

Eine invertierbare Matrix hat eine von Null verschiedene Determinante, während eine singuläre Matrix eine Determinante von Null hat

Answer

Eine invertierbare Matrix ist eine Quadratmatrix, während eine singuläre Matrix keine Quadratmatrix ist

Answer

Eine invertierbare Matrix hat einen Rang gleich ihrer Zeilenanzahl, während eine singuläre Matrix einen geringeren Rang hat

Answer

Eine invertierbare Matrix hat reelle Eigenwerte, während eine singuläre Matrix komplexe Eigenwerte hat

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über das Jacobi-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Es konvergiert nur für diagonaldominante Matrizen.

Answer

Es konvergiert stets für beliebige Matrizen.

Answer

Es konvergiert nur für symmetrisch positive definite Matrizen.

Answer

Es konvergiert nur für invertierbare Matrizen.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über die Konditionszahl einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann negative Werte annehmen.

Answer

Sie gibt Auskunft über die numerische Stabilität eines Gleichungssystems.

Answer

Sie ist nur für invertierbare Matrizen definiert.

Answer

Sie ist ein Maß für die Empfindlichkeit der Lösungsvektoren gegenüber kleinen Änderungen der Koeffizientenmatrix.

Question 8

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine symmetrische Matrix.

Answer

Eine Matrix mit ausschließlich komplexen Eigenwerten.

Answer

Eine Matrix mit ausschließlich reellen Eigenwerten.

Answer

Eine nicht-invertierbare Matrix.

Question 9

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Answer

Sie können komplex sein.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie müssen alle den gleichen Betrag haben.

Question 10

Welches Verfahren zur Eigenwertberechnung verwendet implizite QR-Iterationen?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Potenzmethode

Answer

Inverse Iteration

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 11

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Ihre Empfindlichkeit gegenüber Störungen

Answer

Ihre Größe

Answer

Ihren Rang

Answer

Ihre Determinante

Question 12

Was zeichnet ein schwach besetztes Gleichungssystem aus?

Accepted Answer

Viele Einträge der Koeffizientenmatrix sind null.

Answer

Keine Einträge der Koeffizientenmatrix sind null.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist diagonal.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist tridiagonal.

Question 13

Welche Methode kann verwendet werden, um die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens zu beschleunigen?

Accepted Answer

Überrelaxation

Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 14

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte von A ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenwerte von A sind 1 und 3.

Answer

Die Eigenwerte von A sind beide negativ.

Answer

Die Matrix A hat nur einen Eigenwert.

Answer

Die Eigenwerte von A sind komplex.

Question 15

Welches Verfahren wird zur Berechnung der euklidischen Norm eines Vektors x mit (n) Komponenten (x_i) verwendet?

Accepted Answer

Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten (sqrt{sum_{i=1}^n x_i^2})

Answer

Summe der absoluten Werte der Komponenten (sum_{i=1}^n |x_i|)

Answer

Maximum der Komponenten (max_{1 leq i leq n} |x_i|)

Answer

Minimum der Komponenten (min_{1 leq i leq n} |x_i|)

Question 16

Welches der folgenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Symmetrische Matrix mit reellen Eigenwerten

Answer

Schrägsymmetrische Matrix

Answer

Trifeldrige Matrix

Question 18

Welcher der folgenden Sätze beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Maß für die Empfindlichkeit einer Matrix gegenüber kleinen Veränderungen

Answer

Anzahl der nicht verschwindenden Eigenwerte

Answer

Größe der Determinante

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die inverse Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Inverse einer invertierbaren Matrix ist eindeutig

Answer

Inverse einer Matrix ist gleich ihrer Adjunkten

Answer

Inverse einer Matrix existiert immer

Answer

Inverse einer Matrix ist gleich ihrem Determinanten

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Anzahl der Eigenwerte der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 21

Welches der folgenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 22

Welches der folgenden Verfahren verwendet QR-Zerlegung zur Eigenwertberechnung?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Power-Iteration

Answer

Rayleigh-Quotienten-Iteration

Question 23

Welche der folgenden Normen ist eine Matrixnorm?

Accepted Answer

Frobeniusnorm

Answer

Manhattan-Norm

Answer

max-Norm

Answer

Euklidische Norm

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Kondition einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrix ist ein Maß für ihre numerische Stabilität.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist unabhängig von der verwendeten Basis.

Question 25

Welches der folgenden Verfahren ist ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Power-Iteration

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über Kondition einer Matrixnorm ist richtig?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrixnorm ist ein Maß für ihre Robustheit gegenüber Störungen.

Answer

Die Kondition einer Matrixnorm ist immer positiv.

Answer

Die Kondition einer Matrixnorm ist unabhängig von der verwendeten Matrix.

Question 27

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Die Sensitivität der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber kleinen Störungen in der Matrix oder der rechten Seite.

Answer

Die Größe der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte der Matrix.

Question 28

Wie lautet die QR-Zerlegung einer Matrix A?

Accepted Answer

A = QR, wobei Q eine orthogonale Matrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist

Answer

A = QR, wobei Q orthogonal und R eine untere Dreiecksmatrix ist

Answer

A = QR, wobei Q eine obere Dreiecksmatrix und R orthogonal ist

Question 29

Wann ist ein numerisches Verfahren stabil?

Accepted Answer

Wenn kleine Störungen in den Eingabedaten keine großen Änderungen im Ergebnis verursachen.

Answer

Wenn es schnell konvergiert.

Answer

Wenn es immer das exakte Ergebnis liefert.

Question 30

Welche Bedingung muss die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems erfüllen, damit das Jacobi-Verfahren konvergiert?

Accepted Answer

Die Matrix muss strikt diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss eine obere Dreiecksmatrix sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch und positiv definit sein.

Answer

Die Matrix muss eine untere Dreiecksmatrix sein.

Question 31

Welches Verfahren wird typischerweise zur Lösung linearer Ausgleichsprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Singulärwertzerlegung (SVD)

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 32

Wie berechnet man die Frobenius-Norm einer Matrix A?

Accepted Answer

||A||_F = sqrt(sum(sum(A_ij)^2))

Answer

||A||_F = det(A)

Answer

||A||_F = max(abs(A_ij))

Answer

||A||_F = sum(abs(A_ij))

Question 33

Welches Verfahren ist besonders geeignet, um große, dünn besetzte lineare Gleichungssysteme zu lösen?

Accepted Answer

Konjugierte Gradienten-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Potenzmethode

Answer

Gauß-Elimination

Question 34

Welche Methode wird primär zur Berechnung des größten Eigenwerts einer Matrix eingesetzt?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

QR-Algorithmus

Question 35

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber kleinen Änderungen der Koeffizientenmatrix

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte der Matrix

Question 36

Welche Matrixzerlegung eignet sich besonders gut, um überbestimmte lineare Gleichungssysteme zu lösen?

Accepted Answer

QR-Zerlegung mit Rangbestimmung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

SVD-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 37

Welche Eigenschaft muss eine Matrix erfüllen, damit das Gauß-Eliminationsverfahren numerisch stabil ist?

Accepted Answer

Dominante Diagonale

Answer

Positiv Definitheit

Answer

Symmetrie

Question 38

Welchem Zweck dient die Cholesky-Zerlegung?

Accepted Answer

Zerlegung einer positiv definiten Matrix in eine Dreiecksmatrix

Answer

Zerlegung einer Matrix in Eigenvektoren und Eigenwerte

Answer

Zerlegung einer Matrix in ihre Singulärwerte und Vektoren

Question 39

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer schlecht konditionierten Matrix?

Accepted Answer

Iteratives Verfahren

Answer

Direktes Verfahren

Answer

Matrixzerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 40

Welche Norm wird typischerweise verwendet, um den Abstand zwischen zwei Vektoren zu messen?

Accepted Answer

Euklidische Norm

Answer

Maximums-Norm

Answer

Chebyshev-Norm

Answer

Manhattan-Norm

Question 41

Welche Eigenschaft muss eine Matrix erfüllen, um eindeutig invertierbar zu sein?

Accepted Answer

Regulär

Answer

Orthogonal

Answer

Positiv definit

Answer

Symmetrisch

Question 42

Welches Verfahren wird zur Lösung eines großen, dünn besetzten linearen Gleichungssystems empfohlen?

Accepted Answer

Sparse-Matrix-Techniken

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 43

Was ist das wesentliche Merkmal der QR-Zerlegung?

Accepted Answer

Zerlegung einer Matrix in eine Orthogonalmatrix und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine symmetrische Matrix und eine Diagonalmatrix

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine untere Dreiecksmatrix und eine Orthogonalmatrix

Question 44

Welches Kriterium entscheidet über die Stabilität eines iterativen Verfahrens?

Accepted Answer

Spektralradius

Answer

Konditionszahl

Answer

Determinante

Answer

Spur

Question 45

Welches der folgenden Verfahren ist kein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Question 46

Welches Verfahren zur Eigenwertberechnung basiert auf der Tridiagonalisierung der Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Inverse Iteration

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Potenzmethode

Question 47

Welche Bedingung muss eine Matrix erfüllen, damit die Jacobi-Iteration konvergiert?

Accepted Answer

Sie muss diagonaldominant sein

Answer

Sie muss invertierbar sein

Answer

Sie muss positiv definit sein

Answer

Sie muss symmetrisch sein

Question 48

Welches Verfahren ist eine direkte Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

SOR-Iteration

Question 49

Welche Aussage über die Spalten von Eigenvektoren einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Spalte eines Eigenvektors ist ein Lösungsvektor der homogenen linearen Gleichung, die sich aus der Multiplikation der Matrix mit dem Eigenwert ergibt.

Answer

Die Spalten von Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Die Spalten von Eigenvektoren sind immer normiert.

Question 50

Welche Aussage zur Kondition von Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrix kann verwendet werden, um die Genauigkeit der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme, die diese Matrix enthalten, abzuschätzen.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist unabhängig von der Größe der Matrix.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist immer kleiner als 1.

Question 51

Welche der folgenden Methoden ist **kein** iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 52

Welches der folgenden Kriterien garantiert die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens?

Accepted Answer

Die Matrix muss strikt diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss invertierbar sein.

Answer

Die Matrix muss positiv definit sein.

Question 53

Welches Verfahren wird typischerweise verwendet, um die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu berechnen?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Inverse Iteration

Answer

Jacobi-Rotation

Answer

Potenzmethode

Question 54

Welcher Parameter beeinflusst die Konvergenzgeschwindigkeit des SOR-Verfahrens?

Accepted Answer

Der Relaxationsfaktor ω

Answer

Die Anzahl der Iterationsschritte

Answer

Die Norm der Residuen

Answer

Die Dimension der Matrix

Question 55

Welche Aussage über die Potenzmethode ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Potenzmethode berechnet den kleinsten Eigenwert.

Answer

Die Potenzmethode konvergiert zum Eigenvektor, der zum betragsmäßig größten Eigenwert gehört.

Answer

Die Potenzmethode ist ein iteratives Verfahren.

Question 56

Welche Aussage über die Kondition einer Matrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Kondition gibt an, wie empfindlich die Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Störungen in den Eingabedaten ist.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist immer größer als 1.

Answer

Die Kondition einer Matrix hängt nur von der Größe der Matrix ab.

Question 57

Welche Methode wird verwendet, um die Eigenwerte einer Tridiagonalmatrix effizient zu berechnen?

Accepted Answer

QR-Algorithmus mit Givens-Rotationen

Answer

Jacobi-Rotation

Answer

Potenzmethode

Answer

Inverse Iteration

Question 58

Welche Aussage über die inverse Iteration ist **richtig**?

Accepted Answer

Die inverse Iteration berechnet den Eigenvektor zum Eigenwert, der am nächsten zu einem gegebenen Wert liegt.

Answer

Die inverse Iteration ist ein direktes Verfahren zur Eigenwertberechnung.

Answer

Die inverse Iteration konvergiert zum Eigenvektor, der zum betragsmäßig größten Eigenwert gehört.

Question 59

Welche Aussage über die Stabilität eines numerischen Verfahrens ist **richtig**?

Accepted Answer

Ein stabiles Verfahren ist unempfindlich gegenüber kleinen Störungen in den Eingabedaten.

Answer

Ein stabiles Verfahren ist immer effizient.

Answer

Ein stabiles Verfahren konvergiert immer.