Numerische Integration und Differentialgleichungen: Online-Quiz für Studierende der Informatik

Question 1

Bei der Trapezregel zur numerischen Integration lautet die Formel:

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) * f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f'(a) - f'(b)) / 2

Question 2

Welches Verfahren zur Lösung von DGLs benötigt eine Jacobi-Matrix?

Accepted Answer

Finite-Elemente-Methoden

Answer

Finite-Differenzen-Verfahren

Answer

Variationsmethoden

Answer

Zentrale Differenzen

Question 3

Wie lautet die numerische Integration von ∫[0,1] e^x dx mit der Simpson-Regel?

Accepted Answer

∫[0,1] e^x dx ≈ (1/3) * (e^0 + 4e^0,5 + e^1)

Answer

∫[0,1] e^x dx ≈ 0,5 * (e^0 + e^1)

Answer

∫[0,1] e^x dx ≈ y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)

Answer

∫[0,1] e^x dx ≈ y_i+1 = y_i + h * f(x_i, y_i)

Question 4

Wie lautet die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = f(x, y)

Answer

y'' = f(x, y, y')

Answer

y''' = f(x, y, y', y'')

Answer

y^{(n)} = f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})

Question 5

Welche Integrationsregel ist für Funktionen mit vielen Oszillationen am besten geeignet?

Accepted Answer

Gauss-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 6

Welche der folgenden Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung ist explizit?

Accepted Answer

Euler-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Implizites Euler-Verfahren

Answer

Adams-Bashforth-Verfahren

Question 7

Welche Eigenschaft ist für ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4 charakteristisch?

Accepted Answer

Lokal genau bis zur vierten Ordnung

Answer

Globale Konvergenz für Lipschitz-stetige Funktionen

Answer

Unbedingte Stabilität

Answer

A-Stabilität

Question 8

Welche Eigenschaft ist für eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten charakteristisch?

Accepted Answer

Die Lösung ist eine Linearkombination von Exponentialfunktionen.

Answer

Die Lösung ist eine Linearkombination von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Answer

Die Lösung ist eine Potenzreihe.

Answer

Die Lösung ist eine Fourier-Reihe.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen zur Stabilität von Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Stabilität hängt von der Schrittweite und der Steigung der Lösungskurve ab.

Answer

Ein explizites Verfahren ist immer instabil.

Answer

Ein implizites Verfahren ist immer stabil.

Answer

Die Stabilität ist unabhängig von der Differentialgleichung.

Question 10

Was ist die zutreffende Aussage zur Trapezregel?

Accepted Answer

Ein numerisches Verfahren zur Annäherung des Integralwerts einer Funktion über ein Intervall

Answer

Erfordert eine stetige und differenzierbare Funktion

Answer

Liefert immer genauere Ergebnisse als die Simpsonregel

Answer

Nur für die Integration über positive Intervalle anwendbar

Question 11

Welche Eigenschaft trifft auf die Trapezregel zu?

Accepted Answer

Ihr Fehler ist proportional zum Quadrat der Schrittweite.

Answer

Sie liefert immer eine Unterschätzung des Integrals.

Answer

Sie ist eine exakte Methode zur Berechnung von Integralen.

Question 12

Welche Aussage beschreibt die Trapezregel am besten?

Accepted Answer

Die Trapezregel ist eine numerische Integrationsmethode, die den Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion über ein Intervall als Summe von Trapezen schätzt.

Answer

Die Trapezregel liefert immer eine exakte Lösung für den Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion.

Answer

Die Trapezregel eignet sich nur zur Integration von Funktionen mit monotonem Verlauf.

Answer

Die Trapezregel überschätzt immer den Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion.

Question 13

Welche der folgenden numerischen Integrationsmethoden verwendet eine quadratische Interpolationsfunktion?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Gauss-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Question 14

Welche Methode zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen basiert auf einer einstufigen expliziten Zeitintegration?

Accepted Answer

Euler-Verfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 15

Welche Aussage über die Schrittweite h bei der numerischen Integration trifft zu?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite führt zu einer höheren Genauigkeit

Answer

Eine größere Schrittweite führt zu einer höheren Genauigkeit

Answer

Die optimale Schrittweite ist unabhängig von der Funktion f(x)

Question 16

Welcher Ordnung ist das klassische Runge-Kutta-Verfahren der 4. Stufe?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

5

Answer

3

Question 17

Welche der folgenden Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen ist eine implizite Methode?

Accepted Answer

Theta-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Mittelpunktregel

Answer

Euler-Verfahren

Question 18

Welches ist ein Vorteil der Simpson-Regel gegenüber der Trapezregel?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit für glatte Funktionen

Answer

Einfachere Implementierung

Answer

Stabilität für größere Schrittweiten

Answer

Geringe Rechenzeit

Question 19

Welche der folgenden Integrationsmethoden hat im Allgemeinen die **höchste** Genauigkeit?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 20

Die Simpson-Regel approximiert die Fläche unter der Kurve mit:

Accepted Answer

Parabelstücken

Answer

Kreissegmenten

Answer

Rechtecken

Answer

Geradenstücken

Question 21

Welche der folgenden Aussagen zum Runge-Kutta-Verfahren ist **zutreffend**?

Accepted Answer

Das Runge-Kutta-Verfahren ist eine Methode zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Answer

Das Runge-Kutta-Verfahren ist eine Methode zur numerischen Integration.

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen ist eine **gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung**?

Accepted Answer

dy/dx = y + x

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

∫f(x) dx = F(x) + C

Answer

x² + y² = 1

Question 23

Gegeben sei die Differentialgleichung dy/dx = 2y mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. Welche der folgenden Optionen ist die **allgemeine** Lösung?

Accepted Answer

y = Ce^(2x)

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x² + 1

Answer

y = 2^x

Question 24

Welches Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen basiert auf der Idee, die Steigung an mehreren Punkten im Intervall zu berücksichtigen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Euler-Methode

Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Question 25

Die Schrittweite bei der numerischen Lösung einer Differentialgleichung beeinflusst:

Accepted Answer

Die Genauigkeit der Approximation und den Rechenaufwand.

Answer

Die Ordnung des Verfahrens.

Answer

Die Anfangsbedingung.

Answer

Die Anzahl der Variablen in der Gleichung.

Question 26

Welche der folgenden Anwendungen findet numerische Integration in der Praxis?

Accepted Answer

Berechnung der Fläche unter der Kurve einer Funktion

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Bestimmen der Nullstellen einer Funktion

Question 27

Welches der folgenden Verfahren ist KEINE numerische Integrationsmethode?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Answer

Mittelpunktregel

Answer

Trapezregel

Question 28

Die Trapezregel approximiert die Fläche unter einer Kurve durch:

Accepted Answer

Trapeze

Answer

Parabeln

Answer

Rechtecke

Question 29

Welches Verfahren ist im Allgemeinen genauer für die numerische Integration?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Linksseitige Rechteckregel

Answer

Rechtsseitige Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Question 30

Was ist der Hauptfehlerterm der Trapezregel bei der Integration von f(x) über [a,b]?

Accepted Answer

-(b-a)^3/12 * f''(ξ)

Answer

-(b-a)^2/2 * f'(ξ)

Answer

(b-a)^5/180 * f''''(ξ)

Question 31

Welches der folgenden ist ein Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Simpson-Regel

Answer

Newton-Verfahren

Question 32

Was ist die Ordnung des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4)?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

1

Answer

2

Question 33

Was ist der Vorteil von Verfahren höherer Ordnung wie RK4 gegenüber Verfahren niedrigerer Ordnung?

Accepted Answer

Geringerer Fehler bei gleicher Schrittweite

Answer

Einfachere Implementierung

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Question 34

Was ist eine Anfangsbedingung für eine Differentialgleichung?

Accepted Answer

Ein bekannter Wert der Lösung an einem bestimmten Punkt

Answer

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Answer

Die Ableitung der Lösung an einem bestimmten Punkt

Question 35

Was ist ein steifes System von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Ein System, bei dem numerische Verfahren Schwierigkeiten haben, stabile Lösungen zu finden.

Answer

Ein System mit komplexen Koeffizienten

Answer

Ein System mit nichtlinearen Differentialgleichungen

Question 36

Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen FALSCH für numerische Verfahren?

Accepted Answer

Sie liefern immer die exakte Lösung des Problems.

Answer

Sie sind Näherungslösungen

Answer

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