Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Quizfragen für Studierende der Informatik

Question 1

Welche Funktion weist an der Stelle x = 2 eine Unstetigkeit auf?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 2

Welche Aussage zum Grenzwert lim (x->0) sin(x)/x ist zutreffend?

Accepted Answer

Er existiert und ist gleich 0.

Answer

Er existiert und ist gleich 1.

Answer

Er existiert nicht.

Answer

Er ist gleich sin(0).

Question 3

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] gleichmäßig stetig ist?

Accepted Answer

|f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] und ε > 0

Answer

|f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] und ε > 0, wobei ε von x abhängt

Answer

|f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] und 0 < ε < 1

Answer

|f(x) - f(y)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] und ε > 1

Question 4

Welche Aussage zum Grenzwert lim (x->∞) e^(-x) ist korrekt?

Accepted Answer

Er existiert und ist gleich 0.

Answer

Er existiert und ist gleich 1.

Answer

Er existiert nicht.

Answer

Er ist unendlich.

Question 5

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge existiert immer. Welche Aussage trifft zu?

Accepted Answer

Ja, der Grenzwert existiert immer.

Answer

Nein, der Grenzwert existiert möglicherweise nicht.

Answer

Der Grenzwert kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert kann komplex sein.

Question 6

Welcher Grenzwert existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x->1) 1/(x-1)

Answer

lim (x->0) sin(x)

Answer

lim (x->∞) e^x

Answer

lim (x->0) x^2

Question 7

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle korrekt?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte für beliebige Argumente in der Nähe der Stelle beliebig nahe kommen.

Answer

Der Wert, den die Funktion an der Stelle annimmt.

Answer

Der Wert, gegen den die Ableitung der Funktion an der Stelle strebt.

Question 8

Welche Aussage über das Verhältnis zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion kann an einzelnen Stellen nicht differenzierbar sein.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Question 9

Welche der folgenden Funktionen hat einen hebbaren Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/(x^2 - 4)

Answer

f(x) = x^3 - 2x

Question 10

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und ist gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.

Answer

Der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert.

Answer

Der Funktionswert an dieser Stelle existiert.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4)

Answer

f(x) = e^(x - 2)

Answer

f(x) = x^2 + 2x - 8

Answer

f(x) = sin(x - 2)

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist nicht an der Stelle x = 0 beschränkt?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 13

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die Definition des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert, wenn die Funktionswerte von links und rechts der Stelle gegen denselben Wert streben.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert, wenn der Funktionswert an dieser Stelle definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle kann existieren, auch wenn der Funktionswert an dieser Stelle nicht definiert ist.

Question 14

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Question 15

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a monoton steigend.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Question 17

Welcher Grenzwert beschreibt den Limes inferior der Folge (an) = (-1)^n?

Accepted Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 19

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

12

Answer

Unendlich

Answer

8

Answer

0

Question 20

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung korrekt?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion f(x) stetig auf einem Intervall [a, b] und differenzierbar auf (a, b) ist, dann existiert ein Punkt c in (a, b), so dass f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für differenzierbare Funktionen.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für stetige Funktionen.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = { 1 für x >= 0; 0 für x < 0 }

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 22

Berechne den Grenzwert der Folge (1 + 1/n)^n für n gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

1

Question 23

Sei f(x) = (x² - 1)/(x - 1) für x ≠ 1 und f(1) = 3. An welcher Stelle ist f stetig?

Accepted Answer

Überall außer an der Stelle x = 1

Answer

Überall

Answer

Nur auf dem Intervall (-∞, 1) U (1, ∞)

Answer

Nur an der Stelle x = 1

Question 24

Welche Aussage über stetige Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt ihr Maximum und Minimum an.

Question 25

Berechne den Grenzwert: lim (x->0) (sin(x) / x)

Accepted Answer

1

Answer

Existiert nicht

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 26

Für welche Funktion ist die Aussage wahr: Die Funktion ist stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 27

Was besagt der Zwischenwertsatz?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt jeden Wert zwischen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen an.

Answer

Eine Funktion, die auf einem Intervall stetig ist, ist auch auf dem Intervall beschränkt

Answer

Eine stetige Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar

Answer

Jede stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert

Question 28

Berechne den Grenzwert: lim (x->∞) (2x² + 3x) / (x² - 1)

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 29

Für welche Funktion ist die Aussage wahr: Die Funktion ist auf dem Intervall (0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 30

Welche Aussage über Grenzwerte ist IMMER richtig?

Accepted Answer

Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an einer Stelle existieren und gleich sind, dann existiert der Grenzwert an dieser Stelle.

Answer

Wenn der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Answer

Wenn der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig.

Question 31

Welche der folgenden Grenzwertbetrachtungen liefert eine Aussage über das Verhalten der Funktion für x gegen -∞?

Accepted Answer

lim (x->-∞) (x³ + 2x² - 1) / (x² - 1)

Answer

lim (x->0) (1 / sin(x))

Answer

lim (x->∞) (sin(x) / x)

Answer

lim (x->3) (x³ - 9) / (x - 3)

Question 32

Welche Aussage über asymptotische Näherungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die asymptotische Näherung einer Funktion f(x) für x gegen a ist eine Funktion g(x), die für x nahe bei a der Funktion f(x) sehr ähnlich ist.

Answer

Die asymptotische Näherung einer Funktion ist nur für sehr große Werte von x gültig.

Answer

Die asymptotische Näherung einer Funktion muss immer eine Polynomfunktion sein.

Answer

Die asymptotische Näherung einer Funktion kann nicht verwendet werden, um Grenzwerte zu berechnen.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zum Begriff der Stetigkeit ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle unstetig ist, kann an anderen Stellen stetig sein.

Answer

An jeder Stelle einer unstetigen Funktion existiert der Funktionswert.

Answer

Eine stetige Funktion besitzt an jeder Stelle einen Grenzwert.

Question 34

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = tan(x)

Question 36

Mit Hilfe welchen Grenzwertsatzes kann der Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0 bestimmt werden?

Accepted Answer

Regel von L'Hospital

Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Cauchyscher Grenzwertsatz

Answer

Squeeze-Theorem

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Grenzwertfunktion f(x) = x² + 2x + 1 ist falsch?

Accepted Answer

Die Funktion besitzt keine horizontalen Asymptoten.

Answer

Die Funktion ist für alle x definiert.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen stetig.

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 unstetig der 1. Art?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2) / (x² - 4)

Answer

f(x) = abs(x - 2)

Answer

f(x) = sqrt(x - 2)

Answer

f(x) = (x² + 1) / (x + 1)

Question 39

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Funktionswert existiert, der Grenzwert existiert und beide sind gleich.

Answer

Der Funktionswert existiert.

Answer

Der Grenzwert existiert.

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sqrt(x³)

Answer

f(x) = x³

Question 41

Welche der folgenden Aussagen zur Grenzwertfunktion f(x) = e^(-x²) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein globales Maximum bei x = 0.

Answer

Die Funktion besitzt eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen stetig.

Answer

Die Funktion ist für alle x positiv.

Question 42

Geben Sie die formale Definition des Grenzwertes einer Funktion f an der Stelle x = a an.

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = L bedeutet: Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε gilt, wenn |x - a| < δ.

Answer

lim_(x->a) f(x) = L bedeutet: f(a) = L.

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x) / x

Answer

f(x) = 1 / x

Question 44

Welche Aussage beschreibt eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x = a?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) existiert

Answer

Die Ableitung von f an der Stelle x = a existiert

Answer

f(a) existiert

Answer

Die zweite Ableitung von f an der Stelle x = a existiert

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist eine Konsequenz aus dem Zwischenwertsatz?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] positive und negative Werte annimmt, muss an einer Stelle zwischen a und b den Wert 0 annehmen

Answer

Eine stetige Funktion ist auf einem offenen Intervall (a, b) differenzierbar

Question 46

Was ist die Stetigkeitseigenschaft der Summe zweier stetiger Funktionen?

Accepted Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist an jeder Stelle stetig

Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist nur an den Stellen stetig, an denen beide Funktionen stetig sind

Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist nur an den Stellen stetig, an denen mindestens eine der Funktionen stetig ist

Question 47

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für eine Funktion f, die an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

f(x) hat an der Stelle x = a ein lokales Maximum

Answer

f(x) hat an der Stelle x = a einen Sattelpunkt

Answer

f(x) hat an der Stelle x = a einen Wendepunkt

Answer

f(x) hat an der Stelle x = a ein globales Maximum

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = {1, falls x rational; 0, falls x irrational}

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Question 49

Welche der folgenden Aussagen ist eine Eigenschaft von Funktionen, die auf einem kompakten Intervall [a, b] stetig sind?

Accepted Answer

Die Funktion nimmt auf dem Intervall [a, b] ihr Supremum und Infimum an

Answer

Die Funktion ist auf dem Intervall (a, b) differenzierbar

Answer

Die Funktion hat auf dem Intervall [a, b] mindestens einen Nullpunkt

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit?

Accepted Answer

Das Integral einer stetigen Funktion über ein kompaktes Intervall ist endlich

Answer

Die Ableitung einer stetigen Funktion ist stetig

Answer

Die Stammfunktion einer stetigen Funktion ist stetig

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert, wenn sich die Funktionswerte von beiden Seiten der Stelle an diesen Wert annähern.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert nur, wenn die Funktion an der Stelle definiert ist.

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 54

Was ist der Grenzwert von (x^2 - 1) / (x - 1) für x --> 1?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert.

Answer

1

Question 55

Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist?

Accepted Answer

Die Funktion muss an der Stelle definiert sein, der Grenzwert muss existieren und der Grenzwert muss gleich dem Funktionswert an der Stelle sein.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle definiert sein und der Grenzwert muss existieren.

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^3

Question 57

Welcher Grenzwert beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^2 an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

lim (h --> 0) [(2 + h)^2 - 2^2] / h

Answer

lim (x --> 2) [x^2 - 2^2] / (x - 2)

Answer

lim (h --> 2) [(2 + h)^2 - 2^2] / h

Answer

lim (x --> 0) [x^2 - 2^2] / (x - 2)

Question 58

Was ist der Grenzwert von (sin(x)) / x für x --> 0?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

-1

Answer

0

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 60

Was ist der Grenzwert von (1 + 1/n)^n für n --> ∞?

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn sie an dieser Stelle einen Sprung hat.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn sie an dieser Stelle definiert ist und der Grenzwert existiert.