Analysis II: Online-Quizzes für Studierende der Informatik

Question 1

Bestimme den Grenzwert von f'(x) für x gegen unendlich, wenn f(x) = sin(x) + cos(x) ist.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-1

Question 2

Überprüfe die Konvergenz der alternierenden Reihe $$ sum_{n=1}^{infty} (-1)^n 1/n $$ nach dem Leibniz-Kriterium.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Answer

Die Reihe konvergiert nicht.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 3

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = x² + 2x - 1.

Accepted Answer

x³ + x² - x + C

Answer

x³ - x² + x + C

Answer

2x³ + 4x² - 2x + C

Answer

x² + 2x - 1 + C

Question 4

Welche Eigenschaft trifft auf stetige Funktionen auf offenen Intervallen zu?

Accepted Answer

Stetige Funktionen sind auf offenen Intervallen immer integrierbar.

Answer

Stetige Funktionen sind auf offenen Intervallen immer differenzierbar.

Answer

Stetige Funktionen sind auf offenen Intervallen immer beschränkt.

Answer

Stetige Funktionen sind auf offenen Intervallen immer monoton.

Question 5

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x⁴ - 2x² + x + 3.

Accepted Answer

f'(x) = 4x³ - 4x + 1

Answer

f'(x) = 4x³ - 2

Answer

f'(x) = 4x - 2x + 1

Answer

f'(x) = x³ - x

Question 6

Welches der folgenden Konzepte ist **nicht** zentral für Analysis II?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen

Answer

Differentialgleichungen

Answer

Mehrfachintegrale

Answer

Reihenentwicklungen

Question 7

Berechne den Grenzwert von f(x) = x² + 3x - 10, wenn x gegen unendlich geht.

Accepted Answer

∞

Answer

-∞

Answer

0

Answer

10

Question 8

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(n) = (n² + 1) / (2n² - 3) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1/2

Answer

2

Answer

0

Answer

unendlich

Question 9

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x * sin(x).

Accepted Answer

x * cos(x) + sin(x)

Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

0

Question 10

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = x³ * sin(x) mit der Produktregel. Erläutern Sie jeden Schritt Ihrer Berechnung.

Accepted Answer

3x² * sin(x) + x³ * cos(x)

Answer

3x² * cos(x) - x³ * sin(x)

Answer

x³ * cos(x)

Answer

sin(x)

Question 11

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^x * ln(x) an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

e^x * ln(x) + e^x / x

Answer

e^x + ln(x)

Answer

e^x / ln(x) + e^x * x

Answer

Nicht definiert

Question 12

Welche Aussage beschreibt die notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert und stimmt mit dem Funktionswert an diesem Punkt überein.

Answer

Der Funktionswert der Funktion an diesem Punkt existiert und ist endlich.

Answer

Die Ableitung der Funktion an diesem Punkt existiert.

Question 13

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g(x) = (x² - 3x + 2) * (x - 1).

Accepted Answer

2x² - 5x + 2

Answer

2x² - 3x - 2

Answer

2x² - 5x - 1

Answer

2x² - 3x + 4

Question 14

Berechne den Grenzwert der Folge (a_n) mit (a_n = (n^2 + 1) / (n^2 - 1)) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

Die Folge divergiert.

Question 15

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Funktion f(x) = x² - 3x + 2 auf dem Intervall [a, b] Riemann-integrierbar ist?

Accepted Answer

Beschränkt und stetig auf [a, b]

Answer

Monoton auf [a, b]

Answer

Differenzierbar auf [a, b]

Answer

Stetig auf [a, b]

Question 16

Bestimmen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums, ob die Reihe konvergiert oder divergiert:

$sum_{n=1}^infty rac{n^2+1}{n^3+2n}$

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Reihe divergiert gegen minus unendlich.

Answer

Die Konvergenz der Reihe kann nicht bestimmt werden.

Question 17

Bestimme den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:

(sum_{n=0}^{infty} rac{(-1)^n}{(2n+1)^2} x^n)

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

1/2

Answer

1/4

Question 18

Was beschreibt den Konvergenzradius einer Potenzreihe?

Accepted Answer

Den Bereich, in dem die Potenzreihe absolut konvergiert

Answer

Den Bereich, in dem die Potenzreihe gleichmäßig konvergiert

Answer

Dass der Radius immer positiv ist

Answer

Dass der Radius unabhängig von den Koeffizienten ist

Question 19

Beschreiben Sie den Ablauf der Bisektionsmethode zur numerischen Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion.

Accepted Answer

Die Bisektionsmethode teilt das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, wiederholt in zwei Hälften, bis das Intervall sehr klein ist.

Answer

Die Bisektionsmethode schätzt die Nullstelle anhand der Ableitung der Funktion.

Answer

Die Bisektionsmethode garantiert immer die Konvergenz zur Nullstelle.

Answer

Die Bisektionsmethode ist die genaueste Methode zur numerischen Bestimmung von Nullstellen.

Question 20

Was versteht man unter Vollständigkeit in metrischen Räumen? Nenne ein Beispiel für einen vollständigen und einen unvollständigen metrischen Raum.

Accepted Answer

Ein metrischer Raum (X, d) ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X gegen einen Punkt in X konvergiert.

Answer

Ein metrischer Raum (X, d) ist vollständig, wenn er kompakt ist.

Answer

Ein metrischer Raum (X, d) ist vollständig, wenn er zusammenhängend ist.

Answer

Ein vollständiger metrischer Raum ist immer ein unbeschränkter metrischer Raum.

Question 21

Berechnen Sie das Integral ∫[0, 1] (x² + 2x + 1) * e^(-x) dx durch Einsetzen.

Accepted Answer

e - e^(-1)

Answer

x³ + x² + x + C

Answer

e

Answer

1

Question 22

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = |x - 1| an der Stelle x = 1 stetig ist. Falls nicht, gib die Art der Diskontinuität an.

Accepted Answer

f(x) hat einen Sprung an der Stelle x = 1.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 stetig.

Answer

f(x) ist hebbar an der Stelle x = 1.

Question 23

Berechnen Sie die partielle Ableitung von f(x, y) = x² + y³ nach x:

Accepted Answer

2x + 3y²

Answer

x² + 3y

Answer

3y² + x

Answer

2x + 5y

Question 24

Welche Differentialgleichung beschreibt den Zerfall einer radioaktiven Substanz mit einer Zerfallskonstanten k?

Accepted Answer

dy/dt = -ky

Answer

dy/dt = ky

Answer

d²y/dt² = -ky

Answer

d²y/dt² = ky

Question 25

Welche der folgenden Funktionen hat einen kritischen Punkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x⁴

Answer

f(x) = x² + 1

Question 26

Welche Aussage über die Lösbarkeit von Differentialgleichungen ist richtig?

Accepted Answer

Die Lösbarkeit einer Differentialgleichung hängt von den Anfangsbedingungen ab.

Answer

Jede Differentialgleichung besitzt mindestens eine Lösung.

Answer

Eine Differentialgleichung besitzt höchstens eine Lösung.

Answer

Eine Differentialgleichung besitzt immer eine eindeutige Lösung.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe?

Accepted Answer

Der Limes der Folgenglieder ist 0.

Answer

Die Folgenglieder sind positiv.

Answer

Die Folgenglieder sind monoton fallend.

Answer

Die Folgenglieder sind alternierend.

Question 28

Welche Aussage über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung enthalten eine Funktion von zwei Variablen mit partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung.

Answer

Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung können analytisch oder numerisch gelöst werden.

Question 29

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $(a_n) = rac{(-1)^n cdot n}{n^2 + 1}$ für $n 	o infty$ und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Die Folge divergiert.

Answer

Der Grenzwert ist nicht eindeutig bestimmt.

Question 30

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = |x - 2| an der Stelle x = 2 stetig ist. Wenn nicht, gib die Art der Diskontinuität an.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 sprunghaft unstetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 hebbare unstetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 wesentlich unstetig.

Question 31

Berechnen Sie die folgende Grenze unter Verwendung der Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts: lim(x->0) (sin(x) / x) = 1

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Question 32

Berechnen Sie das uneigentliche Integral ∫(1/x) dx über das Intervall [1, 2]. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

ln(2)

Answer

-ln(2)

Answer

1

Answer

0

Question 33

Berechnen Sie das Volumen des von der Oberfläche z = 1 + x^2 + y^2 und den Ebenen z = 4 und z = 0 begrenzten Körpers.

Accepted Answer

16π

Answer

8π

Answer

4π

Answer

π

Question 34

Bestimmen Sie unter Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren die Extrempunkte der Funktion f(x, y) = x² + y² - 4 unter der Nebenbedingung x + y = 2.

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(0, 2)

Answer

(2, 0)

Answer

Die Funktion besitzt unter der Nebenbedingung keinen Extrempunkt.

Question 35

Lösen Sie die partielle Differentialgleichung erster Ordnung ∂u/∂x + ∂u/∂y = u mithilfe der Charakteristikenmethode.

Accepted Answer

u(x, y) = e^(x + y)

Answer

u(x, y) = x + y

Answer

u(x, y) = e^x

Answer

u(x, y) = e^y

Question 36

Frage:
Löse die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
y' = y - x
mit dem integrierenden Faktor.

Accepted Answer

y(x) = e^x * (∫ e^-x * (y + x) dx + C)

Answer

y(x) = e^-x * (∫ e^x * (y - x) dx + C)

Answer

y(x) = e^x * (∫ e^-x * y dx + C)

Question 37

Lösen Sie die nicht-homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung y'' - xy' + y = x mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten.

Accepted Answer

y(x) = e^x(c₁ + c₂x + c₃cos(x) + c₄sin(x))

Answer

y(x) = e^x(c₁ + c₂x + c₃ + c₄)

Answer

y(x) = e^x(c₁ + c₂)

Answer

y(x) = c₁x + c₂

Question 38

Frage: Untersuchen Sie die Konvergenz der Folge (a_n) mit a_n = (n + 5) / (n^2 + 1). Bestimmen Sie den Grenzwert, falls die Folge konvergiert.

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 1.

Answer

Die Folge konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Folge divergiert.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

g(x) = x^(1/2)

Answer

h(x) = e^(x^2)

Answer

k(x) = sin(x) + cos(x)

Question 40

Welche der folgenden partiellen Differentialgleichungen ist eine **Wellengleichung**?

Accepted Answer

u_tt = c^2 u_xx

Answer

u_xx + u_yy = 0

Answer

u_t + u_x = 0

Answer

u_t + u_xx = u_yy

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist **stetig**?

Accepted Answer

h(x) = { x, falls x ≥ 0; -x, falls x < 0 }

Answer

f(x) = { x^2, falls x rational; 1, falls x irrational }

Answer

g(x) = { 1, falls x rational; x, falls x irrational }

Answer

k(x) = { 1 / x, falls x ≠ 0; 0, falls x = 0 }

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von der impliziten Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Satz gilt auch für Gleichungen in mehr als zwei Variablen.

Answer

Der Satz besagt, dass eine implizit definierte Funktion unter bestimmten Bedingungen differenzierbar ist.

Answer

Die Bedingungen für die Anwendbarkeit des Satzes erfordern die Stetigkeit der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Answer

Der Satz kann verwendet werden, um Gleichungen wie y^2 = x^3 implizit zu lösen.

Question 43

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine **homogene Differentialgleichung** erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = xy

Answer

y' = x + y

Answer

y' = x / y

Answer

y' = y / x

Question 44

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine **Bernoulli-Differentialgleichung**?

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)y^n

Answer

y' + p(x)y = q(x)

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Question 45

Welcher Grenzwert ergibt sich für (1 + 1/n)^n, wenn n gegen unendlich geht?

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 46

Welche Aussage über partielle Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine partielle Differentialgleichung enthält mehrere unabhängige Variablen.

Answer

Eine partielle Differentialgleichung enthält nur eine unabhängige Variable.

Answer

Eine partielle Differentialgleichung ist immer durch Trennung der Variablen lösbar.

Answer

Partielle Differentialgleichungen finden keine Anwendung in der Praxis.

Question 47

Wie lautet das totale Differential von f(x, y) = x² + y³?

Accepted Answer

2x dx + 3y² dy

Answer

dx² + dy³

Answer

x dx + y dy

Answer

x² dx + y³ dy

Question 48

Welches Verfahren dient zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Variation der Konstanten

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Exakte Differentialgleichungen

Answer

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Question 49

Welche partielle Differentialgleichung ist eine hyperbolische Gleichung?

Accepted Answer

u_xx - u_yy = 0

Answer

u_xx - u_yy + u_xy = 0

Answer

u_xx + 2u_xy + u_yy = 0

Answer

u_xx + u_xy + u_yy = 0

Question 50

Welche Integraltransformation ist eine Fourier-Transformation?

Accepted Answer

F(ω) = ∫[−∞,∞] e^(-iωt) f(t) dt

Answer

F(s) = ∫[0,1] e^(-st) f(t) dt

Answer

F(s) = ∫[−1,1] e^(-st) f(t) dt

Answer

F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt

Question 51

Welche Aussage über Fourier-Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Jede periodische, stückweise stetige Funktion kann durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden.

Answer

Fourier-Reihen sind immer endlich.

Answer

Fourier-Reihen konvergieren immer gleichmäßig.

Question 52

Welche Methode kann zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet werden?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Answer

Romberg-Integration

Answer

Gauss-Legendre-Quadratur

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (2)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n/(n+1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Question 54

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y'' + y = x

Answer

y'y = x

Answer

y' + y^2 = x

Question 55

Gegeben sei die unendliche Reihe:

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} $

Welches Konvergenzverhalten zeigt diese Reihe?

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Alternierend konvergent

Answer

Divergent

Answer

Bedingt konvergent

Question 56

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

$ y'' - 2xy' + y = 0 $

Answer

$ y'' + y = sin(x) $

Answer

$ y' + xy = 0 $

Answer

$ xy'' + y' = x $

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über die Gammafunktion ist korrekt?

Accepted Answer

$ \Gamma(n+1) = n! $

Answer

$ \Gamma(n) = (n-1)! $

Answer

$ \Gamma(n) = \frac{1}{n!} $

Answer

$ \Gamma(n) = n $

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2} $

Answer

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} $

Answer

$ \sum_{n=1}^\infty (n+1)^2 $

Answer

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist **keine** stetig differenzierbare Funktion von zwei Variablen?

Accepted Answer

f(x, y) = |x - y|

Answer

f(x, y) = x² + y²

Answer

f(x, y) = e^(x+y)

Answer

f(x, y) = sin(xy)

Question 60

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung **zweiter** Ordnung?

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y' = y² + x

Answer

y' = sin(y)

Answer

y' + y = x

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über Fourier-Reihen ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Fourier-Reihe einer aperiodischen Funktion ist immer eine divergente Reihe.

Answer

Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist eine Kosinusreihe.

Answer

Die Fourier-Reihe einer stückweise stetigen Funktion ist eine trigonometrische Reihe.

Question 62

Welche der folgenden Reihen konvergiert **absolut und gleichmäßig**?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ 1 / n

Answer

∑_(n=1)^∞ sin(n) / n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Question 63

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2xy = x^2

Answer

y' + y^2 = x

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' = y^2 - x^2

Question 64

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_(n=0)^∞ (n+1)x^n.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

∞