Vektorräume: Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Sei V ein Vektorraum und seien v1, v2, v3 ∈ V. Welche Aussage ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit von v1, v2 und v3?

Accepted Answer

Die Gleichung c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 hat nur die triviale Lösung c1 = c2 = c3 = 0.

Answer

Die Menge {v1, v2, v3} ist eine Basis von V.

Answer

Die Dimension von V ist 3.

Answer

Die Vektoren v1, v2 und v3 sind paarweise orthogonal.

Question 2

Sei V ein Vektorraum mit der Dimension n. Wie viele Vektoren enthält jede Basis von V?

Accepted Answer

n

Answer

n - 1

Answer

n + 1

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist nicht festgelegt.

Question 3

Welche Abbildung zwischen Vektorräumen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = x² + y²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x, y) = (x, 0)

Question 4

Welche Aussage über linear unabhängige Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Sie lassen sich nicht als Linearkombination anderer Vektoren darstellen.

Answer

Sie haben alle die gleiche Länge.

Answer

Sie bilden eine Basis.

Answer

Ihre Summe ist der Nullvektor.

Question 5

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Er ist eine Teilmenge des Bildraums.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Quellraums.

Answer

Er ist der Nullraum der Abbildung.

Answer

Er ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über Orthogonalität ist falsch?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren haben die gleiche Richtung.

Answer

Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist null.

Answer

Eine orthonormierte Basis ist eine Basis, in der alle Vektoren orthogonal und normiert sind.

Question 7

Welche Aussage über linear unabhängige Vektoren ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie können nicht als Linearkombination anderer Vektoren ausgedrückt werden.

Answer

Sie können als Linearkombination anderer Vektoren ausgedrückt werden.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Sie haben immer denselben Betrag.

Question 8

Was ist eine Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Teilmenge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Teilmenge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Die Menge aller Vektoren im Vektorraum.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum nicht aufspannen.

Question 9

Welche Eigenschaft haben orthogonale Vektoren in einem inneren Produktvektorraum?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist gleich null.

Answer

Ihr Kreuzprodukt ist gleich null.

Answer

Ihre Norm ist gleich eins.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Question 10

Was ist der Zweck des Gram-Schmidt-Prozesses?

Accepted Answer

Orthogonalisierung einer Menge von Vektoren.

Answer

Berechnung der Dimension eines Vektorraums.

Answer

Bestimmung einer Basis eines Vektorraums.

Answer

Berechnung der Determinante einer Matrix.

Question 11

Welche Aussage über komplexe Vektorräume ist richtig?

Accepted Answer

Sie können unendlichdimensionale Untervektorräume haben.

Answer

Sie haben immer eine reelle Dimension.

Answer

Sie sind immer Hilberträume.

Answer

Sie können keine orthogonalen Vektoren enthalten.

Question 12

Welche Aussage über den Dualraum eines Vektorraums V ist richtig?

Accepted Answer

Jeder Vektor im Dualraum von V repräsentiert ein lineares Funktional auf V.

Answer

Der Dualraum von V ist ein endlichdimensionaler Untervektorraum von V.

Answer

Die Dimension des Dualraums von V ist gleich der Dimension von V.

Answer

Die Basis des Dualraums von V ist das Bild der Basis von V.

Question 13

Was zeichnet einen Vektorraum aus?

Accepted Answer

Eine Menge mit zwei Operationen, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Skalaren, die unter bestimmten Operationen abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Matrizen, die unter bestimmten Operationen abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Funktionen, die unter bestimmten Operationen abgeschlossen ist.

Question 14

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge mit zwei Verknüpfungen, Addition und Skalarmultiplikation, die gewisse Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine Basis bilden.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine Dimension haben.

Question 15

Wie lautet die Dimension des Vektorraums, der von den Vektoren {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} aufgespannt wird?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 16

Welches der folgenden Vektorpaare ist orthogonal?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (1, -1)}

Answer

{(1, 2), (2, 1)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Question 17

Wie viele linear unabhängige Vektoren kann ein Vektorraum mit Dimension 5 höchstens enthalten?

Accepted Answer

5

Answer

2

Answer

7

Answer

10

Question 18

Welche Aussage über die Eigenwerte eines linearen Operators ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Answer

Sie können sowohl positiv als auch negativ sein.

Answer

Sie entsprechen den Wurzeln des charakteristischen Polynoms des Operators.

Answer

Sie sind immer Eigenwerte des adjungierten Operators.

Question 19

Welches der folgenden ist kein Vektorraum?

Accepted Answer

Die Menge aller natürlichen Zahlen

Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad 2

Answer

Die Menge aller Matrizen 3x3

Answer

Die Menge aller Funktionen f: ℝ → ℝ

Question 20

Ist die Menge {v₁, v₂, v₃} mit v₁ = (1, 0, 0), v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (0, 0, 1) eine Basis des ℝ³?

Accepted Answer

Ja, denn sie ist linear unabhängig und erzeugt den gesamten Vektorraum ℝ³.

Answer

Nein, denn sie ist zwar linear unabhängig, erzeugt aber nicht den gesamten Vektorraum ℝ³.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über den Nullvektor ist richtig?

Accepted Answer

Er ist das einzige Element des Vektorraums, das zum Ursprung gehört.

Answer

Er ist linear abhängig von jedem anderen Vektor.

Answer

Er ist ein Vielfaches jedes anderen Vektors.

Answer

Er ist immer das additive Inverse eines anderen Vektors.

Question 22

Wie hoch ist die Dimension des Untervektorraums, der von den Vektoren {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} aufgespannt wird?

Accepted Answer

2, denn die Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

1, denn die Vektoren sind linear abhängig.

Question 23

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = x + y

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 24

Ist die Matrix A = ((1, 2), (3, 4)) invertierbar?

Accepted Answer

Ja, denn ihre Determinante ist ungleich null.

Answer

Nein, denn ihre Determinante ist gleich null.

Question 25

Was bedeutet es, dass Vektoren linear unabhängig sind?

Accepted Answer

Sie können nicht als Linearkombination anderer Vektoren dargestellt werden

Answer

Sie sind alle Vielfache eines einzelnen Vektors

Answer

Ihre Spannweite ist der gesamte Vektorraum

Answer

Sie sind paarweise orthogonal

Question 26

Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es in einem Vektorraum mit Dimension n?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

Die Anzahl ist unbegrenzt

Question 27

Welches Koordinatensystem wird verwendet, um den Vektor (a, b) in Bezug auf die Basis {(1, 0), (0, 1)} darzustellen?

Accepted Answer

Basiskoordinatensystem

Answer

Standardkoordinatensystem

Answer

Ortskoordinatensystem

Answer

Polarkoordinatensystem

Question 28

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 29

Welcher Begriff bezeichnet die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu einem gegebenen Vektor stehen?

Accepted Answer

Orthogonalraum

Answer

Nullraum

Answer

Kern

Answer

Untervektorraum

Question 30

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum R³? Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die jeden Vektor des Vektorraums als Linearkombination erzeugen.

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, -1, 2), (2, 1, -1), (3, 2, 1)}

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, für die die entsprechende Eigenvektorgleichung eine nichttriviale Lösung hat.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird.

Answer

Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert bildet einen Untervektorraum des Vektorraums.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist orthogonal, wenn alle Vektoren in der Menge orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine orthogonale Menge von Vektoren ist immer linear unabhängig.

Question 33

In einem Vektorraum ist jeder Vektor eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellbar. Ist diese Aussage richtig oder falsch?

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 34

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum R²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(2, 3), (4, 5)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Answer

{(0, 0), (1, 0)}

Question 35

Die Dimension eines Vektorraums ist:

Accepted Answer

gleich der Anzahl seiner linear unabhängigen Erzeugenden.

Answer

gleich der Anzahl seiner Vektoren.

Answer

immer eine natürliche Zahl.

Answer

abhängig von der Wahl der Basis.

Question 36

Welche der folgenden Abbildungen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine Matrix ist.

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 37

Eine Gleichung, die einen affinen Unterraum von R³ repräsentiert, ist:

Accepted Answer

x + y + z = 1

Answer

x² + y² = z

Answer

x = y

Answer

z = 0

Question 38

Eine Matrix, die einen orthogonalen Operator repräsentiert, ist:

Accepted Answer

A = [1 0; 0 1]

Answer

A = [1 1; 0 1]

Answer

A = [1 0; 1 1]

Answer

A = [0 1; -1 0]

Question 39

Welcher der folgenden Räume ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen R?

Accepted Answer

Die Menge der Funktionen von R nach R

Answer

Die Menge der geraden Zahlen

Answer

Die Menge der Folgen natürlicher Zahlen

Answer

Die Menge der Matrizen mit zwei Zeilen und drei Spalten

Question 40

Gegeben seien die Vektoren v₁, v₂, v₃ eines Vektorraums. Welche Aussage ist korrekt?

Accepted Answer

Bilden v₁, v₂, v₃ eine Basis des Vektorraums, sind sie linear unabhängig.

Answer

Sind v₁ und v₂ linear abhängig, ist auch die Menge {v₁, v₂, v₃} linear unabhängig.

Answer

Sind v₁ und v₂ linear unabhängig, so ist die Menge {v₁, v₂, v₃} eine Basis des Vektorraums.

Answer

Sind v₁, v₂, v₃ linear abhängig, so bildet ihre Spannweite den gesamten Vektorraum ab.

Question 41

Wie viele Basen kann ein Vektorraum der Dimension n besitzen?

Accepted Answer

Unendlich viele

Answer

Genau eine

Answer

Endlich viele

Answer

Keine Basen

Question 42

Welches der folgenden Kriterien ist notwendig und hinreichend für die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n?

Accepted Answer

Ihre Spannweite umfasst den gesamten Vektorraum.

Answer

Ihre Determinante ist ungleich null.

Answer

Sie sind paarweise linear unabhängig.

Answer

Ihre Summe ist der Nullvektor.

Question 43

Welche Aussage trifft auf einen endlichdimensionalen Vektorraum zu?

Accepted Answer

Er besitzt eine endliche Basis.

Answer

Er hat unendlich viele Basen.

Answer

Er hat keine Basis.

Answer

Er muss kein Untervektorraum eines anderen Vektorraums sein.

Question 44

In einem Vektorraum der Dimension n ist die Menge {v₁, ..., vₙ} genau dann eine Basis, wenn:

Accepted Answer

Sie linear unabhängig ist und ihre Spannweite den gesamten Vektorraum abbildet.

Answer

Ihre Summe der Nullvektor ist.

Answer

Ihre Determinante ungleich null ist.

Answer

Sie paarweise orthogonal ist.

Question 45

Welche Aussage definiert einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, auf denen die Addition und Skalarmultiplikation definiert sind.

Answer

Eine Menge von reellen Zahlen, auf denen die Addition und Multiplikation definiert sind.

Answer

Eine Menge von Punkten im Raum, auf denen die Addition und Subtraktion definiert sind.

Answer

Eine Menge von Matrizen, auf denen die Addition und Multiplikation definiert sind.

Question 46

Wann gilt eine Teilmenge S eines Vektorraums V als linear unabhängig?

Accepted Answer

Wenn kein Vektor in S als Linearkombination der anderen Vektoren in S darstellbar ist.

Answer

Wenn die Summe aller Vektoren in S den Nullvektor ergibt.

Answer

Wenn die Menge S genau n Vektoren enthält, wobei n die Dimension von V ist.

Answer

Wenn jeder Vektor in S ein Vielfaches eines anderen Vektors in S ist.

Question 47

Welche Aussage trifft auf eine Basis eines Vektorraums zu?

Accepted Answer

Sie ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Sie ist eine minimale Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Sie ist eine maximale Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Question 48

Wie lautet die Dimension eines Vektorraums mit einer Basis aus n Vektoren?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

unbestimmt

Question 49

Wann ist ein Vektorraum isomorph zu R^n?

Accepted Answer

Wenn er eine Basis mit n Vektoren hat.

Answer

Wenn er endlich-dimensional ist.

Answer

Wenn er unendlich-dimensional ist.

Answer

Wenn er einen Nullvektor hat.

Question 50

Welche Aussage ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektorräume ist immer ein Vektorraum.

Answer

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist eindeutig bestimmt.

Answer

Ein Vektorraum kann unendlich-dimensional sein.

Question 51

Sei $$V$$ ein $$n$-dimensionaler Vektorraum. Wie viele Elemente hat eine Basis von $$V$$?

Accepted Answer

$$n$$

Answer

$$n-1$$

Answer

$$n+1$$

Answer

Die Anzahl der Elemente einer Basis hängt von der Wahl der Basis ab.

Question 52

Sei $$V$$ ein Vektorraum und $$S$$ eine Teilmenge von $$V$$. Welche Aussage beschreibt den durch $$S$$ erzeugten Untervektorraum korrekt?

Accepted Answer

Er ist die kleinste Teilmenge von $$V$$, die $$S$$ enthält und selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Er ist die Summe aller Teilmengen von $$V$$, die $$S$$ enthalten.

Answer

Er ist der Durchschnitt aller Untervektorräume von $$V$$, die $$S$$ enthalten.

Answer

Er ist die Vereinigung aller Untervektorräume von $$V$$, die $$S$$ enthalten.

Question 53

Sei $$V$$ ein Vektorraum und $$U$$ ein Untervektorraum von $$V$$. Wie wird der Quotientenraum $$V/U$$ definiert?

Accepted Answer

Die Menge aller Äquivalenzklassen von Vektoren in $$V$$ modulo $$U$$.

Answer

Die Menge aller Vektoren in $$V$$, die nicht in $$U$$ liegen.

Answer

Die Menge aller Untervektorräume von $$V$$, die $$U$$ enthalten.

Answer

Die Menge aller Teilmengen von $$V$$, die $$U$$ enthalten.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist wahr?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren Einheitsvektoren sind.

Question 55

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum der Polynome mit Grad kleiner oder gleich 2 über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

{1, x, x²}

Answer

{x, x², x³}

Answer

{1, x, x³}

Answer

{1, 2x, x²}

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist wahr?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl aller Vektoren im Vektorraum.

Question 57

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist wahr?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf einen Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über das Bild einer linearen Abbildung ist wahr?

Accepted Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die von der linearen Abbildung angenommen werden.

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Menge von Vektoren linear unabhängig ist?

Accepted Answer

Der Rang der Matrix, deren Spalten die Vektoren sind, ist gleich der Anzahl der Vektoren.

Answer

Jede Linearkombination der Vektoren ist ein Vielfaches des Nullvektors.

Answer

Die Menge enthält keinen Nullvektor.

Question 61

Welche der folgenden Teilmengen von R³ bildet eine Basis?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist immer bijektiv.

Answer

Eine lineare Abbildung bewahrt die linearen Operationen.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Zielbereichs.

Question 63

Gegeben sei eine lineare Transformation T: R² -> R², die den Vektor (1, 0) auf (2, 1) und den Vektor (0, 1) auf (-1, 3) abbildet. Was ist die Abbildung von (2, 1) unter T?

Accepted Answer

(3, 5)

Answer

(5, 3)

Answer

(4, 1)

Answer

(1, 4)

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über den Nullvektor in einem Vektorraum ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Nullvektor ist das additive neutrale Element.

Answer

Der Nullvektor ist ein linear unabhängiger Vektor.

Answer

Der Nullvektor ist das multiplikative neutrale Element.

Answer

Der Nullvektor ist ein linear abhängiger Vektor.