Vektorräume: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Transformationen zwischen Vektorräumen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x, y) = (x^2, y^3)

Question 2

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Transformation von R^2 nach R^3?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5]]

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Der Nullvektor ist das eindeutige Element mit der Eigenschaft, dass seine Summe mit jedem anderen Vektor den anderen Vektor ergibt.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren über einem Körper.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor im Vektorraum.

Answer

Das Produkt eines Vektors mit einem Skalar ist ein Vektor im Vektorraum.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn die Summe der Koeffizienten in einer Linearkombination gleich Null ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn kein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.

Answer

Die leere Menge ist linear unabhängig.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix mit den Vektoren als Spalten ungleich Null ist.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

In einem Vektorraum über den komplexen Zahlen impliziert die lineare Unabhängigkeit die Orthogonalität.

Answer

Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist Null.

Answer

In einem Vektorraum über den reellen Zahlen impliziert die Orthogonalität die lineare Unabhängigkeit.

Question 6

Ist jede Linearkombination einer endlichen Menge von Vektoren aus einem Vektorraum ein Vektor in diesem Vektorraum?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 7

Ist jede Linearkombination von Vektoren in einem Erzeugendensystem auch ein Vektor in diesem Vektorraum?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 8

Welche Bedingung ist sowohl notwendig als auch hinreichend dafür, dass ein Vektorsystem {v₁, ..., v_n} in einem Vektorraum V eine Basis bildet?

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig und erzeugen V.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig und erzeugen V.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, erzeugen aber nicht V.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen gilt für orthogonale Vektoren?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist gleich 0.

Answer

Ihre Summe ist der Nullvektor.

Answer

Sie sind linear abhängig.

Answer

Ihre Länge ist gleich 1.

Question 10

Welche Aussage beschreibt korrekt die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit Addition und skalaren Multiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen

Answer

Eine Sammlung von Punkten im Raum

Answer

Eine Ebene mit einem Ursprungspunkt

Answer

Eine Gerade mit einer Steigung

Question 11

Was ist eine Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen

Answer

Menge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum erzeugen

Answer

Menge von Vektoren mit Summe Nullvektor

Answer

Menge paarweise orthogonaler Vektoren

Question 12

Welche Transformation ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = mx + c

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 13

Welche Matrix repräsentiert die Transformation f(x) = 2x + 3?

Accepted Answer

[[2, 0], [3, 1]]

Answer

[[2, 3], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [0, 3]]

Answer

[[3, 2], [1, 0]]

Question 14

Welche Aussage definiert korrekt einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine nichtleere Menge zusammen mit zwei Verknüpfungen (Addition und Skalarmultiplikation), die bestimmte Eigenschaften erfüllen.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die linear abhängig sind.

Question 15

Welche Aussage über die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn alle Vektoren Vielfache desselben Vektors sind.

Question 16

Welche Aussage über Basen eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Teilmenge des Vektorraums mit der kleinstmöglichen Anzahl von Vektoren.

Question 17

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 18

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Bildraums.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Kerns.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist die Anzahl der Zeilen in der zugehörigen Matrix.

Question 19

Welche Aussage definiert einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Elementen mit den abgeschlossenen Verknüpfungen Addition und Skalarmultiplikation.

Answer

Eine Menge von Elementen mit einer Multiplikationsoperation.

Answer

Eine Menge von Elementen mit eindeutigen Inversen.

Question 20

Welche Menge bildet eine Basis für R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}

Question 21

Welche Abbildung ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 22

Welcher Vektorraum ist ein Hilbertraum?

Accepted Answer

Menge der quadratisch integrierbaren Funktionen auf [0, 1]

Answer

Menge der differenzierbaren Funktionen auf [0, 1]

Answer

Menge der stetigen Funktionen auf [0, 1]

Question 23

Welche Norm ist eine p-Norm für p > 2?

Accepted Answer

||x||_p = (∑|x_i|^p)^(1/p)

Answer

||x||_p = ∑|x_i|

Answer

||x||_p = max(|x_i|)

Answer

||x||_p = (∑|x_i|^2)^(1/2)

Question 24

Welche Aussage über Banachräume ist falsch?

Accepted Answer

Jeder Banachraum ist ein Hilbertraum.

Answer

Jeder Banachraum ist reflexiv.

Answer

Jeder Banachraum ist vollständig.

Answer

Jeder Banachraum ist normiert.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen, aber nicht unbedingt linear unabhängig sind.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die nicht unbedingt den gesamten Vektorraum aufspannen.

Question 26

Welche der folgenden Transformationen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine feste Matrix ist.

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie die gleiche Länge haben.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der bei Anwendung einer linearen Transformation mit einem Skalarwert multipliziert wird.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Vektor, der bei Anwendung einer linearen Transformation mit einem Skalarwert multipliziert wird.

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein Vektorraum kann keine Untervektorräume haben.

Answer

Ein Vektorraum kann endlich oder unendlich viele Elemente haben.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist immer ein Vektor im selben Vektorraum.

Answer

Ein Vektorraum muss einen Nullvektor enthalten.

Question 30

Welche der folgenden Teilmengen von R⁴ ist **kein** Erzeugendensystem?

Accepted Answer

{(1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}

Answer

{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}

Question 31

Welcher der folgenden Körper ist **kein** Vektorraum über sich selbst?

Accepted Answer

Die natürlichen Zahlen

Answer

Die komplexen Zahlen

Answer

Die rationalen Zahlen

Answer

Die reellen Zahlen

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren in ℝ³ ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektor in ℝ³ ist ein geordnetes Tripel von reellen Zahlen

Answer

Ein Vektor in ℝ³ ist eine Menge von reellen Zahlen

Answer

Ein Vektor in ℝ³ ist ein geordnetes Paar von reellen Zahlen

Question 33

Sind die Vektoren ⟨1, 2, 3⟩, ⟨4, 5, 6⟩ und ⟨7, 8, 9⟩ linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja, denn jeder Vektor kann nicht als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt werden.

Answer

Nein, denn alle drei Vektoren liegen auf derselben Geraden.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Erzeugendensysteme ist richtig?

Accepted Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum als Linearkombination erzeugen können.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die eine Basis bilden.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einem Erzeugendensystem.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der linear abhängigen Vektoren.

Question 36

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über den Bildraum einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Bildraum einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die von der Abbildung erzeugt werden.

Answer

Der Bildraum einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch** für einen Vektorraum V über einem Körper K?

Accepted Answer

Die Vektoraddition ist nicht kommutativ.

Answer

Die Skalarmultiplikation ist distributiv bezüglich der Vektoraddition.

Answer

Jedes Element in V hat ein inverses Element bezüglich der Vektoraddition.

Answer

Es existiert ein neutrales Element bezüglich der Vektoraddition.

Question 40

Gegeben sei der Vektorraum R³. Welche der folgenden Vektoren sind linear unabhängig?

Accepted Answer

[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]

Answer

[(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)]

Answer

[(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)]

Answer

[(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)]

Question 41

Welche der folgenden Mengen ist **kein** Untervektorraum von R²?

Accepted Answer

{(x, y) | x + y = 1}

Answer

{(x, y) | y = 2x}

Answer

{(x, y) | x = 0}

Answer

{(x, y) | x und y sind beliebige reelle Zahlen}

Question 42

Welche der folgenden Vektoren spannt den Vektorraum R² auf?

Accepted Answer

[(1, 0), (0, 1)]

Answer

[(1, 1), (1, -1)]

Answer

[(1, 1), (2, 2)]

Answer

[(1, 0), (1, 1)]

Question 43

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis des Vektorraums R³?

Accepted Answer

[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]

Answer

[(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)]

Answer

[(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)]

Answer

[(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)]

Question 44

Sei V ein Vektorraum mit einer Basis bestehend aus n Vektoren. Wie viele Vektoren benötigt man mindestens, um V aufzuspannen?

Accepted Answer

n

Answer

n - 1

Answer

n + 1

Answer

Es ist nicht möglich, V mit einer endlichen Anzahl von Vektoren aufzuspannen.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** für einen Vektorraum V mit der Dimension n?

Accepted Answer

Jede Basis von V enthält genau n Vektoren.

Answer

V kann durch mehr als n Vektoren aufgespannt werden.

Answer

Die Dimension von V ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Answer

V kann durch weniger als n Vektoren aufgespannt werden.

Question 46

Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V. Welche Aussage über die Dimensionen von U und V ist **falsch**?

Accepted Answer

dim(U) > dim(V)

Answer

dim(U) < dim(V)

Answer

dim(U) = dim(V)

Answer

dim(U) ≤ dim(V)

Question 47

Gegeben seien die Vektoren u = (1, 2, 3) und v = (4, 5, 6). Bestimmen Sie den Vektor w, so dass u, v, w linear abhängig sind.

Accepted Answer

w = (7, 8, 9)

Answer

w = (1, 0, 0)

Answer

w = (0, 0, 0)

Question 48

Sei V ein Vektorraum mit der Basis B = {v₁, v₂, ..., v_n}. Wie lässt sich ein beliebiger Vektor w ∈ V als Linearkombination der Basisvektoren schreiben?

Accepted Answer

w = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n, wobei a_i ∈ K für i = 1, 2, ..., n

Answer

w = v₁ + v₂ + ... + v_n

Question 49

Welche der folgenden Mengen mit der Standardaddition und -skalierung bildet KEINEN Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad genau 2.

Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2.

Answer

Die Menge aller stetigen Funktionen von R nach R.

Answer

Die Menge aller 2x2-Matrizen.

Question 50

Sei V der Vektorraum aller reellen Funktionen. Welche der folgenden Mengen ist KEIN Unterraum von V?

Accepted Answer

Die Menge aller Funktionen f mit f(0) = 1.

Answer

Die Menge aller Polynome.

Answer

Die Menge aller Funktionen f mit f(1) = 0.

Answer

Die Menge aller geraden Funktionen (f(-x) = f(x) für alle x).

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über linear unabhängige Vektoren ist IMMER wahr?

Accepted Answer

Ein nicht-trivialer Linearkombination linear unabhängiger Vektoren ergibt niemals den Nullvektor.

Answer

Es können nicht mehr linear unabhängige Vektoren existieren als die Dimension des Vektorraums.

Answer

Linear unabhängige Vektoren sind orthogonal zueinander.

Question 52

Die Vektoren (1,0,1), (0,1,1) und (1,1,0) sind...

Accepted Answer

linear abhängig.

Answer

eine Basis des R^3.

Answer

linear unabhängig.

Answer

orthogonal.

Question 53

Welches der folgenden ist KEIN Erzeugendensystem des Vektorraums R^3?

Accepted Answer

{(1,0,0), (0,1,0)}

Answer

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

Answer

{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}

Answer

{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1)}

Question 54

Die Dimension des Vektorraums aller 2x3-Matrizen über den reellen Zahlen ist:

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

2

Answer

5

Question 55

Sei B = {(1,1), (1,-1)} eine Basis des R^2. Die Koordinaten des Vektors (3,1) bezüglich der Basis B sind:

Accepted Answer

(2,-1)

Answer

(1,2)

Answer

(3,1)

Answer

(-1,2)

Question 56

Sei U der Unterraum des R^3, der von den Vektoren (1,0,1) und (0,1,1) aufgespannt wird. Die Dimension von U ist:

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum besitzt genau eine Basis.

Answer

Jede Basis eines Vektorraums hat die gleiche Anzahl von Vektoren.

Answer

Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer seiner Basen.

Question 58

Seien u und v zwei linear unabhängige Vektoren in einem Vektorraum V. Welcher der folgenden Vektoren liegt NICHT in dem von u und v aufgespannten Unterraum?

Accepted Answer

2u - 3v + w, wobei w kein Vielfaches von u oder v ist.

Answer

2u - 3v

Answer

u + v