Reihen: Definition, Konvergenz und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über die Taylorreihe ist nicht zutreffend?

Accepted Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist immer konvergent.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion f(x) ist eine unendliche Summe von Ableitungen von f(x) an einem bestimmten Punkt.

Answer

Die Taylorreihe kann zur Approximation einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes verwendet werden.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Question 2

Welche der folgenden Funktionen hat die Taylorreihe f(x) = 1 + x + x²/2 + x³/3 + ...?

Accepted Answer

e^x

Answer

ln(x)

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Question 3

Welches Konvergenzkriterium wird verwendet, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu testen?

Accepted Answer

Alternating-Series-Test

Answer

Cauchy-Folge-Kriterium

Answer

Majorantenkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 4

Welche Reihe konvergiert nicht?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Question 5

Welche Formel beschreibt das n-te Folgenglied einer geometrischen Reihe?

Accepted Answer

a * r^(n-1)

Answer

a + r^(n-1)

Answer

a / r^(n-1)

Answer

a - r^(n-1)

Question 6

Welche Anwendungen von Reihen werden in der Analysis genutzt?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Approximation von Funktionen

Question 7

Welche der folgenden Reihen stellt die Taylorreihe für die Funktion f(x) = e^x dar?

Accepted Answer

1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...

Answer

x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

Answer

e + ex + e^2x^2/2 + e^3x^3/3 + ...

Answer

1/(1-x) - x/(1-x)^2 + x^2/(1-x)^3 + ...

Question 8

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + ...

Answer

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...

Question 9

Welches der folgenden Kriterien kann verwendet werden, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu testen?

Accepted Answer

Alternierendes Reihenkriterium

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Absolutwert-Kriterium

Question 10

Welche Aussage über Cauchy-Folgen ist zutreffend?

Accepted Answer

Cauchy-Folgen konvergieren immer gegen einen eindeutigen Grenzwert.

Answer

Cauchy-Folgen können gegen mehrere Grenzwerte konvergieren.

Answer

Nur konvergente Folgen sind auch Cauchy-Folgen.

Answer

Alle beschränkten Folgen sind Cauchy-Folgen.

Question 11

Welche der folgenden Reihen ist eine Alternating Series?

Accepted Answer

∑ ((-1)^n / (2n+1))

Answer

∑ (e^n)

Answer

∑ (1 / n²)

Answer

∑ (n)

Question 12

Bestimmen Sie die Ableitung der Reihe ∑ (n * x^n)

Accepted Answer

∑ (n * x^(n-1))

Answer

∑ ((n-1) * x^(n-1))

Answer

∑ (x^n)

Answer

∑ (n * x^(n+1))

Question 13

Welche der folgenden Reihen repräsentiert die Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

∑ ((x^n) / n!)

Answer

∑ (x^n)

Answer

∑ (n * x^n)

Answer

∑ ((-1)^n * x^n)

Question 14

Welche der folgenden Aussagen trifft auf Reihen zu?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine Folge von Partialsummen.

Answer

Eine Reihe ist eine Folge von Differenzen.

Answer

Eine Reihe ist eine Folge von Produkten.

Question 15

Nennen Sie das Konvergenzkriterium für geometrische Reihen.

Accepted Answer

Wenn |r| < 1

Answer

Wenn r = 1

Answer

Wenn r > 1

Question 16

Ermitteln Sie die Grenzsumme der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich

Answer

4

Answer

1

Question 17

Welche Aussage über alternierende Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Glieder monoton fallen.

Answer

Eine alternierende Reihe konvergiert immer.

Answer

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder monoton steigen.

Question 18

Welche der folgenden Reihen ist eine Fourierreihe?

Accepted Answer

1/2 + (sin(x) + cos(x)) + (sin(2x) + cos(2x)) + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Question 19

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Reihe am besten?

Accepted Answer

Eine geordnete Folge von Zahlen, die einer bestimmten Regel folgt

Answer

Eine geometrische Figur aus unendlich vielen Punkten

Answer

Eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen

Question 20

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ (1/2^n)

Answer

∑ (n^2)

Answer

∑ (2^n)

Answer

∑ (sin(n))

Question 21

Welche Taylorreihe ergibt sich für f(x) = e^x um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑ (x^n/n!)

Answer

∑ (n^x)

Answer

∑ (x^n)

Answer

∑ (sin(nx))

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ (2^n)

Answer

∑ (n!)

Answer

∑ (sin(n))

Answer

∑ (1/n^2)

Question 23

Welches Kriterium prüft die Konvergenz alternierender Reihen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Wurzeltest

Answer

Cauchy-Folge

Answer

Quotientenkriterium

Question 24

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

∑ (-1)^n

Answer

∑ (e^n)

Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (1/n)

Question 25

Wie lautet die allgemeine Form einer harmonischen Reihe?

Accepted Answer

∑ (1/n)

Answer

∑ (n)

Answer

∑ (e^n)

Answer

∑ (1/n^2)

Question 26

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

∑ (sin^2(n))

Answer

∑ (cos(n))

Answer

∑ (e^-n)

Answer

∑ (1/n^2)

Question 27

Was ist die Definition einer Reihe?

Accepted Answer

Eine unendlich fortgesetzte Folge von Zahlen.

Answer

Eine Funktion, die einen Bereich auf einen anderen abbildet.

Answer

Eine Gleichung mit einer Variablen.

Question 28

Welche Aussage über die Ableitung einer Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Reihe ist die Reihe der Ableitungen ihrer Glieder.

Answer

Die Ableitung einer Reihe ist die Summe der Ableitungen ihrer Glieder.

Answer

Die Ableitung einer Reihe ist das Produkt der Ableitungen ihrer Glieder.

Question 29

Welche Aussage über die Integration einer Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Integration einer Reihe ist die Reihe der Integrale ihrer Glieder.

Answer

Die Integration einer Reihe ist die Summe der Integrale ihrer Glieder.

Answer

Die Integration einer Reihe ist das Produkt der Integrale ihrer Glieder.

Question 30

Welche Aussage über Reihen beschreibt ihre Definition am besten?

Accepted Answer

Eine Reihe ist die Summe von unendlich vielen Zahlenfolgen.

Answer

Eine Reihe ist die Differenz von unendlich vielen Zahlenfolgen.

Answer

Eine Reihe ist eine Grenzwertberechnung einer Summenfunktion.

Question 31

Welche Aussage über den Leibniz-Test trifft zu?

Accepted Answer

Der Leibniz-Test gibt an, dass eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Folgenglieder gegen Null gehen und alternierende Vorzeichen haben.

Answer

Der Leibniz-Test gilt auch für divergente Reihen.

Answer

Der Leibniz-Test kann nur für geometrische Reihen verwendet werden.

Question 32

Welche Aussage über konditionierte Konvergenz ist korrekt?

Accepted Answer

Eine konditioniert konvergente Reihe kann durch Umordnen ihrer Summanden divergent gemacht werden.

Answer

Eine konditioniert konvergente Reihe konvergiert immer absolut.

Answer

Eine konditioniert konvergente Reihe ist immer alternierend.

Question 33

Definition einer Reihe: Welche Aussage trifft zu?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist ein Produkt von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist eine Menge von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist eine endliche Summe von Zahlen.

Question 34

Welches Konvergenzkriterium überprüft, ob die Terme einer Reihe gegen Null gehen?

Accepted Answer

Nullfolgenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Majorantenkriterium

Question 35

Welche Taylorreihe stellt die Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^(2n) / n!

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) e^(-n)

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n²

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 37

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) (1/3)^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) e^(-n)

Question 38

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x-5)^n / n!

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n+1)^n

Answer

∑(n=0 bis ∞) 2^n

Question 39

Welche Aussage über die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist alternierend und konvergiert laut dem alternierenden Reihentext.

Answer

Sie ist harmonisch und divergiert gegen unendlich.

Answer

Sie ist geometrisch und konvergiert zum Wert -1.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über unendliche Reihen ist falsch?

Accepted Answer

Eine konvergente Reihe muss auch absolut konvergent sein.

Answer

Eine absolut konvergente Reihe konvergiert auch.

Answer

Eine bedingt konvergente Reihe ist nicht absolut konvergent.

Question 41

Welche der folgenden Reihen ist die Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n * (x^(2n+1)) / (2n+1)!

Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^(2n)) / (2n)!

Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n) / n!

Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n * (x^(2n)) / (2n)!

Question 42

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑(n=0 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=0 bis ∞) 1/n

Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n

Question 43

Was ist die Definition einer Reihe?

Accepted Answer

Eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Funktion.

Answer

Eine endliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Folge von Zahlen.

Question 44

Welche Aussage über Taylorreihen ist falsch?

Accepted Answer

Jede Taylorreihe konvergiert für alle x.

Answer

Jede Funktion besitzt nur eine einzige Taylorreihe.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion kann innerhalb ihres Konvergenzintervalls an jedem Punkt ausgewertet werden.

Answer

Mit Taylorreihen lassen sich Funktionen approximieren.

Question 45

Welches Konvergenzkriterium wird häufig für alternierende Reihen verwendet?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 46

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 + 1 + 1 + 1 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Question 47

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine unendliche Reihe konvergiert?

Accepted Answer

Die Folge der Partialsummen der Reihe konvergiert gegen einen endlichen Grenzwert.

Answer

Die Glieder der Reihe wechseln abwechselnd das Vorzeichen.

Answer

Die Glieder der Reihe nähern sich Null an.

Answer

Die Glieder der Reihe werden immer größer.

Question 48

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

∑ n (von n=1 bis unendlich)

Answer

∑ (1/2)^n (von n=0 bis unendlich)

Answer

∑ 1/n^2 (von n=1 bis unendlich)

Answer

∑ (-1)^n/n (von n=1 bis unendlich)

Question 49

Wie groß ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (x-2)^n / n! (von n=0 bis unendlich)?

Accepted Answer

∞

Answer

2

Answer

1

Question 50

Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Entwicklungspunkt x=0?

Accepted Answer

∑ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)! (von n=0 bis unendlich)

Answer

∑ (-1)^n x^n / n! (von n=0 bis unendlich)

Answer

∑ x^n / n! (von n=0 bis unendlich)

Answer

∑ x^(2n) / (2n)! (von n=0 bis unendlich)

Question 51

Welches Konvergenzkriterium ist am besten geeignet, um die Konvergenz der Reihe ∑ 1/n^(1/2) (von n=1 bis unendlich) zu untersuchen?

Accepted Answer

Integralkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 52

Wenn die Reihe ∑ a_n (von n=1 bis unendlich) konvergiert, was lässt sich dann über die Konvergenz der Reihe ∑ |a_n| (von n=1 bis unendlich) aussagen?

Accepted Answer

Es ist nicht möglich, eine definitive Aussage zu treffen.

Answer

Die Reihe ∑ |a_n| (von n=1 bis unendlich) divergiert.

Answer

Die Reihe ∑ |a_n| (von n=1 bis unendlich) konvergiert.

Question 53

Was ist der Grenzwert der Folge (1+1/n)^n (für n gegen unendlich)?

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Reihen und Konvergenz ist im Allgemeinen falsch?

Accepted Answer

Wenn die Reihe ∑ a_n (von n=1 bis unendlich) konvergiert, dann muss lim_(n->∞) a_n = 0 sein.

Answer

Wenn lim_(n->∞) a_n ≠ 0, dann divergiert die Reihe ∑ a_n (von n=1 bis unendlich).

Answer

Wenn die Reihe ∑ |a_n| (von n=1 bis unendlich) konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe ∑ a_n (von n=1 bis unendlich).

Question 55

Eine geometrische Reihe hat die Form ∑ ar^n (von n=0 bis unendlich). Unter welchen Bedingungen konvergiert diese Reihe?

Accepted Answer

|r| < 1

Answer

r = 1

Answer

r < 0

Answer

r > 1

Question 56

Wie lautet die Partialsummenzerlegung der Reihe ∑ (1/n - 1/(n+1)) (von n=1 bis unendlich)?

Accepted Answer

(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1/n - 1/(n+1)

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 3 + 5 + 7 + ...

Question 58

Was ist der Grenzwert der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Question 59

Was ist die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) x^n/n!

Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n * x^n

Answer

∑(n=0 bis ∞) x^n

Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n * x^n/n!

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Taylorreihen ist falsch?

Accepted Answer

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert immer gegen die Funktion selbst.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion kann verwendet werden, um die Funktion zu approximieren.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist eine Potenzreihe.

Question 61

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Question 62

Welches Konvergenzkriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (-1)^n/n zu bestimmen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 63

Welche der folgenden Reihen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) a_n * (x-c)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑(n=0 bis ∞) (-1)^n