Gleichungssysteme lösen: Interaktive Übungen für Klasse 7 Hauptschule

Question 1

Löse das Gleichungssystem mit der Additionsmethode: x + y = 5, x - y = 1

Accepted Answer

(x = 3, y = 2)

Answer

(x = 2, y = 3)

Answer

(x = 1, y = 4)

Question 2

Ein Gleichungssystem besteht aus drei Gleichungen mit den Variablen x und y. Warum hat dieses Gleichungssystem in der Regel keine Lösung?

Accepted Answer

Wenn ein Gleichungssystem mit zwei Variablen drei Gleichungen hat, liefern diese in der Regel zu viele Informationen, die nicht alle übereinstimmen können.

Answer

Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein Gleichungssystem mit zwei Variablen darf höchstens zwei Gleichungen haben.

Answer

Die Variablen x und y müssen in allen drei Gleichungen vorkommen.

Question 3

Wie beeinflussen die Koeffizienten in einem Gleichungssystem die Steigung und den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Geraden?

Accepted Answer

Der Koeffizient vor x bestimmt die Steigung, der Koeffizient vor y den y-Achsenabschnitt.

Answer

Beide Koeffizienten beeinflussen sowohl Steigung als auch y-Achsenabschnitt.

Answer

Der Koeffizient vor x hat keinen Einfluss auf Steigung oder y-Achsenabschnitt.

Question 4

Erläutere, warum ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei gleichen Gleichungen keine Lösung besitzt.

Accepted Answer

Weil gleiche Gleichungen dieselbe Gerade im Koordinatensystem darstellen, die keine eindeutigen Schnittpunkte hat.

Answer

Weil gleiche Gleichungen keine Variablen enthalten und daher nicht gelöst werden können.

Answer

Weil gleiche Gleichungen immer nur eine Lösung haben, die aber nicht durch ein solches Gleichungssystem gefunden werden kann.

Question 5

Welches Merkmal trifft auf ein überbestimmtes Gleichungssystem zu?

Accepted Answer

Mehr Gleichungen als Unbekannte

Answer

Keine Lösung möglich

Answer

Nur ganze Zahlen als Unbekannte

Question 6

Wie beeinflussen die Koeffizienten der Variablen die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Geraden, die durch das Gleichungssystem 4x + 2y = 8 und -3x + 5y = 1 dargestellt wird?

Accepted Answer

Der Koeffizient von x bestimmt die Steigung der Geraden.

Accepted Answer

Der Koeffizient von y bestimmt den y-Achsenabschnitt der Geraden.

Answer

Die Summe der Koeffizienten bestimmt die Steigung der Geraden.

Answer

Die Differenz der Koeffizienten bestimmt den y-Achsenabschnitt der Geraden.

Question 7

Welche drei Faktoren bestimmen, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist?

Accepted Answer

Anzahl der Variablen, Anzahl der Gleichungen, Koeffizienten der Variablen

Answer

Anzahl der Variablen, Anzahl der Unbekannten, Anzahl der Lösungen

Answer

Anzahl der Gleichungen, Grad der Gleichungen, Anzahl der Variablen

Question 8

Ist das folgende Gleichungssystem lösbar?

2x + 3y = 12
4x + 6y = 24

Accepted Answer

Ja, es hat genau eine Lösung.

Answer

Ja, es hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Nein, es hat keine Lösung.

Question 9

Bestimme die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (2, 3) und (4, 7) verläuft.

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

-1

Answer

1

Question 10

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Gerade, die senkrecht zur Geraden y = 2x + 1 verläuft und durch den Punkt (3, 5) geht?

Accepted Answer

y = -2x + 11

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = -1/2x + 8

Answer

y = 1/2x + 2

Question 11

Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems:
x + y > 5
x - y < 1

Accepted Answer

{(x, y) | x + y > 5 und x - y < 1}

Answer

{(x, y) | x + y < 5 und x - y > 1}

Answer

{(x, y) | x - y > 5 und x + y < 1}

Answer

{(x, y) | x + y < 5 und x - y < 1}

Question 12

Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:
x + 2y = 5
y = x - 1

Accepted Answer

(x = 2, y = 1)

Answer

(x = 1, y = 2)

Answer

(x = -2, y = -1)

Answer

(x = -1, y = -2)

Question 13

Welche der folgenden Graphen stellt das Gleichungssystem x + y = 3 und x - y = 1 dar?

Accepted Answer

(zwei sich schneidende Geraden)

Answer

(zwei parallele Geraden)

Answer

(zwei senkrechte Geraden)

Answer

(ein Punkt)

Question 14

Wie kann man die geometrische Darstellung von Gleichungssystemen nutzen, um ihre Lösbarkeit grafisch zu ermitteln?

Accepted Answer

Die Geraden beider Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen und ihre Schnittpunkte untersuchen.

Answer

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und das Ergebnis in die andere Gleichung einsetzen.

Answer

Beide Gleichungen addieren oder subtrahieren, um eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten.

Question 15

Wie wirkt sich die Anzahl der Unbekannten in einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf die Anzahl der Lösungen aus?

Accepted Answer

Wenn die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Answer

Die Anzahl der Unbekannten hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Lösungen.

Answer

Die Anzahl der Lösungen ist immer gleich der Anzahl der Unbekannten.

Answer

Die Anzahl der Unbekannten spielt keine Rolle für die Lösbarkeit des Gleichungssystems.

Question 16

Welcher Hauptvorteil ergibt sich aus der Verwendung von Matrizen zur Lösung von Gleichungssystemen?

Accepted Answer

Effiziente Lösung größerer Gleichungssysteme

Answer

Vereinfachte Berechnungen

Answer

Geringere Fehleranfälligkeit

Answer

Verbesserte Visualisierung

Question 17

Wie viele Gleichungen brauchst du mindestens, um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten eindeutig zu lösen?

Accepted Answer

Zwei

Answer

Eine

Answer

Drei

Question 18

Welche Schritte sind beim Cramerschen Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems mit drei Variablen x, y und z erforderlich?

Accepted Answer

Berechnung der Determinanten der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrizen

Answer

Einsetzen einer Variablen in die anderen Gleichungen und anschließendes Lösen nach dieser Variablen

Answer

Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten

Question 19

Welche Aussage zur grafischen Methode zur Lösung von Gleichungssystemen ist zutreffend?

Accepted Answer

Die grafische Methode eignet sich gut für Gleichungssysteme mit zwei Variablen.

Accepted Answer

Mit der grafischen Methode können Lösungen für Gleichungssysteme geschätzt werden.

Answer

Die grafische Methode ist sehr genau, aber aufwendig anzuwenden.

Answer

Bei der grafischen Methode müssen immer Gleichungen gelöst werden.

Question 20

Wie lautet die Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit den Variablen x und y mit dem Einsetzungsverfahren?

Accepted Answer

Löse eine Variable aus einer Gleichung, setze sie in die andere Gleichung ein und löse nach der anderen Variable auf.

Answer

Addiere beide Gleichungen, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten.

Answer

Quadriere beide Gleichungen und setze sie gleich.

Question 21

Welches Additionsverfahren eignet sich zur Lösung des Gleichungssystems
x + 2y = 5
2x + 4y = 10?

Accepted Answer

Gegenseitige Elimination

Answer

Kreuzmultiplikation

Answer

Substitution

Answer

Grafische Darstellung

Question 22

Welche der folgenden Variablen in dem Gleichungssystem
x + y = 5
x - y = 1 ist abhängig?

Accepted Answer

y

Answer

x

Answer

Beide x und y

Answer

Keine von beiden

Question 23

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist äquivalent zu 
x + 2y = 5
3x - y = 10?

Accepted Answer

x + 2y = 5
6x - 2y = 20

Answer

x - 2y = 5
3x + y = 10

Answer

2x + 4y = 10
6x - 2y = 20

Answer

x + 2y = 5
3x + y = 0

Question 24

Bestimme die Lösungsmenge für das folgende Gleichungssystem: 
2x + 3y = 6
4x - 6y = 12

Accepted Answer

{(0, 2)}

Answer

{(2, 0)}

Answer

{(1, 1)}

Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Question 25

Welche der folgenden Gleichungen ist ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit zwei Variablen?

Accepted Answer

x + 2y = 5

Answer

x² + y² = 1

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

e^x + ln(y) = 10

Question 26

Welche Variable ist in der Gleichung isoliert: 
 3x - 5 = 10?

Accepted Answer

x

Answer

3

Answer

10

Answer

-5

Question 27

Löse das Gleichungssystem: 
 0,5x + 0,2y = 1 
 0,2x - 0,1y = 0,5

Accepted Answer

x = 4, y = 5

Answer

x = 1, y = 5

Answer

x = 5, y = 4

Answer

x = 2, y = 10

Question 28

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Lösung des Gleichungssystems: 2x + 3y = 12, 4x - 2y = 6?

Accepted Answer

Additionsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Substitutionsverfahren

Answer

Graphisches Verfahren

Question 29

Überprüfe, ob der Punkt (2, 3) eine Lösung des Gleichungssystems x - y = -1, 2x + y = 9 darstellt.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur für die zweite Gleichung

Answer

Nur für die erste Gleichung

Answer

Nein

Question 30

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 3 dar?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

x = 3y + 2

Answer

x = 2y + 3

Answer

y = 3x + 2

Question 31

Welche Aussage trifft auf das Gleichungssystem x + 2y = 5 und 3x + 6y = 15 zu?

Accepted Answer

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System hat genau eine Lösung.

Answer

Das System hat keine Lösungen.

Question 32

Welcher Graph veranschaulicht das Gleichungssystem y = 2x - 1 und y = -x + 3?

Accepted Answer

Bild zweier sich schneidender Geraden

Answer

Bild einer senkrechten Geraden

Answer

Bild zweier paralleler Geraden

Answer

Bild eines Kreises

Question 33

Welche Methoden können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen?

Accepted Answer

Sowohl Einsetzungsverfahren als auch Additionsverfahren

Answer

Nur graphische Darstellung

Answer

Nur Additionsverfahren

Answer

Nur Einsetzungsverfahren

Question 34

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um das Gleichungssystem zu lösen?
I: 2x + y = 7
II: x = 3 - y

Accepted Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Subtraktionsverfahren

Answer

Additionsverfahren

Answer

Keine der genannten Methoden

Question 35

Was passiert, wenn ein lineares Gleichungssystem keine Lösung hat?

Accepted Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen sind parallele Geraden.

Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen schneiden sich in einem Punkt.

Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen verlaufen senkrecht zueinander.

Answer

Die beiden Gleichungen sind identisch.

Question 36

Welche Gleichungen beschreiben die folgende Situation?
"Die Summe zweier Zahlen ist 10. Die Differenz der beiden Zahlen ist 4."

Accepted Answer

I: x + y = 10
II: x - y = 4

Answer

I: x - y = 10
II: x - y = 4

Answer

I: x - y = 10
II: x + y = 4

Answer

I: x + y = 10
II: x + y = 4

Question 37

Was ist der erste Schritt beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Einsetzungsverfahren?

Accepted Answer

Eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen.

Answer

Beide Gleichungen addieren.

Answer

Die Gleichungen graphisch darstellen.

Answer

Beide Gleichungen subtrahieren.

Question 38

Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Was bedeutet das für die Graphen der Gleichungen?

Accepted Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen sind identisch.

Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen sind parallele Geraden.

Answer

Die Graphen der beiden Gleichungen schneiden sich in einem Punkt.

Question 39

Welche Aussage über lineare Gleichungssysteme ist immer richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer mindestens eine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer genau eine Lösung.

Question 40

Was ist die Lösung des Gleichungssystems x + y = 4 und x - y = 2?

Accepted Answer

x = 3, y = 1

Answer

x = 4, y = 0

Answer

x = 2, y = 2

Answer

x = 1, y = 3

Question 41

Wenn man die Gleichung x = 2y + 3 in die Gleichung 3x + y = 10 einsetzt, welche neue Gleichung erhält man?

Accepted Answer

3(2y + 3) + y = 10

Answer

3x + 2y + 3 = 10

Answer

3(2y + 3) + 2y = 10

Answer

6y + 9 + y = 10

Question 42

Anna ist doppelt so alt wie Ben. Zusammen sind sie 24 Jahre alt. Welches Gleichungssystem beschreibt diese Situation?

Accepted Answer

a = 2b
a + b = 24

Answer

a + b = 24
a = b + 2

Answer

a = 2b
a - b = 24

Answer

a + b = 24
a - 2b = 0

Question 43

Welches Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

2x + 4y = 6
x + 2y = 3

Answer

x + y = 5
2x - y = 1

Answer

3x - y = 2
x + 2y = 4

Answer

x - 2y = 1
2x - 4y = 3

Question 44

Welches Gleichungssystem hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 3
2x + 2y = 1

Answer

x + y = 5
2x - y = 1

Answer

3x - y = 2
x + 2y = 4

Answer

x - 2y = 1
2x - 4y = 2

Question 45

Was kann die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen sein?

Accepted Answer

Ein Punkt, eine Gerade oder die leere Menge.

Answer

Immer ein Punkt.

Answer

Nur die leere Menge.

Answer

Immer eine Gerade.

Question 46

Löse das Gleichungssystem: x + y = 5 und x - y = 1.  Was sind die Werte für x und y?

Accepted Answer

x = 3 und y = 2

Answer

x = 1 und y = 4

Answer

x = 4 und y = 1

Answer

x = 2 und y = 3

Question 47

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 3?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

y = x + 2

Answer

y = 2x - 3

Answer

y = 3x + 2

Question 48

Was ist eine lineare Gleichung?

Accepted Answer

Eine Gleichung ersten Grades.

Answer

Eine Gleichung zweiten Grades.

Answer

Eine Gleichung dritten Grades.

Answer

Eine Gleichung vierten Grades.

Question 49

Zwei Zahlen haben eine Summe von 10 und eine Differenz von 4. Welches Gleichungssystem beschreibt diese Situation?

Accepted Answer

x + y = 10 und x - y = 4

Answer

x + y = 4 und x - y = 10

Answer

x - y = 10 und x + y = 4

Answer

x + y = 14 und x - y = 2

Question 50

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat die Lösung x = 2 und y = 3?

Accepted Answer

x + y = 5
2x - y = 1

Answer

x + 2y = 8
3x - y = 3

Answer

2x + y = 7
3x - 2y = 0

Answer

x - y = 1
2x + y = 7

Question 51

Welches Verfahren wird verwendet, um die Gleichungen in einem Gleichungssystem zu addieren oder subtrahieren, um eine Variable zu eliminieren?

Accepted Answer

Additionsverfahren

Answer

Probeverfahren

Answer

Graphisches Verfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Question 52

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
x + 2y = 7
2x - y = 1

Accepted Answer

x = 3, y = 2

Answer

x = 1, y = 4

Answer

x = 2, y = 3

Question 53

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

2x + 3y = 6
4x + 6y = 12

Answer

x + y = 5
2x - y = 1

Answer

3x - 2y = 1
x + 2y = 5

Answer

x - y = 2
2x + y = 3

Question 54

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
3x - 2y = 7
2x + 2y = 11

Accepted Answer

x = 3,6, y = 2,3

Answer

x = 1, y = 4

Answer

x = 2, y = 3

Answer

x = 4, y = 1

Question 55

Welche der folgenden Gleichungen kann mit der Gleichung x + y = 5 kombiniert werden, um ein Gleichungssystem mit der Lösung x = 2 und y = 3 zu bilden?

Accepted Answer

2x - y = 1

Answer

x - y = 1

Answer

x + 2y = 8

Answer

2x + y = 7

Question 56

Ein Obstladen verkauft Äpfel für 1€ pro Stück und Birnen für 0,80€ pro Stück. Ein Kunde kauft 5 Äpfel und 3 Birnen. Wie viel muss er bezahlen?

Accepted Answer

8,40€

Answer

9,20€

Answer

6,80€

Answer

7,50€

Question 57

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 3
2x + 2y = 7

Answer

x + y = 5
2x - y = 1

Answer

x - y = 2
2x + y = 3

Answer

3x - 2y = 1
x + 2y = 5

Question 58

Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden. Mit welcher Geschwindigkeit fährt das Auto?

Accepted Answer

60 km/h

Answer

40 km/h

Answer

80 km/h

Answer

100 km/h

Question 59

Ein Vater ist dreimal so alt wie sein Sohn. In fünf Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Wie alt sind Vater und Sohn heute?

Accepted Answer

Vater: 30 Jahre, Sohn: 10 Jahre

Answer

Vater: 40 Jahre, Sohn: 15 Jahre

Answer

Vater: 25 Jahre, Sohn: 8 Jahre

Answer

Vater: 35 Jahre, Sohn: 12 Jahre

Question 60

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Das Einsetzungsverfahren kann nur für Gleichungssysteme mit zwei Variablen verwendet werden.

Answer

Das Additionsverfahren kann Gleichungssysteme mit mehreren Variablen lösen.

Answer

Das Einsetzungsverfahren ist bei Gleichungssystemen mit vielen Variablen effizienter als das Additionsverfahren.

Question 61

Welche Gleichung entspricht dem folgenden Gleichungssystem?
x + y = 5
x - y = 1

Accepted Answer

2x = 6

Answer

y - x = 4

Answer

x - y = 6

Answer

x + y = 4

Question 62

Löse das folgende Gleichungssystem:
2x + 3y = 11
x - y = 2

Accepted Answer

(x = 3, y = 1)

Answer

(x = 2, y = 2)

Answer

(x = 1, y = 3)

Answer

(x = 4, y = 0)

Question 63

Welche der folgenden Variablen ist die abhängige Variable?

Accepted Answer

y

Answer

beide sind unabhängig

Answer

x

Answer

beide sind abhängig

Question 64

Welche der folgenden Gleichungen ist parallel zur Gleichung y = 2x + 1?

Accepted Answer

y = 2x - 3

Answer

y = -2x + 1

Answer

y = x + 2

Answer

y = 2x