Trigonometrie lernen: Sinus, Kosinus, Tangens und ihre Anwendungen

Question 1

Nenne drei konkrete Anwendungsbereiche der Trigonometrie und erläutere kurz, wie sie dort eingesetzt wird.

Accepted Answer

Berechnung der Entfernung zu Sternen in der Astronomie

Accepted Answer

Standortbestimmung von Schiffen in der Navigation

Accepted Answer

Berechnung der Höhe von Gebäuden in der Architektur

Question 2

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 6 cm lang. Der Winkel gegenüber dieser Kathete beträgt 30°. Wie lang ist die Hypotenuse?

Accepted Answer

8 cm

Answer

4 cm

Answer

12 cm

Answer

16 cm

Question 3

Wie können trigonometrische Funktionen eingesetzt werden, um wiederkehrende Vorgänge wie Pendelschwingungen oder Federbewegungen mathematisch zu beschreiben?

Accepted Answer

Durch Darstellung von Stärke und zeitlichem Verlauf mit Sinus- oder Kosinusfunktionen.

Answer

Durch Berechnung des Winkels, unter dem der Vorgang abläuft.

Answer

Durch Messung der zurückgelegten Strecke.

Answer

Durch Bestimmung der Geschwindigkeit des Vorgangs.

Question 4

Frage: Ein Flugzeug fliegt mit 300 km/h nach Westen. Der Wind weht aus Nordwesten mit 50 km/h. Berechne den neuen Kurs und die Geschwindigkeit des Flugzeugs.

Accepted Answer

Kurs: 315°, Geschwindigkeit: 306 km/h

Answer

Kurs: 225°, Geschwindigkeit: 290 km/h

Answer

Kurs: 45°, Geschwindigkeit: 325 km/h

Answer

Kurs: 135°, Geschwindigkeit: 275 km/h

Question 5

Was beschreibt die Höhe zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt einer trigonometrischen Kurve?

Accepted Answer

Amplitude

Answer

Horizontale Verschiebung

Answer

Wellenlänge

Answer

Phasenwinkel

Question 6

Wie können trigonometrische Funktionen genutzt werden, um Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen?

Accepted Answer

Mithilfe der Längen der anliegenden und gegenüberliegenden Seite des Winkels

Answer

Trigonometrische Funktionen sind nur für rechtwinklige Dreiecke anwendbar

Answer

Trigonometrische Funktionen haben keinen Bezug zu Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken

Question 7

Warum sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis periodisch?

Accepted Answer

Weil sich ihre Werte für Winkel, die um 2π (360°) abweichen, wiederholen.

Answer

Weil sie alle eine Sinuskurve bilden.

Answer

Weil sie nicht periodisch sind.

Answer

Weil ihre Perioden von ihrer Amplitude abhängen.

Question 8

Welche Aussage beschreibt die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, die Ableitung des Kosinus ist der Sinus mit negativem Vorzeichen und die Ableitung des Tangens ist der Sekans zum Quadrat.

Answer

Die Ableitung einer trigonometrischen Funktion ist immer null.

Answer

Die Ableitung einer trigonometrischen Funktion kann mit der Quotientenregel berechnet werden.

Question 9

Frage: Was ist der Einheitskreis in der Trigonometrie? Erläutere seine Rolle bei der Bestimmung trigonometrischer Werte und der Messung von Winkeln.

Accepted Answer

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, der trigonometrische Funktionen in einem Koordinatensystem darstellt. Er hilft, trigonometrische Werte (Sinus, Kosinus, Tangens) für jeden Winkel zu bestimmen.

Answer

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit unendlichem Radius, der Winkel zwischen Geraden misst.

Answer

Der Einheitskreis ist ein in Quadrate unterteilter Kreis, der Wahrscheinlichkeiten darstellt.

Answer

Der Einheitskreis ist ein in Sektoren unterteilter Kreis, der Zeit misst.

Question 10

Frage: Wie berechnest du den Winkel zwischen zwei Geraden mit trigonometrischen Funktionen?

Accepted Answer

Bestimme die Tangente eines Winkels und berechne den Winkel mit der arctan-Funktion.

Answer

Addiere die Längen der Geraden und teile sie durch ihre Differenz.

Answer

Multipliziere die Längen der Geraden und teile sie durch ihre Summe.

Answer

Subtrahiere die kleinere Länge von der größeren und teile das Ergebnis durch die Summe der Längen.

Question 11

Wie lässt sich die Höhe eines Baumes mithilfe der Tangensfunktion bestimmen?

Accepted Answer

Den Winkel zwischen der horizontalen Linie und der Linie vom Baumfuß zur Baumspitze messen und dann die Tangensfunktion verwenden, um die Höhe des Baumes zu berechnen.

Answer

Einen Maßstab am Baum anbringen und den Abstand vom Maßstab zum Baumfuß mit der Tangensfunktion berechnen.

Answer

Die Höhe des Baumes direkt mit einem Lineal oder Maßband messen.

Question 12

Wie hängen die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens mit der Darstellung komplexer Zahlen in trigonometrischer Form zusammen?

Accepted Answer

Der Tangens definiert den Winkel zwischen dem positiven Realteil und dem Vektor der komplexen Zahl.

Answer

Trigonometrische Funktionen können nicht zur Darstellung komplexer Zahlen verwendet werden.

Answer

Der Kosinus ist mit der reellen Achse verbunden, während komplexe Zahlen eine imaginäre Komponente haben.

Answer

Komplexe Zahlen haben keine trigonometrische Darstellung.

Question 13

Wie vereinfachen trigonometrische Identitäten trigonometrische Ausdrücke? Erkläre es anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Sie wandeln komplexe Ausdrücke in einfachere Formen um.

Answer

Sie definieren neue trigonometrische Funktionen.

Answer

Sie haben keine Vorteile bei der Vereinfachung.

Question 14

Wie können trigonometrische Funktionen genutzt werden, um komplexe Zahlen darzustellen? Nenne Beispiele für ihre Anwendung in der Elektrotechnik und Quantenmechanik.

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen können die reellen und imaginären Anteile komplexer Zahlen bestimmen.

Answer

Komplexe Zahlen können nicht mit trigonometrischen Funktionen dargestellt werden.

Answer

Trigonometrische Funktionen haben keine nennenswerten Anwendungen in der Elektrotechnik und Quantenmechanik.

Question 15

Welche Aussage beschreibt korrekt die Beiträge von Hipparchos und Claudius Ptolemäus zur Entwicklung der Trigonometrie?

Accepted Answer

Ptolemäus erstellte die erste umfassende trigonometrische Tafel, während Hipparchos Methoden zur präziseren Winkelmessung entwickelte.

Answer

Hipparchos entwickelte den Sinus, während Ptolemäus den Kosinus entdeckte.

Answer

Die Arbeiten von Hipparchos und Ptolemäus zur Trigonometrie waren unabhängig voneinander und fanden nicht zur gleichen Zeit statt.

Question 16

Was sind trigonometrische Identitäten und wofür werden sie genutzt?

Accepted Answer

Gleichungen, die für alle Winkelwerte gelten.

Answer

Gleichungen, die nur für bestimmte Winkelwerte gelten.

Answer

Gleichungen, die nur für den Sinus definiert sind.

Question 17

Wie können trigonometrische Funktionen eingesetzt werden, um periodische Vorgänge wie Schallwellen oder Wechselstromkreise zu modellieren und zu analysieren?

Accepted Answer

Ermitteln von Amplitude und Periode einer Schallwelle

Accepted Answer

Berechnen von Stärke und Richtung des elektrischen Stroms in einem Wechselstromkreis

Answer

Trigonometrische Funktionen sind nicht zur Modellierung periodischer Vorgänge geeignet

Question 18

Wie unterstützen trigonometrische Funktionen die Zerlegung komplexer Signale in der Signalverarbeitung und Datenanalyse?

Accepted Answer

Sie ermöglichen die Zerlegung in Frequenz- und Amplitudenanteile.

Answer

Sie glätten verrauschte Daten.

Answer

Sie werden in diesen Bereichen nicht eingesetzt.

Question 19

Wo wird die Trigonometrie am häufigsten eingesetzt?

Accepted Answer

In Architektur, Vermessung und Navigation

Answer

Nur in der Astronomie

Answer

Ausschließlich in der Navigation

Question 20

Wie lässt sich die Länge eines Kurvenabschnitts mithilfe der Ableitung trigonometrischer Funktionen bestimmen?

Accepted Answer

Das Integral der Ableitung der trigonometrischen Funktion über das Bogenlängenintervall

Answer

Die Steigung der Tangente an einen beliebigen Punkt auf der Kurve

Answer

Der Flächeninhalt unter dem Graphen der trigonometrischen Funktion

Answer

Die Ableitung der trigonometrischen Funktion hat keinen Bezug zur Bogenlänge

Question 21

Wie hilft der Einheitskreis bei der Berechnung von Sinus, Kosinus und Tangens?

Accepted Answer

Er ermöglicht die Darstellung von Winkeln als Bogenlängen und das Ablesen trigonometrischer Funktionen aus Koordinaten auf dem Kreis.

Answer

Er dient ausschließlich zur Berechnung des Sinus.

Answer

Er wird nur zur Darstellung von Winkeln verwendet.

Question 22

Du stehst auf einem Hügel und möchtest die Höhe eines Berges in der Ferne berechnen. Welche Schritte sind dafür nötig?

Accepted Answer

Entfernung zum Berg und Winkel zur Bergspitze messen, Höhe mit Tangens berechnen

Answer

Entfernung zum Berg und Höhe des Berges messen, Winkel mit Sinus berechnen

Answer

Winkel zur Bergspitze und Höhe des Berges messen, Entfernung mit Kosinus berechnen

Answer

Nur Winkel zur Bergspitze messen und Höhe aus Tabelle schätzen

Question 23

Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen? Erkläre, wie sich ihre Werte zueinander verhalten und wie sie gemeinsam zur Untersuchung von Schwingungen eingesetzt werden.

Accepted Answer

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit gleicher Periode, die gegeneinander verschoben sind.

Answer

Sinus und Kosinus sind voneinander unabhängige Funktionen.

Answer

Sinus und Kosinus sind nur in der Elektrotechnik nützlich.

Question 24

Wie lassen sich trigonometrische Funktionen einsetzen, um komplexe Zahlen zu berechnen?

Accepted Answer

Über die Euler-Formel

Answer

Durch Addition und Subtraktion trigonometrischer Funktionen

Answer

Trigonometrische Funktionen sind nur für reelle Zahlen anwendbar

Answer

Keine Antwort

Question 25

Wie hilft die Trigonometrie bei der Erstellung räumlicher Bilder in der medizinischen Bildgebung, wie z. B. bei CT- und MRT-Untersuchungen?

Accepted Answer

Mithilfe der Trigonometrie können aus zweidimensionalen Bildern räumliche Informationen gewonnen werden, um die Lage von Organen und anderen Strukturen im Körper zu bestimmen.

Answer

Die Trigonometrie ist wichtig für die Berechnung der Strahlendosis bei CT-Untersuchungen.

Answer

Die Trigonometrie spielt keine Rolle in der medizinischen Bildgebung.

Question 26

Berechne den Sinus des Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen a = 4 cm und c = 5 cm.

Accepted Answer

4/5

Answer

0,8

Answer

1,25

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über die trigonometrischen Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Sinus und Tangens sind gerade Funktionen.

Answer

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen.

Answer

Tangens und Kosinus sind ungerade Funktionen.

Question 28

Welche der folgenden Formeln gibt den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus an?

Accepted Answer

sin²α + cos²α = 1

Answer

sinα = cosα

Answer

sinα = tanα

Question 29

Welche der folgenden Gleichungen ist eine trigonometrische Gleichung?

Accepted Answer

3sin(x) = 1

Answer

x² + y² = 1

Answer

y = mx + b

Question 30

Erläutere die Begriffe Amplitude und Phasenwinkel der trigonometrischen Funktion f(x) = A * sin(Bx - C) + D und beschreibe, wie sie zur Analyse von Schwingungen und Wellen genutzt werden.

Accepted Answer

Die Amplitude bestimmt die Höhe der Schwingung, während der Phasenwinkel die horizontale Verschiebung angibt.

Answer

Der Phasenwinkel bestimmt die Höhe der Schwingung, während die Amplitude die horizontale Verschiebung angibt.

Answer

Amplitude und Phasenwinkel haben keinen Einfluss auf die Schwingung.

Answer

Die Amplitude ist immer größer als der Phasenwinkel.

Question 31

Was ist die Definition des Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Länge der gegenüberliegenden Kathete geteilt durch Länge der Hypotenuse

Answer

Länge der anliegenden Kathete geteilt durch Länge der Hypotenuse

Answer

Länge der Hypotenuse geteilt durch Länge der gegenüberliegenden Kathete

Answer

Länge der anliegenden Kathete geteilt durch Länge der gegenüberliegenden Kathete

Question 32

Welche trigonometrische Funktion gibt das Verhältnis von gegenüberliegender Kathete zu anliegender Kathete an?

Accepted Answer

Tangens

Answer

Sinus

Answer

Kosinus

Answer

Kotangens

Question 33

Welche Aussage über den Kosinus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kosinus kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Answer

Der Kosinus ist immer positiv.

Answer

Der Kosinus ist immer kleiner als 1.

Answer

Der Kosinus ist immer größer als 0.

Question 34

Was ist die Umkehrfunktion des Tangens?

Accepted Answer

Kotangens

Answer

Kosinus

Answer

Sinus

Answer

Sekans

Question 35

Ein Turm hat eine Höhe von 100 m. Aus einer Entfernung von 200 m wird die Spitze des Turms beobachtet. Welchen Winkel ergibt sich zwischen der Horizontalen und der Blickrichtung?

Accepted Answer

26,5 Grad

Answer

30 Grad

Answer

45 Grad

Answer

60 Grad

Question 36

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion des Sinus?

Accepted Answer

Arkussinus

Answer

Arkuskosinus

Answer

Arkustangens

Answer

Arkussekans

Question 37

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Kosinus eines Winkels 0,8. Wie lang ist die anliegende Kathete, wenn die Hypotenuse 15 cm lang ist?

Accepted Answer

12 cm

Answer

15 cm

Answer

18 cm

Answer

9 cm

Question 38

Welcher der folgenden Werte ist der Tangens des Winkels γ im gezeigten rechtwinkligen Dreieck, wenn die Gegenkathete 8 cm und die Ankathete 6 cm misst?

Accepted Answer

4/3

Answer

0,5

Answer

1

Answer

2

Question 39

Welche der folgenden Formeln beschreibt den Sinus eines Winkels?

Accepted Answer

Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse

Answer

Sinus = Ankathete / Hypotenuse

Answer

Sinus = Ankathete / Gegenkathete

Answer

Sinus = Hypotenuse / Gegenkathete

Question 40

Welche trigonometrische Funktion wird berechnet, indem die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Ankathete dividiert wird?

Accepted Answer

Tangens

Answer

Kosinus

Answer

Kotangens

Answer

Sekans

Question 41

Ein Schiff fährt von einem Hafen A zu einem Hafen B, der 80 km entfernt ist. Der Kurs des Schiffes bildet einen Winkel von 45° zur Küste. Wie weit ist das Schiff von der Küste (auf die nächste ganze Zahl gerundet)?

Accepted Answer

57 km

Answer

40 km

Answer

70 km

Answer

60 km

Question 42

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α gegenüber der Seite a. Welche der folgenden Gleichungen gilt?

Accepted Answer

sin α = a / c

Answer

cos α = b / c

Answer

cot α = b / a

Answer

tan α = c / a

Question 43

Welche Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer die längste?

Accepted Answer

Hypothenuse

Answer

Höhe

Answer

Gegenkathete

Answer

Ankathete

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist eine trigonometrische Funktion?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Potenz

Answer

Quadratwurzel

Answer

Logarithmus

Question 45

Welche Aussage zum Tangenswert tan(0°) ist richtig?

Accepted Answer

tan(0°) = 0

Answer

tan(0°) ist nicht definiert

Answer

tan(0°) = -1

Answer

tan(0°) = 1

Question 46

Berechne die Höhe h eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Grundseite g = 10 cm und einem Basiswinkel α = 30°.

Accepted Answer

5 cm

Answer

15 cm

Answer

20 cm

Answer

10 cm

Question 47

Welches rechtwinklige Dreieck hat bei gleichem Umfang den größten Flächeninhalt?

Accepted Answer

Das Quadrat

Answer

Das Dreieck mit der kürzesten Hypotenuse

Answer

Das Dreieck mit dem größten Winkel α

Question 48

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus?

Accepted Answer

sin²α + cos²α = 1

Answer

sinα = cosα

Answer

α = 90°

Answer

tanα = sinα / cosα

Question 49

Welche Formel beschreibt den Sinus eines beliebigen Winkels α?

Accepted Answer

sinα = Gegenkathete / Hypotenuse

Answer

sinα = Ankathete / Gegenkathete

Answer

sinα = Hypotenuse / Ankathete

Question 50

Welche Aussage über den Kosinus eines spitzen Winkels ist falsch?

Accepted Answer

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist größer als 1.

Answer

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist positiv.

Answer

Der Kosinus eines spitzen Winkels nimmt mit zunehmendem Winkelwert ab.

Question 51

Welche Aussage über die Sinusfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Sinusfunktion ist periodisch mit einer Periode von 2π.

Answer

Die Sinusfunktion ist eine lineare Funktion.

Answer

Die Sinusfunktion ist eine quadratische Funktion.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über die Sinusfunktion ist falsch?

Accepted Answer

Die Sinusfunktion ist eine gerade Funktion.

Answer

Die Sinusfunktion hat eine Periode von 2π.

Answer

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion.

Question 53

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Ankathete von 5 cm und eine Gegenkathete von 12 cm. Berechne den Sinus des Winkels gegenüber der Ankathete.

Accepted Answer

5/13

Answer

5/12

Answer

12/13

Answer

12/5

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über den Kosinus ist richtig?

Accepted Answer

Der Kosinus ist eine gerade Funktion.

Answer

Der Kosinus ist eine ungerade Funktion.

Answer

Der Kosinus hat eine Periode von π.

Answer

Der Kosinus hat einen Maximalwert von 0.

Question 55

Ein Kreis hat einen Radius von 10 cm. Berechne den Kosinus des Winkels, der von einem Punkt auf dem Kreisumfang zum Mittelpunkt des Kreises gebildet wird.

Accepted Answer

1

Answer

1/2

Answer

-1

Answer

0

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über die Tangensfunktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Tangensfunktion ist eine ungerade Funktion.

Answer

Die Tangensfunktion hat einen Maximalwert von 1.

Answer

Die Tangensfunktion hat eine Periode von 2π.

Answer

Die Tangensfunktion ist eine gerade Funktion.

Question 57

Ein Turm hat eine Höhe von 30 m. Von einem Punkt am Boden wird der Winkel zwischen dem Horizont und der Spitze des Turms mit 30° gemessen. Berechne die Entfernung zwischen dem Punkt und dem Fuß des Turms.

Accepted Answer

60 m

Answer

15 m

Answer

30 m

Answer

75 m

Question 58

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis mit dem Radius 5?

Accepted Answer

x^2 + y^2 = 25

Answer

y^2 - x^2 = 5

Answer

x^2 + y^2 = 10

Answer

x^2 - y^2 = 5

Question 59

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm. Berechne den Kosinus des Winkels C.

Accepted Answer

0,6

Answer

0,8

Answer

1

Answer

0,4

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über den Einheitskreis ist falsch?

Accepted Answer

Der Einheitskreis hat einen Radius von 2.

Answer

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1.

Answer

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit der Gleichung x^2 + y^2 = 1.

Answer

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung.

Question 61

Ein Flugzeug fliegt in einer Höhe von 10.000 m mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h. Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf eine Stadt am Boden zu?

Accepted Answer

arctan(10000/800) ≈ 0,87°

Answer

arctan(800/10000) ≈ 0,08°

Answer

0°

Answer

90°

Question 62

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c, wie lautet die Formel für den Sinus des Winkels α gegenüber der Kathete a?

Accepted Answer

sin(α) = a / c

Answer

sin(α) = c / a

Answer

sin(α) = a / b

Answer

sin(α) = b / c

Question 63

Ein Baum wirft einen Schatten von 10 Metern Länge. Der Winkel zwischen dem Sonnenstrahl und dem Boden beträgt 30°. Wie hoch ist der Baum?

Accepted Answer

5,77 Meter

Answer

17,32 Meter

Answer

3,33 Meter

Answer

10 Meter

Question 64

Welcher der folgenden Werte entspricht dem Cosinus von 60°?

Accepted Answer

0,5

Answer

√3 / 2

Answer

1