Differentialrechnung für Klasse 7: Lerne Ableitungen und Integrale

Question 1

Was versteht man in der Mathematik unter einer Ableitung?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an einen Graphen an einem bestimmten Punkt

Answer

Die Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Punkten

Answer

Den höchsten Wert einer Funktion

Answer

Den Abstand zwischen zwei Punkten auf einem Graphen

Question 2

Was ist die korrekte Definition der Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Der Grenzwert des Differenzquotienten, wenn x gegen die Stelle strebt

Answer

Die Steigung der Tangente an die Funktion an der Stelle x

Answer

Der Differenzenquotient bei x gleich 0

Answer

Das Verhältnis aus Funktionswert und x-Wert an der Stelle x

Question 3

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x² + 3x - 2.

Accepted Answer

2x + 3

Answer

x² + 3

Answer

2

Answer

6x - 2

Question 4

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

x³ + 4x - 5

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

x³ + 2x² - 5

Question 5

Was gibt die Ableitung einer Funktion an?

Accepted Answer

Die Änderungsrate der Funktion

Answer

Die Gesamtfläche unter dem Graphen der Funktion

Answer

Ob die Funktion immer steigt

Answer

Den Anstieg für konstante Funktionen

Question 6

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert und ist gleich 0?

Accepted Answer

lim (x->0) (sin(x) - x) / x³

Answer

lim (x->∞) (x³ - 3x + 1) / (x³ + 2x² - 1)

Answer

lim (x->2) (x² - 4) / (x - 2)

Answer

lim (x->∞) (e^x + 1) / (e^x - 1)

Question 7

Welche Ableitungsregel benötigst du, um die Ableitung der Funktion f(x) = (x³ - 2x) * (x² + 1) zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 8

Was beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x?

Accepted Answer

Den Anstieg der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x.

Answer

Den Anstieg der Sekante durch die Punkte (x, f(x)) und (x + h, f(x + h)) für einen beliebigen Wert von h.

Answer

Den Wert von f(x).

Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen x und x + h für einen beliebigen Wert von h.

Question 9

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 2x) * (x - 1) mit Hilfe der Produktregel.

Accepted Answer

f'(x) = (2x + 2) * (x - 1) + (x² + 2x) * 1

Answer

f'(x) = (x² + 2x) + (x - 1)

Answer

f'(x) = (x² + 2x) * (x - 1)

Question 10

Wie lautet die Ableitung der Differenz zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

f'(x) - g'(x)

Answer

f(x) - g(x)

Answer

f(x) + g(x)

Question 11

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Ableitung eines Bruchs f(x) durch g(x) mit der Quotientenregel?

Accepted Answer

(f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)²

Answer

f'(x) / g'(x)

Question 12

Wie lautet die Formel für die Quotientenregel zur Berechnung der Ableitung des Bruchs f(x) / g(x)?

Accepted Answer

(g(x) * f'(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)²

Answer

(f'(x) * g(x)) / (g'(x) * f(x))

Answer

f'(x) / g'(x)

Answer

Die Ableitung kann nicht berechnet werden

Question 13

Welche Aussagen zum Steigungsdreieck zur Berechnung der Ableitung einer Funktion f(x) sind richtig?

Accepted Answer

Die Höhe des Steigungsdreiecks entspricht der Änderung des Funktionswertes.

Accepted Answer

Die Grundseite des Steigungsdreiecks entspricht der Änderung des x-Wertes.

Accepted Answer

Die Steigung des Steigungsdreiecks entspricht der Ableitung von f(x) an einem bestimmten Punkt.

Answer

Die Fläche des Steigungsdreiecks entspricht dem Integral von f(x) über ein Intervall.

Question 14

Welche Aussage beschreibt den Hauptzweck einer Ableitung in der Mathematik?

Accepted Answer

Sie gibt die Steigung der Funktionskurve an einem beliebigen Punkt an.

Answer

Sie hilft, Nullstellen der Funktion zu finden.

Answer

Ableitungen haben keine praktische Bedeutung.

Question 15

Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x³ - 2x² + x + 1 untersuchen?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung ist negativ für x < 1 und positiv für x > 1. Die Funktion ist also konkav für x < 1 und konvex für x > 1.

Answer

Die zweite Ableitung ist immer positiv. Die Funktion ist also immer konvex.

Answer

Die zweite Ableitung ist immer negativ. Die Funktion ist also immer konkav.

Answer

Die zweite Ableitung ist konstant. Die Funktion hat also überall den gleichen Krümmungsradius.

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert die Ableitung von f(x) = x³?

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = 3x

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = 3

Question 17

Was ist das Integral der Funktion f(x) = 3x + 2?

Accepted Answer

3x² + 2x + C

Answer

3x² + 2

Answer

x² + 2x + C

Answer

x² + C

Question 18

Berechne das Integral ∫(2x² - 5x + 1) dx:

Accepted Answer

2x³/3 - 5x² + x + C

Answer

2x³/3 - 5x² + C

Answer

x³/3 - 5x² + x + C

Answer

-2x³/3 + 5x² + C

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x + 1?

Accepted Answer

(3/2)x² + x + C

Answer

(3/2)x² - x + C

Answer

3x² + x + C

Answer

3x² - x + C

Question 20

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h in einem Kreis mit einem Radius von 150 m. Welche Zentripetalkraft wirkt auf das Auto?

Accepted Answer

1200 N

Answer

900 N

Answer

1500 N

Answer

1800 N

Question 21

Wenn die zweite Ableitung f''(x) einer Funktion f(x) an der Stelle x positiv ist, wie verläuft der Graph von f(x) an dieser Stelle?

Accepted Answer

Nach oben konkav

Answer

Nach unten konkav

Answer

Mit einem Wendepunkt

Answer

Mit einem Extrempunkt

Question 22

Welche Funktion hat eine waagerechte Asymptote bei y = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = x³

Question 23

Wie berechnet man die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt einer Funktion f(x) mit Hilfe ihrer Ableitung f'(x)?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung f'(x) an diesem Punkt.

Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Quotienten aus Funktion und Ableitung, f(x) / f'(x).

Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich der Differenz aus Funktion und Ableitung, f(x) - f'(x).

Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Produkt aus Ableitung und Funktion, f'(x) * f(x).

Question 24

Wie kann die Differentialrechnung eingesetzt werden, um den Gewinn eines Unternehmens zu optimieren?

Accepted Answer

Ermittlung des Maximums der Gewinnfunktion durch Berechnung ihrer Ableitung

Answer

Berechnung der Nullstellen der Gewinnfunktion

Answer

Berechnung des Integrals der Gewinnfunktion

Question 25

Was ist der Nutzen der Differentialrechnung bei der Lösung von Optimierungsproblemen?

Accepted Answer

Ermöglicht die Ermittlung optimaler Lösungen.

Answer

Vereinfacht komplexe Berechnungen.

Answer

Ist nur für fortgeschrittene Mathematik geeignet.

Question 26

Wie unterscheiden sich die Definition der Ableitung und die Anwendung von Ableitungsregeln?

Accepted Answer

Die Definition liefert die theoretische Grundlage, Ableitungsregeln sind praktische Formeln.

Answer

Ableitungsregeln leiten sich von der Definition ab.

Answer

Beide Ansätze sind gleichwertig.

Answer

Die Definition gilt nur für einfache Funktionen, Ableitungsregeln auch für komplexe.

Question 27

Welcher der folgenden Integrale ergibt f(x) = x³ - 2x + 1?

Accepted Answer

∫ f(x) dx = x⁴/4 - x² + x + C

Answer

∫ f(x) dx = 3x² - 2 + C

Answer

∫ f(x) dx = x³ - 2 + C

Answer

∫ f(x) dx = 1 + C

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

F(x) = cos(x)

Answer

F(x) = -cos(x)

Answer

F(x) = sin(x)

Answer

F(x) = -sin(x)

Question 29

Welche der folgenden Aussagen ist für die Ableitung der Funktion f(x) = e^x richtig?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x*e^x

Answer

f'(x) = 1/e^x

Answer

f'(x) = 0

Question 30

Welche der folgenden Funktionen hat ein Maximum bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x² - 2x + 1

Answer

f(x) = x² + 2x + 1

Answer

f(x) = -x² + 2x + 1

Answer

f(x) = -x² - 2x + 1

Question 31

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion f(x) stimmt ?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion an.

Answer

Die Ableitung ist immer positiv.

Answer

Die Ableitung gibt die Fläche unter der Funktion an.

Answer

Die Ableitung ist immer eine Gerade.

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar ?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin x

Question 33

Welche Aussage über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion ergibt die Fläche unterhalb ihres Graphen.

Answer

Das Integral einer Funktion ist die Ableitung der Funktion.

Answer

Das Integral einer Funktion ergibt das Volumen des von ihr erzeugten Körpers.

Question 34

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = x³ + 4x² - 5x

Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² + 2x - 5

Question 35

Berechne das Integral von f(x) = eˣ über das Intervall [1, 2].

Accepted Answer

∫₁² eˣ dx = e² - e

Answer

∫₁² eˣ dx = 1

Answer

∫₁² eˣ dx = e

Answer

∫₁² eˣ dx = e - e²

Question 36

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) hat ein lokales Minimum bei x = 2.

Answer

f(x) hat weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Answer

f(x) hat einen Wendepunkt bei x = 2.

Answer

f(x) hat ein lokales Maximum bei x = 2.

Question 37

Welche Funktion passt am besten zur gegebenen Datenreihe: 1, 5, 25, 125, ...?

Accepted Answer

Exponentielle Funktion

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Polynomfunktion 3. Grades

Answer

Lineare Funktion

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) = e^x ?

Accepted Answer

F(x) = e^x + C

Answer

F(x) = log(e^x) + C

Answer

F(x) = 1/e^x + C

Answer

F(x) = x*e^x + C

Question 39

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird verwendet, um den Tangentenvektor an eine Kurve zu bestimmen?

Accepted Answer

Berechnung der Ableitung des Ortsvektors

Answer

Integration des Ortsvektors

Answer

Berechnung der zweiten Ableitung des Ortsvektors

Answer

Differentiation des Krümmungsradius

Question 40

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei (0, 0) ?

Accepted Answer

f(x) = x^4 - 2x^2

Answer

f(x) = x - 2

Answer

f(x) = x^2 - 2

Answer

f(x) = x^3 - 2x

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = x

Question 42

Die Funktion f(x) = |x| ist:

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0

Answer

unstetig und differenzierbar an der Stelle x = 0

Answer

stetig und differenzierbar überall

Answer

unstetig an der Stelle x = 0

Question 43

Das Integral von f(x) = e^x über das Intervall [0, 1] ist:

Accepted Answer

e - 1

Answer

e + 1

Answer

1 - e

Answer

e² - 1

Question 44

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 1.

Answer

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der Ableitungen.

Answer

Die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist der Exponent multipliziert mit der Potenz zur nächst niedrigeren Potenz.

Question 45

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = x³ + 2x

Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Question 46

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

F(x) = e^x + C

Answer

F(x) = ln(e^x)

Answer

F(x) = e^x / x

Answer

F(x) = x * e^x

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über Ableitungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 0.

Answer

Die Ableitung einer linearen Funktion ist immer 1.

Answer

Die Ableitung einer Betragsfunktion ist an allen Stellen differenzierbar.

Question 48

Welche Funktion hat ein globales Maximum bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x² - 2

Answer

f(x) = |x|

Question 49

Welche Ableitungsmethode sollte verwendet werden, um die Ableitung von f(x) = ln(x²) zu bestimmen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 50

Eine Kugel wächst mit einer konstanten Rate von 2 cm/s. Welcher Ausdruck gibt die Änderungsrate des Volumens der Kugel in cm³/s an?

Accepted Answer

(4/3)πr² * 2

Answer

3πr(2)

Answer

πr(2)²

Answer

(4/3)π³r² * 2

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = x³ - 2x² + 5x - 3?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x² - 2x + 5

Question 52

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x³ + 3x² + C

Answer

2x² + 3x

Answer

2x + C

Question 53

Welche der folgenden Ableitungsregeln gilt für die Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 54

Welche der folgenden Integrale ist das Ergebnis von ∫(x^2 - 1) dx?

Accepted Answer

x³/3 - x + C

Answer

1/2x² - x + C

Answer

x³ - 3x + C

Answer

x² - x

Question 55

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2?

Accepted Answer

F(x) = 2x + C

Answer

F(x) = C

Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = 2x - C

Question 56

Bestimme die Ableitung von f(x) = (x + 1)².

Accepted Answer

f'(x) = 2(x + 1)

Answer

f'(x) = x + 1

Answer

f'(x) = (x + 1)³

Answer

f'(x) = 2

Question 57

Die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = x² im Punkt (2, 4) beträgt:

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

8

Answer

1

Question 58

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x + 5 ist:

Accepted Answer

3

Answer

3x

Answer

3x + 5

Answer

5

Question 59

Welche der folgenden Funktionen hat die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = 2x²

Answer

f(x) = 2x

Question 60

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von v(t) = 2t + 1 m/s. Wie groß ist die zurückgelegte Strecke nach 3 Sekunden?

Accepted Answer

12 Meter

Answer

6 Meter

Answer

9 Meter

Answer

15 Meter

Question 61

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x zwischen x = 0 und x = 2 beträgt:

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

8

Answer

1

Question 62

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 3x

Answer

f(x) = x - 1

Answer

f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x²

Answer

f(x) = x² - 2x + 1

Question 63

Die Ableitung von f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 64

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x * e^x

Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = 1 / e^x