Grenzen verstehen: Interaktive Quizfragen zu Grenzwerten

Question 1

Berechne den Grenzwert von f(x) = x³ + 2x² - 1, wenn x gegen unendlich geht.

Accepted Answer

unendlich

Answer

-1

Answer

2

Question 2

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = |x - 3| für x gegen 3.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

3

Answer

6

Question 3

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Limes superior einer Funktion an einer Stelle existiert?

Accepted Answer

Die Funktion muss im betrachteten Intervall beschränkt sein.

Answer

Die Funktion muss an der betrachteten Stelle stetig sein.

Answer

Die Funktion muss an der betrachteten Stelle einen Hochpunkt haben.

Answer

Die Funktion muss im betrachteten Intervall streng monoton sein.

Question 4

Welche der aufgeführten Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

an = 1/n

Answer

an = n

Answer

an = (-1)^n

Answer

an = sin(n)

Question 5

Welche Anwendung von Grenzwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Alle aufgeführten Anwendungen.

Answer

Ermittlung der Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Punkt.

Answer

Berechnung des Flächeninhalts einer krummlinigen Fläche.

Answer

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

Question 6

Beweisen Sie mit Hilfe des Sandwich-Theorems, dass der Grenzwert von (x^2 - 3x + 2) für x gegen 2 gleich 0 ist.

Accepted Answer

Es gibt zwei Funktionen f(x) = x^2 - 4x + 3 und g(x) = x^2 - 2x + 1, sodass für x größer als 1 gilt: f(x) ≤ x^2 - 3x + 2 ≤ g(x) und der Grenzwert von f(x) und g(x) für x gegen 2 gleich 0 ist.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle 2 stetig, also ist der Grenzwert 0.

Answer

Die Funktion ist für alle x größer als 1 kleiner als 1, also ist der Grenzwert 0.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen ist richtig über die Cauchy-Folge?

Accepted Answer

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, für die es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodass für alle m, n > N gilt: |a_m - a_n| < ε.

Answer

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, die gegen einen Grenzwert konvergiert.

Answer

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, die beschränkt ist.

Answer

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, für die es eine natürliche Zahl N gibt, sodass für alle m, n > N gilt: |a_m - a_n| < ε.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über den Limes superior ist falsch?

Accepted Answer

Er ist immer gleich dem Grenzwert der Folge.

Answer

Er ist eine obere Grenze für die Folge.

Answer

Er kann unendlich sein.

Answer

Er kann für konvergente Folgen existieren.

Question 9

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

1 / n

Answer

sin(n)

Answer

n

Answer

e^n

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten das Verhalten der Funktion f(x) = x^2 - 1 für x gegen ∞?

Accepted Answer

Sie divergiert gegen ∞.

Answer

Sie divergiert gegen -∞.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie oszilliert.

Question 11

Welcher der folgenden Aussagen ist die Definition des Grenzwerts einer Folge?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, dem sich die Folgenglieder für n gegen unendlich nähern.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, den die Folgenglieder für n gegen unendlich annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, den die Folgenglieder für n gegen 0 annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist der Wert, den die Folgenglieder für n gegen negativ unendlich annehmen.

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist richtig, wenn die Folge {a_n} gegen a konvergiert?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein N > 0, sodass |a_n - a| < ε für alle n > N.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein N > 0, sodass |a_n - a| > ε für alle n > N.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein N > 0, sodass |a_n - a| = ε für alle n > N.

Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein N > 0, sodass |a_n - a| > 2ε für alle n > N.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Folge {a_n} = √n?

Accepted Answer

Die Folge ist monoton wachsend und konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Folge ist monoton wachsend und konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge ist monoton fallend und konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Folge ist monoton fallend und konvergiert gegen 0.

Question 14

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x->∞) e^x

Answer

lim (x->0) (sin x)/x

Answer

lim (x->-∞) 1/(x^2 + 1)

Answer

lim (x->1) (x^2 - 1)/(x - 1)

Question 15

Welcher Grenzwert existiert und ist gleich 1?

Accepted Answer

lim_(x->0) (sin(x)) / x

Answer

lim_(x->0) (cos(x)) / x

Answer

lim_(x->0) (tan(x)) / x

Answer

lim_(x->0) (cot(x)) / x

Question 16

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x->0) ln(x)

Answer

lim_(x->1) (x^2 - 1) / (x - 1)

Answer

lim_(x->0) (e^x - 1) / x

Answer

lim_(x->∞) (sin(x) / x)

Question 17

Welcher Grenzwert ist gleich 1/2?

Accepted Answer

lim_(x->0) (1 - cos(x)) / x^2

Answer

lim_(x->0) (1 - sin(x)) / x^2

Answer

lim_(x->0) (1 + cos(x)) / x^2

Answer

lim_(x->0) (1 + sin(x)) / x^2

Question 18

Wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich L ist und f(a) definiert ist und gleich L ist, dann gilt:

Accepted Answer

f ist an der Stelle a stetig

Answer

f ist an der Stelle a differenzierbar

Answer

f hat an der Stelle a ein lokales Maximum

Answer

f hat an der Stelle a einen Wendepunkt

Question 19

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)

Answer

f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = x / (x - 1)

Question 20

Ermittle den Grenzwert der Funktion, die durch die unendliche Reihe definiert ist: f(x) = 1 + (x/2) + (x²/4) + (x³/8) + ...

Accepted Answer

1/(1-x)

Answer

0

Answer

2

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwerts am präzisesten?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist die Zahl L, der sich die Funktionswerte f(x) beliebig annähern, wenn x beliebig nahe an a herankommt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist die größte Zahl, der sich die Funktionswerte f(x) für x nahe a annähern.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist der Wert, den die Funktion für x = a annimmt.

Question 22

Welcher Satz kann verwendet werden, um den Grenzwert einer Summe von Funktionen zu bestimmen?

Accepted Answer

Satz von der Summe der Grenzwerte

Answer

Satz vom Quotienten von Grenzwerten

Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Satz vom Produkt von Grenzwerten

Question 23

Bestimme den Grenzwert von ( f(x) = x * e^(-x) ) für ( x 	o infty ).

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

unendlich

Question 24

Welchen Grenzwert besitzt ( f(x) = ln(1 + x) ) für ( x 	o 0 )?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

unendlich

Question 25

Bestimme mit Hilfe der Epsilon-Delta-Definition den Grenzwert von ( f(x) = x^2 ) für ( x 	o 2 ).

Accepted Answer

Für jedes ( \epsilon > 0 ) existiert ein ( \delta > 0 ) sodass ( |x - 2| < \delta ) impliziert ( |x^2 - 4| < \epsilon ).

Answer

Für jedes ( \epsilon > 0 ) existiert ein ( \delta > 0 ) sodass ( |x - 2| < \epsilon ) impliziert ( |x^2 - 2| < \delta ).

Question 26

Welcher der folgenden Sätze ist falsch?

Accepted Answer

Jeder konvergente Folge besitzt einen Grenzwert.

Answer

Jede Cauchy-Folge ist konvergent.

Answer

Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.

Answer

Jede monoton wachsende und beschränkte Folge ist konvergent.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε für alle x mit 0 < |x - a| < δ.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, den f(x) annimmt, wenn x gleich a ist.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert von f(a).

Question 28

Welche der folgenden Funktionen hat keinen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

f(x) = 1, wenn x rational ist, und 0, wenn x irrational ist.

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 29

Nennen Sie eine Anwendung von Grenzwerten in der Physik.

Accepted Answer

Bestimmung der Geschwindigkeit eines Objekts als Grenzwert des zurückgelegten Weges pro Zeiteinheit.

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Answer

Berechnung des Volumens eines Zylinders

Question 30

Bestimmen Sie den Grenzwert von (sin(x) - x) / x^3 für x gegen 0.

Accepted Answer

-1/6

Answer

1/6

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-1/3

Question 31

Welche der folgenden Ungleichungen impliziert, dass lim_(x->a) f(x) = L?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε für alle x mit |x - a| < δ.

Answer

Für jedes M < 0 existiert ein x_0 < 0, sodass f(x) < M für alle x < x_0.

Answer

Für jedes M > 0 existiert ein x_0 > 0, sodass f(x) > M für alle x > x_0.

Question 32

Welche Aussage über Grenzwerte ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x sich einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann ein endlicher Wert sein.

Question 33

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 4)/(x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Question 34

Welche der folgenden Funktionen besitzt einen Grenzwert für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Question 35

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich ihrem Funktionswert ist.

Answer

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn sie an dieser Stelle differenzierbar ist.

Question 36

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n² + 1)/(n² - 1) für n → ∞.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 NICHT stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 38

Der Grenzwert der Funktion f(x) = (x^3 - 8)/(x - 2) für x → 2 lässt sich mit Hilfe der Regel von l'Hospital berechnen. Welchen Wert ergibt sich?

Accepted Answer

12

Answer

Unendlich

Answer

6

Answer

0

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über die Anwendung von Grenzwerten ist RICHTIG?

Accepted Answer

Grenzwerte können zur Berechnung der Steigung einer Tangente an einer Kurve verwendet werden.

Answer

Grenzwerte können zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwendet werden.

Answer

Grenzwerte können zur Berechnung des Volumens eines Körpers verwendet werden.

Question 40

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (e^x - 1)/x für x → 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 41

Welche Aussage über die Konvergenz einer Folge ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eine Folge konvergiert, wenn sie sich einem bestimmten Wert nähert, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Eine Folge konvergiert, wenn sie immer größer wird.

Answer

Eine Folge konvergiert, wenn sie immer kleiner wird.

Question 42

Welche Aussage über Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn die unabhängige Variable gegen einen bestimmten Wert strebt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle, an die die unabhängige Variable strebt.

Question 43

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 2, wenn x gegen 1 strebt?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Question 44

Was ist der Grenzwert von (x^2 - 1) / (x - 1), wenn x gegen 1 strebt?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 45

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Answer

Eine Funktion ist immer stetig.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)

Question 47

Was ist der Grenzwert von sin(x) / x, wenn x gegen 0 strebt?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 48

Was ist der Grenzwert von e^x, wenn x gegen Unendlich strebt?

Accepted Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

-Unendlich

Answer

1

Question 49

Wie lautet die Regel von L'Hospital?

Accepted Answer

Wenn der Grenzwert einer Funktion von der Form 0/0 oder ∞/∞ ist, kann man den Grenzwert berechnen, indem man den Zähler und den Nenner der Funktion ableitet.

Answer

Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert einer Funktion immer gleich dem Funktionswert an der Stelle, an die die unabhängige Variable strebt, ist.

Question 50

Was ist der Grenzwert von (x^2 - 4) / (x - 2), wenn x gegen 2 strebt, unter Verwendung der Regel von L'Hospital?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Question 51

Welche Anwendung hat das Konzept der Grenzwerte in der Mathematik?

Accepted Answer

Grenzwerte sind grundlegend für das Verständnis von Ableitungen, Integralen und unendlichen Reihen.

Answer

Grenzwerte werden nur in der Analysis verwendet.

Answer

Grenzwerte sind nur für theoretische Anwendungen relevant.