Folgen und Reihen: Online-Quizze für Klasse 13 Gymnasium

Question 1

Unter welcher Bedingung konvergiert eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

|q| < 1

Answer

|q| > 1

Answer

q = 1

Answer

q = -1

Question 2

Untersuche, ob die Folge (a_n = n/(n+1)) konvergiert. Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen 1.

Answer

Die Folge divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Folge oszilliert.

Answer

Die Folge ist unbeschränkt.

Question 3

Untersuche die Konvergenz der Reihe

$$sum_{n=1}^infty (-1)^n cdot rac{1}{n^2}$$

mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folgenglieder alternierend sind und gegen null streben.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Grenzwerte der Folgenglieder nicht existieren.

Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folgenglieder beschränkt sind.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folgenglieder nicht monoton sind.

Question 4

Wie werden Reihen in der Fourier-Analyse eingesetzt?

Accepted Answer

Periodische Funktionen als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen

Answer

Die Konvergenz von Folgen beweisen

Answer

Den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt prüfen

Answer

Reihen haben keine Bedeutung in der Fourier-Analyse

Question 5

Nenne drei praktische Anwendungen von Reihen in den Naturwissenschaften oder der Technik und erläutere kurz deren Einsatz.

Accepted Answer

Modellierung physikalischer Phänomene (z. B. Schwingungen, Wärmeleitung)

Accepted Answer

Berechnung von Grenzwerten (z. B. bei unendlichen Summen oder Integralen)

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen (z. B. mit Hilfe von Potenzreihen)

Question 6

Wie kann man zweifelsfrei feststellen, ob eine Reihe absolut konvergent ist?

Accepted Answer

Überprüfen, ob die Reihe konvergiert und ob die Reihe der Betragswerte ihrer Terme ebenfalls konvergiert.

Answer

Überprüfen, ob die Reihe divergiert.

Answer

Überprüfen, ob die Reihe alternierend ist.

Answer

Überprüfen, ob die Reihe einen Grenzwert ungleich Null hat.

Question 7

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe ∑_n=1^∞ (1/n^2 + 1).

Accepted Answer

konvergent

Answer

divergent

Answer

kann nicht bestimmt werden

Question 8

Berechnen Sie die Summe der Reihe ∑_n=1^∞ (2/3)^n.

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

9

Answer

die Reihe divergiert

Question 9

Beweisen Sie: Konvergiert eine Reihe $sum_{n=1}^infty a_n$ gegen einen Grenzwert $s$, so konvergiert auch ihre Grenzwertfolge $(s_n)$ gegen $s$.

Accepted Answer

Für jedes $varepsilon > 0$ gibt es ein $N in mathbb{N}$ mit $|s_n - s| < varepsilon$ für alle $n geq N$.

Answer

Für jedes $varepsilon > 0$ gibt es ein $N in mathbb{N}$ mit $|a_n - s| < varepsilon$ für alle $n geq N$.

Answer

Die Grenzwertfolge ist nicht unbedingt konvergent.

Answer

Der Beweis ist nicht möglich.

Question 10

Beweisen Sie das Vergleichskriterium für Reihen mit positiven Gliedern und wenden Sie es an, um zu bestimmen, ob die Reihe $sum_{n=1}^infty rac{1}{n^2 + 1}$ konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 11

Erläutern Sie das Prinzip der numerischen Integration mit Reihen und wenden Sie es an, um das Integral ∫[0,1] sin(x) dx mit den ersten fünf Gliedern der Reihe zu berechnen.

Accepted Answer

Taylor-Reihe

Answer

Trapezregel

Answer

Methode der unbestimmten Koeffizienten

Answer

Simpsonregel

Question 12

Bestimmen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums, für welche Werte von $p$ die Reihe $$sum_{n=1}^infty rac{cos(n)}{n^p}$$ konvergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert für $0 < p < 1$ und divergiert für $p leq 0$ und $p geq 1$.

Answer

Für alle $p > 0$ konvergiert die Reihe.

Answer

Für alle $p < 1$ konvergiert die Reihe.

Question 13

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe mit komplexen Summanden:

$$sum_{n=1}^infty n (z - 2)^n$$

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn |z - 2| < 1

Answer

Die Reihe konvergiert für alle z in C

Answer

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn |z - 2| > 2

Question 14

Wie hängt die punktuelle Stetigkeit einer Funktionenfolge **(f_n)** mit der Konvergenz ihrer Grenzfunktion **f** zusammen?

Accepted Answer

Eine Funktionenfolge ist punktuell stetig in **x_0**, wenn **f** dort konvergiert.

Answer

Eine Funktionenfolge konvergiert, wenn **f** punktuell stetig ist.

Answer

Punktuelle Stetigkeit und Konvergenz sind unabhängig voneinander.

Question 15

Sei a_n = (n+1) / (n+2). Ist die Folge konvergent? Wenn ja, bestimme ihren Grenzwert.

Accepted Answer

Ja, Grenzwert 1

Answer

Ja, Grenzwert 0

Answer

Nein, divergent

Answer

Ja, Grenzwert 2

Question 16

Welche Funktion besitzt einen singulären Punkt bei x = 0?

Accepted Answer

1/x

Answer

x^2

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 17

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

∑_n=0^∞ (x - 2)ⁿ/n!

Answer

∑_n=1^∞ e^nx

Answer

∑_n=1^∞ 1/n²

Answer

∑_n=0^∞ sin(nx)

Question 18

Welcher Test kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe Summe von 1 bis unendlich von (n+1)/n^3 zu überprüfen?

Accepted Answer

Limitvergleichstest

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Integraltest

Answer

Wurzeltest

Question 19

Welche Aussage über die Cauchy-Folge ist korrekt?

Accepted Answer

Jede Cauchy-Folge in R ist konvergent.

Answer

Eine konvergente Folge in R ist nicht unbedingt eine Cauchy-Folge.

Answer

Eine Cauchy-Folge in R muss nicht beschränkt sein.

Answer

Eine Cauchy-Folge in R hat nicht unbedingt einen eindeutigen Grenzwert.

Question 20

Welches Kriterium kann verwendet werden, um festzustellen, ob eine Reihe konditional konvergiert?

Accepted Answer

Kriterium vom alternierenden Vorzeichen

Answer

Wurzeltest

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Summe von 1 bis unendlich von 1/n

Answer

Summe von 1 bis unendlich von n^2

Answer

Summe von 1 bis unendlich von (-1)^n

Answer

Summe von 1 bis unendlich von 1/n^2

Question 22

Was kennzeichnet eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Jeder Term ist das Produkt des vorhergehenden Terms und einer festen Zahl.

Answer

Die Folge der Quotienten aufeinanderfolgender Terme konvergiert gegen 0.

Answer

Die Summe der ersten n Terme ist eine lineare Funktion von n.

Question 23

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

(a_n = 1 / n^2)

Answer

(a_n = n / (n+1))

Answer

(a_n = (-1)^n)

Answer

(a_n = √n)

Question 24

Welche Reihe ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

(∑(n=1 bis unendlich) 1 / n)

Answer

(∑(n=1 bis unendlich) n / (n+1))

Answer

(∑(n=1 bis unendlich) 1 / n^2)

Answer

(∑(n=1 bis unendlich) 1 / 2^n)

Question 25

Was beschreibt eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Jeder Term wechselt zwischen positiv und negativ.

Answer

Die Summe der ersten n Terme ist eine quadratische Funktion von n.

Answer

Die Folge der Quotienten aufeinanderfolgender Terme nimmt ab.

Question 26

Berechnen Sie den Grenzwert von (lim(n→unendlich) (1 + 1/n)^n).

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 27

Untersuche die Konvergenz der Reihe (sum_(n=1)^∞ (-1)^n / n^2).

Accepted Answer

Konvergent nach dem Leibniz-Kriterium

Answer

Divergent nach dem Quotientenkriterium

Answer

Konvergent nach dem Majorantenkriterium

Answer

Divergent nach dem Wurzelfunktionskriterium

Question 28

Welche Aussage über eine Cauchy-Folge (a_n) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen einen eindeutigen Grenzwert.

Answer

Sie ist eine geometrische Folge.

Answer

Sie ist beschränkt.

Answer

Sie ist monoton.

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

(sum_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) * n / (2n + 1))

Answer

(sum_(n=1)^∞ n^2 / (n + 1))

Answer

(sum_(n=1)^∞ 2^n / n!)

Answer

(sum_(n=1)^∞ 1 / (n^2 - 1))

Question 30

Untersuche die Konvergenz der Reihe (sum_(n=1)^∞ e^n / n^e).

Accepted Answer

Divergent nach dem Quotientenkriterium

Answer

Konvergent nach dem Vergleichskriterium

Answer

Divergent nach dem Leibniz-Kriterium

Answer

Konvergent nach dem Majorantenkriterium

Question 31

Für welche Werte von x konvergiert die Potenzreihe (sum_(n=0)^∞ x^n)?

Accepted Answer

x ∈ [-1, 1]

Answer

x ∈ [0, 1]

Answer

x ∈ (0, 1]

Answer

x ∈ ℝ

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über die Folge (a_n) = (n² - 1) / (n² + 1) ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert gegen ∞.

Answer

Sie divergiert gegen 0.

Answer

Sie ist oszillierend.

Question 33

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

Summe von (1/n²) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (eⁿ) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (1/n) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (sin(n)) von n = 1 bis ∞

Question 34

Welcher Grenzwert ist gleich dem Wert der Reihe Summe von (1/n²) von n = 1 bis ∞?

Accepted Answer

π<sup>2</sup>/6

Answer

e

Answer

∞

Answer

0

Question 35

Nenne eine Anwendung von Reihen in der Physik.

Accepted Answer

Berechnung der Schwingungsfrequenz einer Saite

Answer

Berechnung der Ableitung einer Funktion

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Answer

Berechnung der Fläche unter einer Kurve

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Folge (a_n) = (1 + 1/n)ⁿ ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen e.

Answer

Sie divergiert gegen 0.

Answer

Sie divergiert gegen ∞.

Question 37

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Summe von (2ⁿ) von n = 0 bis ∞

Answer

Summe von (eⁿ) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (1/n²) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (sin(n)) von n = 1 bis ∞

Question 38

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Summe von ((-1)ⁿ / n) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (eⁿ) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (sin(n)) von n = 1 bis ∞

Answer

Summe von (1/n²) von n = 1 bis ∞

Question 39

Welches Reihenkriterium kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob die Reihe Summe von (1/n^p) von n = 1 bis ∞ konvergiert, wobei p eine positive reelle Zahl ist?

Accepted Answer

p-Reihe-Test

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 40

Welche der folgenden Folgen ist eine Cauchy-Folge?

Accepted Answer

(a_n) = (1/n) von n = 1 bis ∞

Answer

(a_n) = ((-1)ⁿ) von n = 1 bis ∞

Answer

(a_n) = (sin(n)) von n = 1 bis ∞

Answer

(a_n) = (n) von n = 1 bis ∞

Question 41

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = 1 + 1/n

Question 42

Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... konvergiert gegen welchen Wert?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

∞

Answer

-1

Question 43

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + ...

Question 44

Der Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1)/(n^2 - 1) für n gegen unendlich ist:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Answer

0

Question 45

Welche Aussage über die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist divergent.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie konvergiert gegen ∞.

Answer

Sie ist konvergent.

Question 46

Die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 ist:

Accepted Answer

∑ (x^n)/n!

Answer

∑ n*x^n

Answer

∑ (x^n)/n

Answer

∑ (x^n)

Question 47

Welches Konvergenzkriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑ 1/n^2 zu untersuchen?

Accepted Answer

Integraltest

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 48

Welche Aussage über die Reihe ∑ (-1)^n/n ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist bedingt konvergent.

Answer

Sie ist absolut konvergent.

Answer

Sie ist divergent.

Answer

Sie ist nicht konvergent.

Question 49

Die Potenzreihe ∑ (x^n)/n! konvergiert für welchen Bereich von x?

Accepted Answer

alle x ∈ ℝ

Answer

x ∈ (-1, 1)

Answer

x ∈ (-∞, 0]

Answer

x ∈ [-1, 1]

Question 50

Welche der folgenden Reihen kann mit dem Quotientenkriterium untersucht werden?

Accepted Answer

∑ n/(2^n)

Answer

∑ (-1)^n/n

Answer

∑ 1/n

Answer

∑ 1/n^2

Question 51

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/(n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Question 52

Welches der folgenden Verfahren kann NICHT verwendet werden, um den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Faktorisieren der Terme der Reihe

Answer

Vergleich mit einer bekannten konvergenten Reihe

Answer

Ersetzen durch eine äquivalente Reihe

Answer

Partielle Summierung

Question 53

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = n!

Answer

a_n = n^2 + 1

Answer

a_n = sin(n)

Question 54

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Reihe summierbar ist?

Accepted Answer

Die Folge der Partialsummen konvergiert.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Answer

Die Folge der Terme der Reihe konvergiert.

Question 55

Welche der folgenden Reihen konvergiert absolut?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ e^(-n)

Question 56

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um den Grenzwert einer Folge zu bestimmen?

Accepted Answer

Sandwich-Lemma

Answer

Partielle Integration

Answer

Kettenregel

Answer

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Question 57

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

a_n = sin(n)/n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = 1/n!

Question 58

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = n

Question 59

Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert gegen welchen Wert?

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1/2

Answer

1

Question 60

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Question 61

Die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ist:

Accepted Answer

divergent

Answer

konvergent gegen ∞

Answer

konvergent gegen 2

Answer

konvergent gegen 1

Question 62

Welche der folgenden Reihen ist absolut konvergent?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ...

Question 63

Die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um x = 0 ist:

Accepted Answer

1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...

Answer

1 + x/2! + x^2/3! + x^3/4! + ...

Answer

1 + x + x^2 + x^3 + ...

Question 64

Die Maclaurin-Reihe der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Answer

1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...

Answer

x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...