Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Online-Quizze für Klasse 13

Question 1

Wie werden Transformationsmatrizen in der Computergrafik eingesetzt?

Accepted Answer

Zur Bewegung und Verformung von 3D-Objekten

Answer

Zur Erstellung realistischer Beleuchtungseffekte

Answer

Zur Analyse großer Datensätze

Answer

Zur Optimierung von Netzwerkverbindungen

Question 2

Definieren Sie **lineare Unabhängigkeit** und **Erzeugendensystem** von Vektoren. Beschreiben Sie anschließend, wie diese Konzepte bei der Konstruktion von Basen in Vektorräumen angewandt werden.

Accepted Answer

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht alle Vielfachen voneinander sind.

Accepted Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum erzeugen können.

Accepted Answer

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, das den Vektorraum eindeutig aufspannt.

Question 3

Beschreibe das Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthogonalisierung von Vektoren. Erläutere seine Bedeutung für die Konstruktion orthonormaler Basen in der numerischen linearen Algebra.

Accepted Answer

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist ein schrittweises Verfahren, das eine Menge von Vektoren in eine Reihe orthogonaler Vektoren umwandelt.

Accepted Answer

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist nur auf linear unabhängige Vektoren anwendbar.

Accepted Answer

Orthonormale Basen sind Sätze von Vektoren, die paarweise orthogonal sind und die Länge 1 haben.

Answer

Das Gram-Schmidt-Verfahren wird häufig zur Lösung schlecht konditionierter linearer Gleichungssysteme eingesetzt.

Question 4

Nennen Sie die drei wichtigsten Anwendungsbereiche der linearen Algebra in der Kryptographie.

Accepted Answer

Verschlüsselung, Entschlüsselung, Signierung

Answer

Verschlüsselung, Komprimierung, Entschlüsselung

Answer

Signierung, Komprimierung, Entschlüsselung

Answer

Verschlüsselung, Signierung, Komprimierung

Question 5

Welche Aussage über den Vektorraum der reellen Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist unendlichdimensional.

Answer

Er ist endlichdimensional.

Question 6

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade in der Ebene?

Accepted Answer

$ax + by = c$

Answer

$ax^2 + by^2 = c$

Question 7

Welche Bedingung ist für die Parallelität zweier Geraden in der Ebene notwendig und hinreichend?

Accepted Answer

Ihre Richtungsvektoren sind linear abhängig.

Answer

Ihre Normalenvektoren sind linear unabhängig.

Question 8

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene $x + y - z = 0$?

Accepted Answer

$(1, 1, 1)$

Answer

$(1, -1, 1)$

Question 9

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Question 10

Beschreibt die geometrische Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren bei der Untersuchung linearer Abbildungen.

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalierungsfaktoren, die Eigenvektoren auf die Koordinatenachsen projizieren. Eigenvektoren geben die Richtungen dieser Projektionen an.

Answer

Eigenwerte sind Determinanten von Matrizen, und Eigenvektoren sind ihre Inversen.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren sind nur für quadratische Matrizen definiert.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren haben keine geometrische Bedeutung.

Question 11

Was ist das Konzept der kleinsten Quadrate und wie wird es verwendet, um Daten an lineare Modelle anzupassen und Probleme der Regressionsanalyse zu lösen?

Accepted Answer

Es minimiert die Summe der quadrierten Abstände zwischen den Datenpunkten und der Regressionslinie.

Answer

Es maximiert die Summe der quadrierten Abstände zwischen den Datenpunkten und der Regressionslinie.

Answer

Es verwendet nur Datenpunkte, die auf der Regressionslinie liegen.

Answer

Es kann nur zur Anpassung von Daten an lineare Modelle verwendet werden.

Question 12

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Die Inverse einer linearen Abbildung ist immer eine lineare Abbildung.

Answer

Lineare Abbildungen sind Funktionen, die Vektoren auf Vektoren abbilden.

Answer

Die Summe zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Question 13

Welcher der folgenden Vektoren ist linear unabhängig von den Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6)?

Accepted Answer

(5, 0, -1)

Answer

(3, 6, 9)

Answer

(8, 10, 12)

Answer

(2, 2, 2)

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren mit zwei Verknüpfungen, der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum.

Answer

Ein Vektorraum ist ein dreidimensionaler Raum mit einem Ursprungspunkt.

Question 15

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der Ebene mit Steigung m und y-Achsenabschnitt b?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

xy = c

Answer

x + y = z

Answer

x² + y² = r²

Question 16

Welches der folgenden Skalarprodukte ist positiv semidefinit?

Accepted Answer

x₁x₂ + y₁y₂

Answer

x₁x₂ - y₁y₂

Answer

-x₁x₂ - y₁y₂

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur, die aus Vektoren und bestimmten Verknüpfungen besteht, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.

Answer

Ein Vektorraum ist ein geometrischer Raum mit einer Dimension.

Question 18

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 19

Welches der folgenden Verfahren kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Polynomdivision

Answer

Quadratische Formel

Answer

Integration

Question 20

Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es in einem dreidimensionalen Vektorraum?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 21

Welches der folgenden Produkte ist ein Skalar?

Accepted Answer

5 * 7

Answer

sin(x)

Answer

a + b

Answer

2 * x

Question 22

Welche Aussage über den Vektorraum R³ ist korrekt?

Accepted Answer

R³ ist ein dreidimensionaler Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.

Answer

R³ ist ein vierdimensionaler Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen.

Answer

R³ ist ein zweidimensionaler Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen.

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 3 dar?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

y = 3x + 2

Answer

y = x + 3

Answer

x = 2y + 3

Question 24

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind charakteristische Zahlen einer Matrix, die die Richtung und den Faktor der linearen Transformation angeben.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Question 26

Welche der folgenden Transformationen ist eine Drehung um einen Winkel α um den Ursprung im Koordinatensystem?

Accepted Answer

([cos(α) -sin(α)], [sin(α) cos(α)])

Answer

([0 1], [1 0])

Answer

([2 0], [0 2])

Answer

([1 0], [0 1])

Question 27

Was bewirkt die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung?

Accepted Answer

Sie erzeugt aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren eine Menge orthonormaler Vektoren, die ein orthonormales Koordinatensystem bilden.

Answer

Sie erzeugt aus einer Menge orthogonaler Vektoren eine Menge orthonormaler Vektoren.

Answer

Sie erzeugt aus einer Menge orthonormaler Vektoren eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Question 28

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}.

Accepted Answer

-2

Answer

8

Answer

2

Answer

4

Question 29

Berechnen Sie die Spur der Matrix A = egin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 end{pmatrix}.

Accepted Answer

7

Answer

10

Answer

14

Answer

4

Question 30

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten und gibt den Grad der linearen Abhängigkeit der Matrix an.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der nicht-verschwindenden Einträge.

Question 31

Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = egin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix}.

Accepted Answer

$rac{1}{3} egin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$rac{1}{3} egin{pmatrix} -1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

Question 32

Welche der folgenden Geraden ist parallel zur y-Achse?

Accepted Answer

x = 3

Answer

y = -x + 3

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = 0

Question 33

Welche der folgenden Ebenen ist senkrecht zur z-Achse?

Accepted Answer

x + y = 0

Answer

z = 2

Answer

x + y + z = 0

Answer

x - y + z = 1

Question 34

Welche der folgenden Determinanten ist gleich 0?

Accepted Answer

det([[1, 2], [1, 2]])

Answer

det([[2, 1], [-1, 2]])

Answer

det([[1, 0], [0, 1]])

Answer

det([[3, 4], [5, 6]])

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Answer

Eigenwerte können nur reelle Zahlen sein.

Question 36

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert einen Kegelschnitt?

Accepted Answer

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0

Answer

x = y

Answer

x + y = 5

Question 37

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[2, 3], [4, 6]]

Question 38

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der Ebene?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

z = x² + y²

Answer

x + y + z = 5

Answer

x² + y² = 1

Question 39

Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6). Welcher Vektor stellt die Richtung der Geraden AB dar?

Accepted Answer

[3, 3, 3]

Answer

[1, 2, 3]

Answer

[5, 7, 9]

Answer

[4, 5, 6]

Question 40

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum?

Accepted Answer

2x + 3y - z = 5

Answer

x = 2t + 1

Answer

y = 3x² + 1

Question 41

Was ist der Normalenvektor der Ebene 2x + 3y - z = 5?

Accepted Answer

[2, 3, -1]

Answer

[2, 3, 1]

Answer

[5, -1, 3]

Answer

[1, 2, 3]

Question 42

Zwei Geraden im Raum sind parallel, wenn...

Accepted Answer

ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Answer

sie sich schneiden.

Answer

ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.

Answer

sie denselben Punkt enthalten.

Question 43

Zwei Ebenen im Raum sind orthogonal, wenn...

Accepted Answer

ihre Normalenvektoren orthogonal sind.

Answer

ihre Normalenvektoren parallel sind.

Answer

sie sich schneiden.

Answer

sie denselben Punkt enthalten.

Question 44

Der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen ist...

Accepted Answer

die Länge des Vektors, der von einem Punkt der einen Ebene zum anderen projiziert wird.

Answer

die Länge des Normalenvektors.

Answer

der Betrag der Differenz der konstanten Terme in den Ebenengleichungen.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum hat einen Nullvektor.

Answer

Jeder Vektorraum ist ein Unterraum des R³.

Answer

Jeder Vektorraum hat unendlich viele Elemente.

Answer

Jeder Vektorraum ist endlichdimensional.

Question 46

Was ist die Dimension des Vektorraums R⁴?

Accepted Answer

4

Answer

unendlich

Answer

3

Answer

2

Question 47

Ein linear unabhängiges System von Vektoren...

Accepted Answer

spannt einen Vektorraum auf.

Answer

ist immer orthogonal.

Answer

ist immer ein Orthonormalsystem.

Answer

hat immer die gleiche Anzahl von Vektoren wie die Dimension des Vektorraums.