Reihen in der Mathematik: Konvergenz, Taylorreihen und Anwendungen

Question 1

Welche Ordnung hat die Taylorreihe für f(x) = ln(1 + x) um den Entwicklungspunkt x = 0?

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

nicht bestimmbar

Question 2

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht in eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x = 0 entwickeln?

Accepted Answer

1/x

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 3

Was ist die allgemeine Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Reihe?

Accepted Answer

an​=a1​+n⋅d

Answer

an​=a1​⋅q^(n-1)

Answer

an​=a1​+q^(n-1)

Answer

an​=a1​⋅n

Question 4

Welche Aussage über die Reihe ( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} ) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent, da sie eine p-Reihe mit ( p > 1 ) ist.

Answer

Die Reihe ist divergent, da sie eine harmonische Reihe ist.

Answer

Die Reihe ist konvergent, da sie eine alternierende Reihe ist.

Answer

Die Reihe ist divergent, da sie eine geometrische Reihe ist.

Question 5

Welche Formel wird verwendet, um die Taylorreihe von ( f(x) ) um den Punkt ( x = a ) zu berechnen?

Accepted Answer

( f(a) + f'(a) (x - a) + f''(a) (x - a)^2 /2! + \dots )

Answer

( f(a) + f'(a) \ln(x - a) + f''(a) (x - a)^2 /2! + \dots )

Answer

( f(a) + f'(a) (x + a) + f''(a) (x + a)^2 /2! + \dots )

Answer

( f(a) + f'(a) (x - a)/2 + f''(a) (x - a)^3 /3! + \dots )

Question 6

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{n}{2n+1} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} )

Question 7

Welche Aussage über die Reihe ( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} ) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe ist divergent, da sie eine harmonische Reihe ist.

Answer

Die Reihe ist konvergent, da sie eine p-Reihe mit ( p = 1 ) ist.

Answer

Die Reihe ist konvergent, da sie eine alternierende Reihe ist.

Answer

Die Reihe ist divergent, da sie eine geometrische Reihe ist.

Question 8

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{2^n} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} )

Answer

( sumlimits_{n=1}^\infty \frac{n}{2n+1} )

Question 9

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Konvergenz einer Reihe korrekt?

Accepted Answer

Die Summe ihrer Folgenglieder geht gegen einen endlichen Wert.

Answer

Die Differenz ihrer Folgenglieder geht gegen einen endlichen Wert.

Answer

Die Summe ihrer Folgenglieder geht gegen unendlich.

Answer

Die Differenz ihrer Folgenglieder geht gegen unendlich.

Question 10

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen ist zutreffend?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Berechnung der Kreiszahl π mit der Leibniz-Reihe

Answer

Näherung von Funktionen mit der Taylorreihe

Answer

Lösen von Differentialgleichungen mit Potenzreihen

Question 11

Bestimmen Sie die Taylorreihe von f(x) = sin(x) im Punkt x = 0.

Accepted Answer

x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Answer

1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ...

Answer

x - 2x^2 + 3x^3 - 4x^4 + ...

Question 12

Nennen Sie eine Anwendung von Reihen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Accepted Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Binomialverteilung

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven

Answer

Berechnung von Volumen von Körpern

Question 13

Bestimmen Sie die Summenformel der geometrischen Reihe:

Accepted Answer

a/(1-q), wobei |q| < 1

Answer

a/(1+q), wobei |q| < 1

Answer

a*(1-q), wobei |q| < 1

Answer

a*(1+q), wobei |q| < 1

Question 14

Welche der folgenden Reihen ist eine divergente harmonische Reihe?

Accepted Answer

n=1 bis unendlich: 1/n

Answer

n=1 bis unendlich: 1/n^2

Answer

n=1 bis unendlich: n^2/n+1

Answer

n=1 bis unendlich: n/n+1

Question 15

Welche der folgenden Reihen ist eine konvergente Teleskopreihe?

Accepted Answer

n=1 bis unendlich: 1/n - 1/(n+1)

Answer

n=1 bis unendlich: 1/n^2

Answer

n=1 bis unendlich: n^2/n+1

Answer

n=1 bis unendlich: n/n+1

Question 16

Welche der folgenden Reihen ist eine divergente alternierende Reihe?

Accepted Answer

n=1 bis unendlich: (-1)^n/n

Answer

n=1 bis unendlich: 1/n

Answer

n=1 bis unendlich: n^2/n+1

Answer

n=1 bis unendlich: n/n+1

Question 17

Welche der folgenden Reihen ist eine absolut konvergente bedingte Reihe?

Accepted Answer

n=1 bis unendlich: (-1)^n/n

Answer

n=1 bis unendlich: 1/n^2

Answer

n=1 bis unendlich: n^2/n+1

Answer

n=1 bis unendlich: n/n+1

Question 18

Welche Aussage über konvergente Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Differenz zwischen der Summe einer konvergenten Reihe und der Summe ihrer ersten n Glieder nähert sich 0.

Answer

Die Summe einer konvergenten Reihe ist immer kleiner als die Summe ihrer ersten n Glieder.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Folgeglieder immer kleiner werden.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Summe ihrer ersten n Glieder gegen einen Grenzwert konvergiert.

Question 19

Wie lautet die Taylorreihe von f(x) = e^x um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

Σ (x^n / n!)

Answer

Σ (x^n / n)

Answer

Σ (n^x / n!)

Answer

Σ (n^x / n)

Question 20

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (1/(2^n))

Answer

Σ (1/n)

Answer

Σ (n)

Answer

Σ (n^2)

Question 21

Wie lautet die Summe der Reihe Σ (1/k(k+1))?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

Die Reihe konvergiert nicht.

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist ein Beispiel für eine divergente Reihe?

Accepted Answer

Σ (n)

Answer

Σ (1/n^2)

Answer

Σ (1/(n+1))

Answer

Σ (cos(n))

Question 23

Bestimmen Sie die Taylorreihe um den Punkt x = 0 für die Funktion f(x) = e^x.

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)/n!

Answer

∑_(n=1)^∞ (x^n)/n

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n (x^n)/n!

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n (x^n)/n

Question 24

Welche der folgenden Reihen ist alternierend?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n 1/n^2

Question 25

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/2^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n * 2^{n+1}

Question 26

Gib die allgemeine Formel für das n-te Glied der Taylorreihe von f(x) um x = a an.

Accepted Answer

f'(a) * (x - a)^n / n!

Answer

f(a) / n!

Answer

f'(a) * (x - a) / n

Answer

f''(a) * (x - a)^(n-1) / (n-1)!

Question 27

Bei welcher Anwendung werden Reihen zur Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt?

Accepted Answer

Potenzreihenverfahren

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Fourier-Reihe

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 28

Welche der folgenden Reihen ist eine Teleskopreihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (1 / n) - (1 / (n+1))

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n²

Answer

Σ (n=1 bis ∞) sin(n)

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1 / n²

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

Answer

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ...

Question 30

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Question 31

Die geometrische Reihe ist gegeben durch ∑_(n=0)^∞ ar^n. Für welche Werte von r konvergiert die Reihe?

Accepted Answer

|r| < 1

Answer

Für keinen Wert von r.

Answer

Nur für r = 0.

Answer

Für alle Werte von r.

Question 32

Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x, entwickelt um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n/2^n

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n/(n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(n+1)/(n+1)!

Question 33

Welche der folgenden Reihen stellt die Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0 dar?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n)/(2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n)/(2n)!

Question 34

Die Funktion f(x) = ln(1+x) soll um den Punkt x = 0 als Taylorreihe dargestellt werden. Wie lauten die ersten drei Glieder dieser Reihe?

Accepted Answer

x - x^2/2 + x^3/3

Answer

1 + x + x^2/2

Answer

x + x^2/2 + x^3/3

Answer

1 - x + x^2/2

Question 35

Welche der folgenden Reihen kann zur Approximation der Kreiszahl π verwendet werden?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * 4/(2n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ 1/n^2

Answer

∑_(n=0)^∞ 1/2^n

Answer

∑_(n=0)^∞ 1/n!

Question 36

Die Differentialgleichung y' = y mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 soll gelöst werden. Welche Funktion stellt die Lösung dar?

Accepted Answer

y(x) = e^x

Answer

y(x) = x

Answer

y(x) = 1

Answer

y(x) = 0

Question 37

Welche der folgenden Reihen ist absolut konvergent?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Question 38

Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f(x) = cos(x), entwickelt um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n)/(2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n)/(2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1)/(2n+1)!

Question 39

Die Taylorreihe der Funktion f(x) = 1/(1-x) wird um den Punkt x = 0 entwickelt. Welchen Wert hat der Konvergenzradius dieser Reihe?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

∞

Question 40

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n²

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Question 41

Wie groß ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Question 42

Welche Aussage über die geometrische Reihe ∑_(n=0)^∞ ar^n ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert für |r| < 1.

Answer

Die Reihe konvergiert nur für r = 0.

Answer

Die Reihe konvergiert für |r| > 1.

Answer

Die Reihe konvergiert für alle Werte von r.

Question 43

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ 2^n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Question 44

Welche Aussage über die harmonische Reihe ∑_(n=1)^∞ 1/n ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Answer

Die Reihe ist eine geometrische Reihe.

Question 45

Welchen Wert hat die Reihe ∑_(n=0)^∞ (1/2)^n?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

1

Answer

∞

Question 46

Welche der folgenden Reihen kann mit dem Integraltest auf Konvergenz untersucht werden?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n^2

Answer

∑_(n=1)^∞ 2^n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Question 47

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n²

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Question 48

Welche Aussage über die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 ist richtig?

Accepted Answer

Die Taylorreihe konvergiert für alle x ∈ ℝ.

Answer

Die Taylorreihe konvergiert nur für x > 0.

Answer

Die Taylorreihe konvergiert nur für x < 0.

Answer

Die Taylorreihe konvergiert nur für x = 0.

Question 49

Welche Reihe entspricht der Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!

Question 50

Was ist die Summe der geometrischen Reihe ∑_(n=0)^∞ (1/2)^n?

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1/2

Answer

1

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist die Taylorreihe von f(x) = cos(x) um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/2^n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n²

Question 53

Welche der folgenden Reihen konvergiert absolut?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n²

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ 1/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n / n

Question 54

Welche der folgenden Reihen ist die Taylorreihe von f(x) = (1+x)^k um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (k choose n) * x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (k choose n) * x^(2n)

Answer

∑_(n=0)^∞ (k choose n) * x^(n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ (k choose n) * x^(n+1)

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über konvergente Reihen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe einer konvergenten Reihe ist immer endlich.

Answer

Eine konvergente Reihe kann unendlich viele Glieder haben.

Answer

Die Folge der Partialsummen einer konvergenten Reihe ist konvergent.

Answer

Jede konvergente Reihe hat einen Grenzwert.

Question 56

Wie groß ist der Konvergenzradius der Reihe ∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!)?

Accepted Answer

∞

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 57

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n)

Question 58

Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Entwicklungspunkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^n)/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^(2n))/(2n)!

Question 59

Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f(x) = 1/(1-x) um den Entwicklungspunkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^n)/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)/n!

Question 60

Was ist der Wert der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/2)^n?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

1/2

Answer

2

Question 61

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung von Taylorreihen?

Accepted Answer

Näherungsweise Berechnung von Funktionswerten

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Answer

Berechnung von Ableitungen

Answer

Bestimmung der Stetigkeit einer Funktion

Question 62

Bestimmen Sie die Partialsumme S_3 der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/n).

Accepted Answer

11/6

Answer

1

Answer

1/2

Answer

6/5

Question 63

Welche Bedingung muss für die Konvergenz einer alternierenden Reihe erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Absolutbeträge der Summanden müssen eine monoton fallende Nullfolge bilden.

Answer

Die Reihe muss eine geometrische Reihe sein.

Answer

Die Summanden müssen alle positiv sein.

Question 64

Die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/n^p) konvergiert für:

Accepted Answer

p > 1

Answer

p ≥ 1

Answer

alle p

Answer

p < 1