Vektoren in der Mathematik: Interaktive Übungen für Klasse 10

Question 1

Welcher Ausdruck steht für das Skalarprodukt der Vektoren **a** und **b**?

Accepted Answer

a ⋅ b

Answer

a x b

Answer

a + b

Answer

a / b

Question 2

Wie lautet die korrekte Definition eines Vektors im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Ein Vektor ist ein gerichtetes Liniensegment.

Answer

Ein Vektor wird durch seine Länge und seinen Startpunkt beschrieben.

Answer

Ein Vektor wird durch seinen Startpunkt, seine Länge und seinen Endpunkt bestimmt.

Answer

Ein Vektor hat eine Länge, aber keine Richtung.

Question 3

Berechne das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren vec{a} = (1, 2, 3), vec{b} = (4, 5, 6) und vec{c} = (2, 1, 4) aufgespannt wird.

Accepted Answer

12

Answer

6

Answer

18

Question 4

Wie viele Dimensionen hat der dreidimensionale Vektorraum R³?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 5

Gegeben sind die Vektoren $$vec{a} = (1, 2, 3)$$ und $$vec{b} = (2, 4, 6)$$. Ist der Vektor $$vec{c} = (3, 6, 9)$$ linear abhängig oder unabhängig von $$vec{a}$$ und $$vec{b}$$?

Accepted Answer

Linear abhängig

Answer

Linear unabhängig

Answer

Nicht bestimmbar

Question 6

Welche Eigenschaft von Vektoren im dreidimensionalen Raum (R³) trifft zu?

Accepted Answer

Der Nullvektor hat eine Länge von 0.

Answer

Vektoren sind immer linear abhängig.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer positiv.

Question 7

Berechne den Betrag des Vektors mit den Koordinaten (2, 3, -1) im dreidimensionalen Raum R³.

Accepted Answer

√14

Answer

√7

Answer

4

Answer

6

Question 8

Gegeben sind die Vektoren $$vec{a}=(2,1,3), vec{b}=(1,2,0)$$ und $$vec{c}=(3,-1,2)$$. Sind diese Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

Accepted Answer

Linear abhängig, da sich $$vec{c}$$ als Linearkombination von $$vec{a}$$ und $$vec{b}$$ darstellen lässt: $$vec{c}=2*vec{a}-vec{b}$$.

Answer

Linear unabhängig, da sie nicht alle auf einer Geraden liegen.

Answer

Kollinear, da sie alle auf einer Geraden liegen.

Answer

Orthogonal, da ihr Skalarprodukt Null ist.

Question 9

Gegeben sind die Vektoren $$vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$$ und $$vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$$ im R^n. Wann sind die Vektoren $$vec{a}$$ und $$vec{b}$$ linear abhängig?

Accepted Answer

Wenn $$rac{a_1}{b_1} = rac{a_2}{b_2} = rac{a_3}{b_3}$$.

Answer

Wenn $$rac{a_1}{b_1} 
eq rac{a_2}{b_2}$$.

Answer

Wenn $$a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$$.

Answer

Wenn $$vec{a} cdot vec{b} = 0$$.

Question 10

Sind die Vektoren **a** = (1, 2, 3) und **b** = (2, 4, 6) linear abhängig oder linear unabhängig?

Accepted Answer

Linear abhängig

Answer

Linear unabhängig

Answer

Die Vektoren sind nicht definiert

Answer

Ich weiß es nicht

Question 11

Gegeben ist die Menge von Vektoren V = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}. Wie viele Dimensionen hat der von diesen Vektoren aufgespannte Vektorraum?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 12

Der Vektor ℘ = (1, 2, 3) liegt im dreidimensionalen Raum R³. Ist er linear abhängig oder linear unabhängig?

Accepted Answer

Linear unabhängig

Answer

Linear abhängig

Question 13

Berechne den Betrag des Vektors $vec{v}=(2,3,-1)$:

Accepted Answer

$$sqrt{14}$$

Answer

$$sqrt{6}$$

Answer

$$2$$

Answer

$$3$$

Question 14

Welche Eigenschaft trifft auf Vektoren zu?

Accepted Answer

Vektoren haben eine Länge und eine Richtung.

Answer

Vektoren existieren nur in zweidimensionalen Räumen.

Question 15

Wie wird ein Vektor üblicherweise grafisch dargestellt?

Accepted Answer

Als Pfeil mit Start- und Endpunkt, der seine Länge und Richtung anzeigt

Answer

Als Punkt in einem Koordinatensystem

Answer

Als Bruch mit Zähler und Nenner

Answer

Als Matrix mit zwei Zeilen und einer Spalte

Question 16

Welche der aufgeführten Größen ist kein Vektor?

Accepted Answer

Temperatur

Answer

Geschwindigkeit

Answer

Beschleunigung

Answer

Kraft

Question 17

Wie wird ein Vektor normiert?

Accepted Answer

Indem man ihn durch seine Länge dividiert

Answer

Indem man ihn mit seiner Länge multipliziert

Answer

Indem man seine Länge subtrahiert

Answer

Indem man seine Länge addiert

Question 18

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor v = (2, 3)?

Accepted Answer

w = (4, 6)

Answer

u = (-2, -3)

Answer

x = (1, 2)

Answer

y = (3, 2)

Question 19

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren v = (1, 0) und w = (0, 1)?

Accepted Answer

90°

Answer

0°

Answer

45°

Answer

180°

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren trifft zu?

Accepted Answer

Vektoren verfügen sowohl über eine Größe als auch eine Richtung.

Answer

Vektoren lassen sich lediglich in einer Ebene abbilden.

Answer

Die Länge eines Vektors ist stets positiv.

Question 21

Was ist die beste Beschreibung für Vektoren?

Accepted Answer

Größen mit sowohl Wert als auch Richtung

Answer

Größen mit nur einem Wert

Answer

Formen mit bestimmten Umrissen

Question 22

Beweise, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren antikommutativ ist, d. h. a × b = - (b × a) für alle Vektoren a und b im dreidimensionalen Raum.

Accepted Answer

Zeige, dass a × b = - (b × a) anhand der Komponenten der Vektoren.

Answer

Nutze die geometrische Interpretation des Kreuzprodukts als Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

Answer

Wende die Eigenschaften des Skalarprodukts an.

Question 23

Wie lässt sich das Kreuzprodukt zweier Vektoren nutzen, um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen? Erläutere das Konzept anhand der Vektoren **a = (2, 1, -3)** und **b = (1, 0, 2)**.

Accepted Answer

Die Fläche des Parallelogramms entspricht dem Betrag des Kreuzprodukts der Vektoren **a** und **b**.

Answer

Die Fläche des Parallelogramms entspricht dem Betrag des Skalarprodukts der Vektoren **a** und **b**.

Answer

Die Fläche des Parallelogramms entspricht dem Betrag der Summe der Vektoren **a** und **b**.

Answer

Die Fläche des Parallelogramms entspricht dem Betrag der Differenz der Vektoren **a** und **b**.

Question 24

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt mit einer:

Accepted Answer

Größe und Richtung

Answer

Länge und Breite

Answer

Fläche und Volumen

Answer

Form und Farbe

Question 25

Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie:

Accepted Answer

die gleiche Richtung haben

Answer

die gleiche Länge haben

Answer

die gleiche Größe haben

Answer

senkrecht zueinander stehen

Question 26

Ein Punkt liegt auf einer Geraden durch die Punkte P(x1, y1) und Q(x2, y2), wenn seine Koordinaten (x, y) die Gleichung erfüllen:

Accepted Answer

y = y1 + (x - x1)*(y2 - y1)/(x2 - x1)

Answer

y = y2 + (x - x2)*(y1 - y2)/(x1 - x2)

Answer

x = y1 + (y - y2)*(x2 - x1)/(y1 - y2)

Answer

x = y2 + (y - y1)*(x1 - x2)/(y2 - y1)

Question 27

Ein Vektor ist senkrecht zu einem anderen Vektor, wenn ihr Skalarprodukt:

Accepted Answer

gleich Null ist

Answer

positiv ist

Answer

negativ ist

Answer

größer als Eins ist

Question 28

Die Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren v = (a, b) und w = (c, d) aufgespannt wird, beträgt:

Accepted Answer

|det(v, w)|

Answer

|det(w, v)|

Answer

1/2 * |det(v, w)|

Answer

1/2 * |det(w, v)|

Question 29

Was versteht man unter einem Vektor?

Accepted Answer

Eine Größe mit Betrag und Richtung

Answer

Eine Größe nur mit Betrag

Answer

Eine Größe nur mit Richtung

Answer

Eine Größe ohne Betrag oder Richtung

Question 30

Berechne die Länge des Vektors $\vec{v} = (5, 12)$:

Accepted Answer

13

Answer

25

Answer

12

Answer

5

Question 31

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

$\vec{e} = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$

Answer

$\vec{g} = (0, 1)$

Answer

$\vec{f} = (2, 4)$

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Vektoren sind skalare Größen.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung.

Question 33

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zu dem Vektor **v** = (4, -2)?

Accepted Answer

(2, -1)

Answer

(0, -4)

Answer

(3, 4)

Question 34

Gegeben ist der Vektor **a** = (3, -2). Welcher Vektor ist der Einheitsvektor in Richtung von **a**?

Accepted Answer

(3/√13, -2/√13)

Answer

(-3/√13, 2/√13)

Answer

(1/√13, -1/√13)

Answer

(2/√13, -3/√13)

Question 35

Welche der folgenden Geradengleichungen beschreibt die Gerade, die durch die Punkte $P = (1, 2)$ und $Q = (3, 4)$ verläuft?

Accepted Answer

$y = x + 1$

Answer

$y = x - 1$

Answer

$y = 2x - 1$

Answer

$y = -x + 5$

Question 36

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $a = (2, 3)$ und $b = (-1, 4)$ aufgespannt wird.

Accepted Answer

$11$

Answer

$5$

Answer

$17$

Answer

$-11$

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über den Vektor $$\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}2\3\end{pmatrix}$$\ ist richtig?

Accepted Answer

Der Vektor zeigt in den ersten und zweiten Quadranten.

Answer

Der Vektor zeigt in den dritten und vierten Quadranten.

Answer

Der Vektor zeigt in den zweiten und dritten Quadranten.

Question 38

Berechne die **Differenz** der Vektoren u = (2, -1) und v = (3, 4).

Accepted Answer

(-1, -5)

Answer

(6, 2)

Answer

(5, 3)

Answer

(1, 3)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **korrekt**?

Accepted Answer

Vektoren können in jedem n-dimensionalen Raum definiert werden.

Answer

Vektoren haben nur Größe, aber keine Richtung.

Answer

Vektoren können nur addiert, aber nicht subtrahiert werden.

Question 40

Welche der folgenden Operationen ist für Vektoren nicht definiert?

Accepted Answer

Multiplikation zweier Vektoren

Answer

Subtraktion eines Vektors von einem anderen

Answer

Addition zweier Vektoren

Answer

Skalare Multiplikation eines Vektors

Question 41

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor v = 2i + 5j?

Accepted Answer

3i + (15/2)j

Answer

5i - 2j

Answer

i + 2j

Answer

2i - 5j

Question 42

Was ist die korrekte Definition eines Vektors?

Accepted Answer

Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung.

Answer

Ein Vektor hat nur eine Richtung.

Answer

Ein Vektor hat nur einen Betrag.

Answer

Ein Vektor hat weder einen Betrag noch eine Richtung.

Question 43

Welche Formel wird verwendet, um die Länge eines Vektors zu berechnen?

Accepted Answer

Länge = √(x² + y² + z²)

Answer

Länge = x + y + z

Answer

Länge = (x + y + z)²

Answer

Länge = x² + y² + z²

Question 44

Welche Formel wird verwendet, um einen Einheitsvektor in Richtung des Vektors (3, 4, 5) zu berechnen?

Accepted Answer

(3/√50, 4/√50, 5/√50)

Answer

(3, 4, 5)

Answer

(5, 4, 3)

Answer

(1/3, 1/4, 1/5)

Question 45

Wie lautet die Formel für die Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren?

Accepted Answer

Skalarprodukt = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ + z₁ * z₂

Answer

Skalarprodukt = x₁² + y₁² + z₁²

Answer

Skalarprodukt = √(x₁² + y₁² + z₁²) * √(x₂² + y₂² + z₂²)

Answer

Skalarprodukt = (x₁ + x₂) * (y₁ + y₂) * (z₁ + z₂)

Question 46

Welche Formel wird verwendet, um das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu berechnen?

Accepted Answer

Kreuzprodukt = (y₁ * z₂ - z₁ * y₂, z₁ * x₂ - x₁ * z₂, x₁ * y₂ - y₁ * x₂)

Answer

Kreuzprodukt = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)

Answer

Kreuzprodukt = (x₁ * y₂ + y₁ * x₂, y₁ * z₂ + z₁ * y₂, z₁ * x₂ + x₁ * z₂)

Question 47

Welche Formel wird verwendet, um den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Eckpunkten A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) und C(x₃, y₃, z₃) zu berechnen?

Accepted Answer

Flächeninhalt = 1/2 * |- ->AB × ->AC|

Answer

Flächeninhalt = 1/2 * |->AB - ->AC|

Answer

Flächeninhalt = 1/2 * |->AB + ->AC|

Answer

Flächeninhalt = 1/2 * |->AC - ->AB|

Question 48

Welche Formel wird verwendet, um das Volumen eines Parallelepipeds mit den Kantenvektoren ->a, ->b und ->c zu berechnen?

Accepted Answer

Volumen = |->a × ->b · ->c|

Answer

Volumen = |->a - ->b - ->c|

Answer

Volumen = |->a + ->b + ->c|

Question 49

Welche geometrische Deutung hat die Vektoraddition?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren entspricht der Diagonale des Parallelogramms, das durch die beiden Vektoren aufgespannt wird.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ergibt einen Vektor mit der Länge der Summe der Längen der beiden Vektoren.

Question 50

Was beschreibt das Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich der Summe ihrer Komponenten.

Question 51

Welches Ergebnis liefert das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren?

Accepted Answer

Den Nullvektor

Answer

Einen Vektor in Richtung eines der beiden Vektoren

Answer

Einen Vektor, der senkrecht zu beiden Vektoren steht

Question 52

In welchem Bereich der Physik finden Vektoren Anwendung?

Accepted Answer

Berechnung von Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Answer

Erstellen von Kunstwerken

Answer

Lösen von Kreuzworträtseln

Question 53

Welche Aussage zur Linearität von Vektoroperationen ist korrekt?

Accepted Answer

Sowohl die Vektoraddition als auch die skalare Multiplikation sind linear.

Answer

Nur die skalare Multiplikation ist linear.

Answer

Nur die Vektoraddition ist linear.

Question 54

Was ist der Normalenvektor einer Ebene?

Accepted Answer

Ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht

Answer

Ein Vektor, der parallel zur Ebene ist

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zu einem beliebigen Vektor in der Ebene steht

Answer

Ein Vektor, der in der Ebene liegt

Question 55

Was bezeichnet man als Vektor?

Accepted Answer

Eine gerichtete Strecke im Raum

Answer

Eine Zahl mit Vorzeichen

Answer

Einen Punkt in einem Koordinatensystem

Answer

Eine Funktion mit einer von x abhängigen Variable

Question 56

Berechne die Länge des Vektors **a** = (3, 4).

Accepted Answer

5

Answer

12

Answer

7

Question 57

Welche Bedingung muss für drei Vektoren **a**, **b** und **c** erfüllt sein, damit sie linear abhängig sind?

Accepted Answer

Einer der Vektoren ist ein Vielfaches einer Linearkombination der anderen beiden Vektoren.

Answer

Die drei Vektoren liegen alle in derselben Ebene.

Answer

Die drei Vektoren haben alle die gleiche Länge.

Question 58

Sind die Vektoren **a** = (1, 2, 3), **b** = (2, 4, 6) und **c** = (3, 6, 9) kollinear?

Accepted Answer

Ja

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Answer

Nein

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Vektoren haben immer einen festen Anfangspunkt.

Answer

Vektoren haben eine Richtung.

Answer

Vektoren haben eine Länge.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Question 60

Welcher Vektor ist der **Gegenvektor** von à = (4, -1)?

Accepted Answer

(-4, 1)

Answer

(4, 1)

Answer

(1, -4)

Answer

(-1, 4)

Question 61

Wie lang ist der Vektor à = (5, 12)?

Accepted Answer

13

Answer

60

Answer

7

Answer

17

Question 62

Drei Punkte A, B und C bilden ein Dreieck.  à = áB und á = áC. Wie lautet der Vektor áA?

Accepted Answer

-à - á

Answer

à + á

Answer

-à + á

Answer

à - á

Question 63

Zwei Vektoren à und á sind **linear abhängig**, wenn...

Accepted Answer

...es einen Skalar k gibt, sodass à = ká gilt.

Answer

...sie die gleiche Richtung haben.

Answer

...sie die gleiche Länge haben.

Answer

...sie senkrecht zueinander sind.

Question 64

Gegeben sind zwei Vektoren à = (2, 1) und á = (4, 2).  Wie lautet das **Skalarprodukt** von à und á?

Accepted Answer

10

Answer

8

Answer

6

Answer

12