Komplexe Zahlen: Verstehe die Grundlagen und meistere Operationen

Question 1

Wie wandelt man eine komplexe Zahl in Exponentialform (r * (cos φ + i * sin φ)) in die kartesische Form (a + b * i) um?

Accepted Answer

a = r * cos φ und b = r * sin φ

Answer

a = cos φ + r und b = r * sin φ

Answer

a = r / cos φ und b = r * sin φ

Answer

a = r^2 + cos φ und b = r * sin φ

Question 2

Zeichne die Menge aller komplexen Zahlen $z$ in die Gaußsche Zahlenebene ein, für die der Abstand zu $z=3$ gleich $2$ ist.

Accepted Answer

Ein Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $z=3$

Answer

Ein Kreis mit Radius $2$ um den Ursprung

Answer

Eine Gerade durch den Ursprung und den Punkt $z=3$

Answer

Ein Rechteck mit den Eckpunkten $z=1$, $z=3$, $z=5$ und $z=7$

Question 3

Geben Sie die Taylor-Reihe der Funktion $f(z)=e^z$ um den Entwicklungspunkt $z=0$ an.

Accepted Answer

$sum_{n=0}^infty rac{z^n}{n!}$

Answer

$sum_{n=0}^infty rac{z^{n+1}}{n+1}$

Answer

$sum_{n=0}^infty rac{(z-0)^n}{n}$

Answer

$sum_{n=0}^infty rac{(z+0)^n}{n}$

Question 4

Berechnen Sie die Summe der unendlichen Reihe $$sum_{n=1}^infty (-1)^n rac{1}{n^2 + 1}$$

Accepted Answer

$rac{pi^2}{6}$

Answer

$rac{1}{2}$

Answer

$0$

Question 5

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine komplexe Zahl z?

Accepted Answer

Sie ist eine Zahl der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit darstellt.

Answer

Sie ist eine Zahl, die nur einen reellen Teil hat.

Answer

Sie ist eine Zahl, die nur einen imaginären Teil hat.

Answer

Sie ist eine Zahl, die sowohl einen reellen als auch einen imaginären Teil hat, wobei b = 0 ist.

Question 6

Vereinfache die folgende Gleichung: (2 - 3i)²

Accepted Answer

13 - 12i

Answer

13 + 12i

Answer

7 - 12i

Answer

7 + 12i

Question 7

Welche der folgenden Zahlen ist die konjugiert komplexe Zahl zu 3 - 4i?

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

3 - 4i

Answer

4 - 3i

Answer

-4 + 3i

Question 8

Berechne das Produkt der komplexen Zahlen (2 + 3i) und (1 - 2i).

Accepted Answer

5 - i

Answer

5 + i

Answer

-5 + i

Answer

-5 - i

Question 9

Was ist die geometrische Bedeutung des Arguments einer komplexen Zahl? Wie steht es im Zusammenhang mit dem Einheitskreis in der komplexen Ebene?

Accepted Answer

Das Argument ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Vektor, der die komplexe Zahl darstellt. Es wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse gemessen.

Answer

Das Argument ist der Betrag der komplexen Zahl.

Answer

Das Argument ist der Realteil der komplexen Zahl.

Answer

Das Argument ist immer positiv.

Question 10

Berechne die Konjugierte der komplexen Zahl (z = 2 - 3	ext{i}).

Accepted Answer

2 + 3	ext{i}

Answer

2 - 3	ext{i}

Answer

3 - 2	ext{i}

Answer

-2 + 3	ext{i}

Question 11

Welche der folgenden Zahlen ist eine rein imaginäre Zahl?

Accepted Answer

(	ext{i})

Answer

2

Answer

3 - 4	ext{i}

Answer

5 + 0	ext{i}

Question 12

Welche geometrische Figur ergibt sich aus der Menge aller komplexen Zahlen mit (|z| = 2)?

Accepted Answer

Kreis mit Radius 2

Answer

Einheitskreis

Answer

Parabel

Answer

Ellipse

Question 13

Beweisen Sie, dass das Produkt zweier holomorpher Funktionen $f$ und $g$ in einem offenen Gebiet $G$ ebenfalls holomorph in $G$ ist.

Accepted Answer

Die Aussage ist korrekt, da die Ableitung des Produkts zweier holomorpher Funktionen holomorph ist.

Answer

Das Produkt zweier holomorpher Funktionen ist im Allgemeinen nicht holomorph.

Answer

Die Aussage ist korrekt, da die Summe zweier holomorpher Funktionen holomorph ist.

Answer

Die Aussage ist korrekt, da das Produkt zweier konjugiert komplexer Funktionen holomorph ist.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt komplexe Zahlen korrekt?

Accepted Answer

Zahlen der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind.

Answer

Zahlen, die keinen reellen Teil haben.

Answer

Zahlen, die nicht addiert oder subtrahiert werden können.

Answer

Zahlen, die in der Physik keine Anwendung finden.

Question 15

Löse die Gleichung z² = -9.

Accepted Answer

z = ±3i

Answer

z = ±9i

Answer

z = ±3

Answer

z = ±9

Question 16

Welche geometrische Figur stellt die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 2 dar?

Accepted Answer

Kreis mit Radius 2

Answer

Gerade

Answer

Parabel

Answer

Quadrat

Question 17

Welche Teilmenge der Menge komplexer Zahlen bilden die reellen Zahlen?

Accepted Answer

Zahlen der Form a + 0i

Answer

Zahlen der Form 0 + bi

Answer

Zahlen der Form a + b

Answer

Zahlen der Form bi

Question 18

Welche Aussage beschreibt die Lösung der Ungleichung |z| > 3?

Accepted Answer

Alle komplexen Zahlen außerhalb des Kreises mit Radius 3

Answer

Alle komplexen Zahlen innerhalb des Kreises mit Radius 3

Answer

Alle komplexen Zahlen auf dem Kreis mit Radius 3

Answer

Alle komplexen Zahlen im Inneren des Rechtecks mit Seitenlänge 3

Question 19

Was ist eine Eigenschaft komplexer Zahlen?

Accepted Answer

Sie bestehen aus Real- und Imaginärteil.

Answer

Man kann sie nur addieren und subtrahieren.

Answer

Ihr Imaginärteil ist immer kleiner als der Realteil.

Answer

Sie haben keine geometrische Darstellung.

Question 20

Frage:

Zeigen Sie die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen:

$$|z_1 + z_2|^2 leq |z_1|^2 + |z_2|^2$$

Accepted Answer

Antwort 1:

Verwenden Sie die Distributivgesetze und die Eigenschaft $|z|^2 = z overline{z}$.

Answer

Antwort 2:

Verwenden Sie die Ungleichung $|a + b| leq |a| + |b|$ für reelle Zahlen.

Answer

Antwort 3:

Verwenden Sie die Tatsache, dass $|z_1 + z_2| 
eq |z_1| + |z_2|$.

Answer

Antwort 4:

Die Ungleichung ist immer falsch.

Question 21

Beweisen Sie, dass die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag $1$ eine Gruppe unter der Multiplikation bildet.

Accepted Answer

Die Menge ist abgeschlossen unter der Multiplikation.

Accepted Answer

Die Menge enthält die Zahl $1$.

Accepted Answer

Jedes Element hat ein Inverses.

Question 22

Berechnen Sie die Residuen der Funktion $f(z) = \frac{z - 2}{z + 1}$ an den singulären Stellen $z = -1$ und $z = 2$.

Accepted Answer

Res($f(z)$, $z = -1$) = $-3$

Accepted Answer

Res($f(z)$, $z = 2$) = $3$

Answer

Res($f(z)$, $z = -1$) = $-1$

Answer

Res($f(z)$, $z = 2$) = $1$

Question 23

Welche der folgenden Zahlen ist eine rein imaginäre Zahl?

Accepted Answer

i

Answer

5

Answer

-3

Answer

π

Question 24

Berechne den konjugiert komplexen Wert von (2 - 5i).

Accepted Answer

2 + 5i

Answer

2 - 5i

Answer

-2 + 5i

Answer

-2 - 5i

Question 25

Gib den Realteil der komplexen Zahl (7 + 2i) an.

Accepted Answer

7

Answer

2

Answer

9

Answer

14

Question 26

Dividiere die komplexen Zahlen (6 + 4i) durch (2 - i).

Accepted Answer

2 + i

Answer

2 - i

Answer

4 + 2i

Answer

4 - 2i

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen beschreibt ihre Struktur korrekt?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen haben nur einen Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen sind immer reell.

Question 28

Welche Operation ist für komplexe Zahlen nicht zulässig?

Accepted Answer

Division durch 0

Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Question 29

Bestimme den Realteil der komplexen Zahl (3 + 4i).

Accepted Answer

3

Answer

7

Answer

4

Answer

12

Question 30

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf dem Einheitskreis?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen der Form (a, a), wobei a eine reelle Zahl ist und a² + a² = 1 gilt.

Answer

Komplexe Zahlen mit einem Betrag kleiner als 1

Answer

Komplexe Zahlen mit einem Realteil größer als 1

Answer

Komplexe Zahlen mit einem Imaginärteil gleich 0

Question 31

Löse die Ungleichung |z| < 2.

Accepted Answer

Alle komplexen Zahlen mit einem Betrag kleiner als 2 erfüllen die Ungleichung.

Answer

Alle komplexen Zahlen mit einem Imaginärteil kleiner als 2 erfüllen die Ungleichung.

Answer

Alle komplexen Zahlen mit einem Realteil kleiner als 2 erfüllen die Ungleichung.

Question 32

Welche Aussage über komplexe Zahlen trifft zu?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist.

Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die größer als 0 sind.

Question 33

Gib die Polarform der komplexen Zahl (1 + i) an.

Accepted Answer

√2 * (cos(45°) + i*sin(45°))

Answer

1 + i

Answer

√2 * (cos(315°) + i*sin(315°))

Answer

-1 + i

Question 34

Berechne den Betrag der komplexen Zahl (3 - 4i).

Accepted Answer

5

Answer

10

Answer

-5

Answer

2

Question 35

Was versteht man unter dem Argument einer komplexen Zahl?

Accepted Answer

Der Argument einer komplexen Zahl ist der Winkel zwischen dem positiven Realteil und dem Vektor, der die komplexe Zahl im komplexen Zahlenraum darstellt.

Answer

Der Argument einer komplexen Zahl ist der Winkel zwischen dem negativen Realteil und dem Vektor, der die komplexe Zahl im komplexen Zahlenraum darstellt.

Question 36

Die komplexe Zahl $3 + 4i$ kann auch dargestellt werden als:

Accepted Answer

$$(3, 4)$$

Answer

$$(4, 3)$$

Answer

$$4 + 3i$$

Answer

$$3 - 4i$$

Question 37

Das Produkt der komplexen Zahlen $(1 + 2i)$ und $(3 - i)$ ist:

Accepted Answer

$$(5 + 5i)$$

Answer

$$(5 - 5i)$$

Answer

$$(-5 + 5i)$$

Question 38

Die imaginäre Einheit $i$ kann definiert werden als:

Accepted Answer

$$i^2 = -1$$

Answer

$$i^3 = -1$$

Answer

$$i^4 = -1$$

Answer

$$i^5 = -1$$

Question 39

Die Aussage $$|(1+i)(1-i)| = |1+i|^2$$ ist:

Accepted Answer

$$wahr$$

Answer

$$falsch$$

Answer

$$unbestimmt$$

Answer

$$nicht zutreffend$$

Question 40

Welche der folgenden Zahlen ist eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

(2 + 3i)

Answer

i

Answer

2

Answer

-5

Question 41

Vereinfache den Ausdruck (5 - 2i) + (3 + 7i).

Accepted Answer

8 + 5i

Answer

11 + 2i

Answer

12 + 3i

Answer

2 - 9i

Question 42

Multipliziere die Zahlen (2 - 3i) und (1 + 5i).

Accepted Answer

-7 + 11i

Answer

-11 + 7i

Answer

11 - 7i

Answer

7 - 11i

Question 43

Bestimme den Betrag der komplexen Zahl z = 3 + 4i.

Accepted Answer

5

Answer

12

Answer

7

Question 44

Gib die komplex Konjugierte der Zahl z = 2 - 5i an.

Accepted Answer

2 + 5i

Answer

2 - 5i

Answer

-2 - 5i

Answer

-2 + 5i

Question 45

Löse die Gleichung z² = 9 für die komplexe Variable z.

Accepted Answer

z = ±3

Answer

z = ±3i

Answer

z = ±9i

Answer

z = ±9

Question 46

Welche der folgenden Zahlen ist eine rein imaginäre Zahl?

Accepted Answer

5i

Answer

-7

Answer

2 + 3i

Question 47

Bestimme die geometrische Darstellung der komplexen Zahl z = 2 + 3i in der Gaußschen Zahlenebene.

Accepted Answer

Punkt (2, 3)

Answer

Punkt (-2, 3)

Answer

Punkt (2, -3)

Answer

Punkt (-2, -3)

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist wahr?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können für die Modellierung von Wechselstromkreisen verwendet werden.

Answer

Komplexe Zahlen sind immer reell.

Answer

Komplexe Zahlen haben keinen geometrischen Nutzen.

Question 49

Löse die Ungleichung |z - 3| < 2 für die komplexe Variable z.

Accepted Answer

z liegt innerhalb des Kreises mit Radius 2 um den Punkt 3 in der Gaußschen Zahlenebene.

Answer

z liegt auf dem Kreis mit Radius 2 um den Punkt 3 in der Gaußschen Zahlenebene.

Answer

z liegt außerhalb des Kreises mit Radius 3 um den Punkt 2 in der Gaußschen Zahlenebene.

Question 50

Welche der folgenden Zahlen ist keine komplexe Zahl?

Accepted Answer

3

Answer

2 + 3i

Answer

√(-4)

Answer

-5i

Question 51

Was ist der Imaginärteil der komplexen Zahl 4 - 2i?

Accepted Answer

-2

Answer

-4

Answer

4

Answer

2

Question 52

Welche komplexe Zahl ergibt sich aus der Addition von 3 + 2i und 1 - 4i?

Accepted Answer

4 - 2i

Answer

2 + 6i

Answer

2 - 2i

Answer

4 + 6i

Question 53

Welche komplexe Zahl ergibt sich aus der Multiplikation von 2i mit 3 - i?

Accepted Answer

2 + 6i

Answer

6 + 2i

Answer

-2 + 6i

Answer

6 - 2i

Question 54

Welche komplexe Zahl ergibt sich aus der Division von 5 + 2i durch 1 - i?

Accepted Answer

3 + 7i

Answer

7 - 3i

Answer

7 + 3i

Answer

3 - 7i

Question 55

Welche geometrische Form stellt die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag 2 dar?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Parabel

Answer

Gerade

Answer

Ellipse

Question 56

Welche komplexe Zahl entspricht der komplexen Zahl 3 + 4i in der Polarform?

Accepted Answer

5(cos(53,1°) + i sin(53,1°))

Answer

5(cos(36,9°) + i sin(36,9°))

Answer

5(cos(126,9°) + i sin(126,9°))

Answer

5(cos(143,1°) + i sin(143,1°))

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist falsch?

Accepted Answer

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mit gleichem Betrag ergibt immer eine komplexe Zahl mit gleichem Betrag.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Question 58

Welche komplexe Zahl ergibt sich aus der Lösung der Gleichung z² + 4 = 0?

Accepted Answer

2i und -2i

Answer

2 und -2

Answer

√2 und -√2

Answer

4i und -4i

Question 59

Welche der folgenden Anwendungen findet man im Zusammenhang mit komplexen Zahlen?

Accepted Answer

Elektrotechnik

Answer

Statistik

Answer

Mechanik

Answer

Geometrie

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Sie können in der Gaußschen Zahlenebene geometrisch dargestellt werden.

Answer

Sie können nicht addiert oder subtrahiert werden.

Answer

Sie haben immer einen reellen und einen imaginären Teil.

Question 61

Berechne den Betrag der komplexen Zahl z = 3 + 4i.

Accepted Answer

5

Answer

25

Answer

7

Answer

12

Question 62

Welche der folgenden komplexen Zahlen ist die konjugierte Zahl von z = 2 - 3i?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

-2 + 3i

Answer

2 - 3i

Answer

3 + 2i

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über die Division komplexer Zahlen ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann immer durch Division der Zahlen durchgeführt werden.

Answer

Der Quotient ist eine komplexe Zahl.

Answer

Der Nenner muss konjugiert werden.

Question 64

Löse die folgende Gleichung nach z auf: z² + 2z + 5 = 0.

Accepted Answer

z = -1 ± 2i

Answer

z = -1 ± i

Answer

z = 1 ± i

Answer

z = 1 ± 2i