Stochastik in Klasse 9: Grundlagen, Wahrscheinlichkeiten und Modelle

Question 1

Du wirfst eine Münze. Was ist bei diesem Zufallsexperiment ein Ereignis?

Accepted Answer

Kopf oder Zahl

Answer

Das Münzewerfen

Answer

Die Wahrscheinlichkeit für Kopf

Answer

Die Anzahl der Münzen

Question 2

Eine Umfrage ergab, dass 60 Personen regelmäßig Nachrichten schauen. 20 davon schauen auch regelmäßig Sport. Wie viele Personen schauen nur Nachrichten, aber keinen Sport?

Accepted Answer

40

Answer

30

Answer

10

Answer

50

Question 3

Beim Würfeln mit zwei fairen Würfeln, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von 7 zu würfeln?

Accepted Answer

1 zu 12

Answer

1 zu 6

Answer

1 zu 18

Answer

1 zu 36

Question 4

Welche der folgenden Angaben beschreibt am besten die möglichen Ergebnisse, wenn eine Münze dreimal hintereinander geworfen wird?

Accepted Answer

Eine Folge aus drei Münzseiten, entweder Kopf oder Zahl

Answer

Eine Liste der Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis

Answer

Eine Zahl zwischen 1 und 8

Answer

Eine Summe aus drei Zahlen zwischen 0 und 1

Question 5

Beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel werden die Ergebnisse zweier Würfe notiert. Wie viele verschiedene Kombinationen sind dabei möglich?

Accepted Answer

36

Answer

6

Answer

12

Answer

72

Question 6

Bei einem Zufallsexperiment wird eine Münze zweimal geworfen. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

8

Answer

16

Question 7

Wie berechnet man die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

σ² = Σ[(x - μ)² * P(X = x)]

Answer

σ² = Σ[x² * P(X = x)]

Answer

σ² = Σ[|x - μ| * P(X = x)]

Answer

σ² = Σ[P(X = x) / x]

Question 8

Was ist ein Zufallsexperiment?

Accepted Answer

Ein Vorgang, bei dem der Ausgang ungewiss ist und vom Zufall abhängt.

Answer

Eine Berechnung, bei der das Ergebnis immer gleich ist.

Answer

Ein Vorgang, bei dem wir den Ausgang genau kennen.

Answer

Ein Vorgang, bei dem wir den Ausgang beeinflussen können.

Question 9

Wann sind die Ereignisse A und B unvereinbar?

Accepted Answer

Wenn das Eintreten von A das Eintreten von B ausschließt und umgekehrt.

Answer

Wenn die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von A und B größer als 0 ist.

Answer

Wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gleich der Wahrscheinlichkeit von B ist.

Question 10

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sowohl am Montag als auch am Dienstag regnet, wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen am Montag 0,4 und am Dienstag 0,3 beträgt?

Accepted Answer

0,12

Answer

0,7

Answer

0,6

Question 11

Welche Aussage zur Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist richtig?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1.

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit kann größer als 1 sein.

Question 12

Ein Spielwürfel wird dreimal geworfen. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 10 beträgt?

Accepted Answer

Zähle alle möglichen Ergebnisse und dann die Ergebnisse mit einer Augensumme von 10. Teile die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Answer

Berechne den Kehrwert der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

Answer

Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten für jede gewürfelte Zahl, die zu einer Augensumme von 10 führt.

Answer

Ziehe die Wahrscheinlichkeit für Ergebnisse mit anderen Augensummen als 10 von 1 ab.

Question 13

Wie lassen sich Simulationen einsetzen, um Wahrscheinlichkeiten von komplexen Zufallsexperimenten zu schätzen?

Accepted Answer

Durch wiederholtes Durchführen des Zufallsexperiments und Zählen, wie oft ein Ereignis eintritt.

Answer

Durch Auflisten aller möglichen Ergebnisse des Experiments und anschließendes Berechnen der Wahrscheinlichkeiten anhand ihrer Anzahl.

Answer

Durch Schätzen der Wahrscheinlichkeit basierend auf persönlichen Erfahrungen oder Vermutungen.

Answer

Durch direkte Anwendung der Definition der Wahrscheinlichkeit.

Question 14

Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Bereiche (Intervalle) mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie der Normalverteilung?

Accepted Answer

Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Intervall berechnen

Answer

Anteil der Datenpunkte im Intervall berechnen

Answer

Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im Intervall addieren

Question 15

Was beschreibt die Verwendung von Konfidenzintervallen am besten?

Accepted Answer

Sie geben einen Bereich an, in dem der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Answer

Sie geben die Wahrscheinlichkeit an, dass der wahre Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Answer

Sie berechnen die Standardabweichung der Stichprobe.

Answer

Sie geben den Minimal- und Maximalwert der möglichen Schätzungen an.

Question 16

Wie können Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt werden, um den Einfluss von drei Faktoren (x, y, z) auf ein Ereignis zu modellieren?

Accepted Answer

Zufallswerte für x, y und z generieren und deren Auswirkungen auf das Ereignis berechnen

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Faktoren bestimmen und ihre Auswirkungen auf das Ereignis berechnen

Answer

Eine Gleichung aufstellen, die die Beziehung zwischen den Faktoren und dem Ereignis beschreibt

Answer

Eine Tabelle mit allen möglichen Kombinationen von x, y und z erstellen und deren Auswirkungen auf das Ereignis berechnen

Question 17

Wie ermöglicht der zentrale Grenzwertsatz die Annäherung der Verteilung von Stichprobenmitteln?

Accepted Answer

Durch die Annahme einer Normalverteilung für die zugrunde liegende Grundgesamtheit.

Answer

Durch die Vergrößerung der Stichprobengröße.

Answer

Durch die Verwendung eines Parameterschätzers für den Mittelwert.

Answer

Durch die Kenntnis der Verteilung der Grundgesamtheit.

Question 18

Was gibt der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße an?

Accepted Answer

Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges

Answer

Die Anzahl der Erfolge

Question 19

Was ist die Aufgabe der Regressionsanalyse bei der Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Variablen?

Accepted Answer

Ermöglicht Vorhersagen von Werten einer Zielgröße (abhängige Variable) anhand von Einflussgrößen (unabhängige Variablen)

Answer

Kann nur lineare Beziehungen zwischen Variablen untersuchen

Answer

Ist nur für qualitative Daten geeignet

Question 20

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses, wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kennt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist?

Accepted Answer

Man multipliziert die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses, gegeben dass das erste Ereignis bereits eingetreten ist.

Answer

Man multipliziert die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse.

Answer

Man dividiert die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses durch die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses.

Answer

Man addiert die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse.

Question 21

Welche zwei Grundprinzipien der Kombinatorik sind für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unerlässlich?

Accepted Answer

Additions- und Multiplikationsprinzip

Answer

Zufallsexperiment und Ergebnismenge

Answer

Laplacesche Regel und Bayesscher Satz

Answer

Binomialverteilung und Normalverteilung

Question 22

Erläutere die Bedeutung der Normalverteilung in der statistischen Modellierung und nenne Beispiele für ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen.

Accepted Answer

Die Normalverteilung ist eine symmetrische, glockenförmige Verteilung, die häufig zur Modellierung kontinuierlicher Daten verwendet wird.

Answer

Die Normalverteilung ist eine diskrete Verteilung, die zur Modellierung von Ereigniszählungen verwendet wird.

Answer

Die Normalverteilung ist eine schiefe Verteilung, die zur Modellierung einseitiger Daten verwendet wird.

Answer

Die Normalverteilung ist eine gleichmäßige Verteilung, die zur Modellierung zufälliger Ereignisse verwendet wird.

Question 23

Wie kann man ein stochastisches Modell nutzen, um das Wachstum einer Bakterienpopulation zu simulieren?

Accepted Answer

Ermittle die Wahrscheinlichkeit der Zellteilung und simuliere die Teilungen zufällig.

Answer

Berechne die durchschnittliche Teilungsrate und erhöhe die Bakterienzahl linear.

Answer

Schätze die maximale Populationsgröße und simuliere das Wachstum bis zu diesem Grenzwert.

Answer

Verwende einen Zufallszahlengenerator, um zufällige Teilungen zu simulieren, ohne Wahrscheinlichkeiten zu berücksichtigen.

Question 24

Wie groß ist die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit 10 Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 50 %?

Accepted Answer

2,5

Answer

5

Answer

0,5

Question 25

Welche Aufgabe erfüllt die Varianzanalyse (ANOVA) bei der Untersuchung von Unterschieden zwischen mehreren Gruppen?

Accepted Answer

Ermittelt signifikante Unterschiede zwischen Gruppenmittelwerten

Answer

Berechnet die Wahrscheinlichkeit zufälliger Unterschiede

Answer

Ist nur für normalverteilte Daten anwendbar

Question 26

Die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer Münze Zahl zu bekommen, beträgt:

Accepted Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/4

Answer

1/6

Question 27

Welche Aussage über Wahrscheinlichkeiten ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum ist immer gleich 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer kleiner oder gleich 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch negativ sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist immer größer als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

Question 28

Welches stochastische Modell eignet sich am besten, um die Wartezeiten auf einen Bus zu modellieren, der im Mittel alle 10 Minuten an einer Haltestelle ankommt?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 29

Was ist die Definition von Wahrscheinlichkeit?

Accepted Answer

Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Maß für die Gewissheit, mit der ein Ereignis eintritt

Answer

Chance, dass ein Ereignis eintritt

Answer

Erwarteter Wert eines Zufallsexperiments

Question 30

Ein Würfelwurf ist ein Zufallsexperiment. Wie lautet der Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Experiment?

Accepted Answer

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Answer

Ω = {gerade Zahlen}

Answer

Ω = {ungeraden Zahlen}

Answer

Ω = {Zahlen größer als 3}

Question 31

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass:

Accepted Answer

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit, wenn die Anzahl der Versuche zunimmt

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist unabhängig von der Anzahl der Versuche

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse ist immer 0

Answer

Der Erwartungswert eines Zufallsexperiments ist immer gleich dem Mittelwert der möglichen Ergebnisse

Question 32

Ein Würfel wird geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?

Accepted Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

1/6

Question 33

Wofür wird ein stochastisches Modell verwendet?

Accepted Answer

Reale Situationen durch Simulationen nachstellen

Answer

Zukünftige Ereignisse genau vorhersagen

Answer

Vergangene Ereignisse vollständig erklären

Answer

Wahrscheinlichkeiten präzise berechnen

Question 34

Welcher Wahrscheinlichkeitsraum ist korrekt definiert für das Zufallsexperiment 'Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel'?

Accepted Answer

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (vollständige Ergebnismenge).

Answer

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (falsche Ergebnismenge).

Answer

Ω = {2, 4, 6} (unvollständige Ergebnismenge).

Answer

Ω = {Kopf, Zahl} (falsche Ergebnismenge für Würfeln).

Question 35

Welche der folgenden Verteilungen ist eine symmetrische Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung (symmetrisch).

Answer

Binomialverteilung (unsymmetrisch).

Answer

Poissonverteilung (unsymmetrisch).

Answer

Exponentialverteilung (unsymmetrisch).

Question 36

Welches stochastische Modell kann verwendet werden, um die Anzahl der Treffer bei wiederholten Versuchen zu simulieren?

Accepted Answer

Binomialverteilung (Modell für Bernoulli-Experimente).

Answer

Poissonverteilung (Modell für seltene Ereignisse).

Answer

Normalverteilung (falsches Modell für Bernoulli-Experimente).

Answer

Exponentialverteilung (falsches Modell für Bernoulli-Experimente).

Question 37

Welche der folgenden Schritte ist **nicht** Teil eines Zufallsexperiments?

Accepted Answer

Erstellen eines stochastischen Modells

Answer

Festlegen des Ergebnisraums

Answer

Durchführen des Experiments

Answer

Berechnen der Wahrscheinlichkeiten

Question 38

Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass **genau** zweimal Kopf geworfen wird?

Accepted Answer

1/4

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/8

Question 39

Welcher der folgenden Graphen stellt eine **diskrete** Wahrscheinlichkeitsverteilung dar?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Cauchy-Verteilung

Question 40

Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen, die die Anzahl der Erfolge bei **n** Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit **p** angibt?

Accepted Answer

np

Answer

p

Answer

n-p

Answer

1-p

Question 41

Welches der folgenden Maßzahlen ist ein **Lagemaß**?

Accepted Answer

Mittelwert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Answer

Schiefe

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung ist **nicht** richtig?

Accepted Answer

Ihre Standardabweichung kann variieren.

Answer

Sie ist symmetrisch um den Mittelwert.

Answer

Sie hat eine Glockenform.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung.

Question 43

Ein Würfel wird geworfen. Welches Ereignis hat die größte Wahrscheinlichkeit?

Accepted Answer

Eine gerade Zahl wird gewürfelt.

Answer

Eine Zahl größer als 4 wird gewürfelt.

Answer

Eine ungerade Zahl wird gewürfelt.

Answer

Eine Primzahl wird gewürfelt.

Question 44

Welche Komponenten bilden einen Wahrscheinlichkeitsraum?

Accepted Answer

Ereignismenge, Ergebnismenge, Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Answer

Ergebnismenge, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Häufigkeitsverteilung.

Answer

Wahrscheinlichkeitsfunktion, Zufallsvariable, Erwartungswert.

Question 45

Wozu können stochastische Modelle eingesetzt werden?

Accepted Answer

Zur Simulation realer Situationen.

Answer

Sie sind immer deterministisch.

Answer

Sie dienen ausschließlich der Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten.

Question 46

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses, wenn zwei Ereignisse unabhängig sind?

Accepted Answer

Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

Answer

Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

Answer

Differenz der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

Question 47

Ein Beutel enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist?

Accepted Answer

5/8

Answer

3/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 48

Welche Zufallsvariable ist diskret?

Accepted Answer

Anzahl der beim Wurf von 10 Münzen erzielten Köpfe.

Answer

Temperatur in Grad Celsius.

Answer

Gewicht eines neugeborenen Babys.

Question 49

Wie lautet die Definition des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Summe der Produkte aus jedem möglichen Wert von X und seiner Wahrscheinlichkeit.

Answer

Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Durchschnitt aller möglichen Werte von X.

Question 50

Welche Aussage über die Normalverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert.

Answer

Sie ist nur für positive Zufallsvariablen definiert.

Answer

Sie ist eine diskrete Zufallsverteilung.

Answer

Sie nimmt für alle Werte der Zufallsvariablen positive Werte an.

Question 51

Welche Methode kann zur Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen verwendet werden?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Simulation.

Answer

Zufallsgenerator.

Answer

Exakte Auszählung.

Answer

Theoretische Berechnung.

Question 52

Welches Ereignis ist ein Elementarereignis des Zufallsexperiments "Würfeln eines fairen Würfels"?

Accepted Answer

Die Zahl 6 erscheint

Answer

Die Zahl ist ungerade

Answer

Die Zahl ist kleiner als 3

Answer

Die Zahl ist größer als 4

Question 53

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen und nicht zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste gezogene Kugel blau ist?

Accepted Answer

3 : 7

Answer

5 : 8

Answer

1 : 3

Answer

1 : 2

Question 54

Welche Aussage beschreibt die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich, wenn alle Ergebnisse des Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich sind

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bekannt sind

Question 55

Welche der folgenden Aussagen ist ein Vorteil stochastischer Modelle?

Accepted Answer

Sie ermöglichen Vorhersagen über zukünftige Ereignisse

Answer

Sie sind immer einfach zu erstellen

Answer

Sie liefern immer exakte Ergebnisse

Answer

Sie ersetzen immer reale Experimente

Question 56

Welches Diagramm eignet sich am besten zur Darstellung der Verteilung kategorialer Daten?

Accepted Answer

Balkendiagramm

Answer

Streudiagramm

Answer

Histogramm

Question 57

Was ist der wesentliche Unterschied zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur eine endliche oder abzählbar unendliche Menge von Werten an, während eine stetige Zufallsvariable eine unendliche Menge von Werten auf einem Intervall annehmen kann

Answer

Die Werte einer diskreten Zufallsvariablen sind bekannt, während die Werte einer stetigen Zufallsvariablen unbekannt sind

Answer

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur ganzzahlige Werte an, während eine stetige Zufallsvariable nur bruchzahlige Werte an

Question 58

Ein zufälliger Schüler wird aus einer Klasse ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler männlich ist, beträgt 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler weiblich ist?

Accepted Answer

0,4

Answer

1,0

Answer

0,6

Answer

0,8

Question 59

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt?

Accepted Answer

Absolutwahrscheinlichkeit

Answer

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Answer

Subjektive Wahrscheinlichkeit

Answer

Relative Häufigkeit

Question 60

Ein Beutel enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Welcher der folgenden Ausdrücke gibt die Wahrscheinlichkeit an, eine blaue Kugel zu ziehen?

Accepted Answer

3/8

Answer

1/2

Answer

5/8

Answer

1/3

Question 61

Was versteht man unter dem Begriff **Zufallsexperiment**?

Accepted Answer

Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersehbar ist

Answer

Ein Wert, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses angibt

Answer

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments

Answer

Ein Modell, das das Verhalten von Zufallsereignissen beschreibt

Question 62

Welche Aussage über die **Wahrscheinlichkeit** ist **richtig**?

Accepted Answer

Sie ist eine Zahl zwischen 0 und 1.

Answer

Sie kann negative Werte annehmen.

Answer

Sie gibt die Anzahl der möglichen Ergebnisse an.

Answer

Sie ist immer gleich 50%.

Question 63

Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine **gerade** Zahl zu würfeln?

Accepted Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

1/6

Answer

1/3

Question 64

Wozu werden **stochastische Modelle** eingesetzt?

Accepted Answer

Zur Simulation komplexer Zufallsphänomene

Answer

Zur Vorhersage zukünftiger Ereignisse

Answer

Zur Bestimmung eindeutiger Ergebnisse