Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten hat eine Koeffizientenmatrix mit Rang 3. Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem?

Accepted Answer

Genau eine Lösung

Answer

Keine Lösung

Answer

Unendlich viele Lösungen

Question 2

Welche Aussage beschreibt korrekt die lineare Abhängigkeit von Vektoren im R^n?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren im R^n ist linear abhängig, wenn ein Vektor in der Menge als Linearkombination der anderen darstellbar ist.

Answer

Vektoren im R^n sind immer linear abhängig.

Answer

Eine Menge von Vektoren im R^n ist linear unabhängig, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren im R^n ist linear unabhängig, wenn sie eine Basis des R^n bildet.

Question 3

Gegeben ist die Matrix $mathbf{A}= egin{pmatrix} 1 & 2  3 & 4 end{pmatrix}$. Welcher der folgenden Vektoren kann als Linearkombination von $vec{a}_1$ und $vec{a}_2$ dargestellt werden?

Accepted Answer

$vec{v} =  egin{pmatrix} 1  2 end{pmatrix}$

Answer

$vec{v} =  egin{pmatrix} 2  1 end{pmatrix}$

Answer

$vec{v} =  egin{pmatrix} 0  1 end{pmatrix}$

Answer

$vec{v} =  egin{pmatrix} 5  9 end{pmatrix}$

Question 4

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 1; 0 1]

Answer

[0 0; 1 1]

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat möglicherweise keine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer eine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

Question 6

Berechnen Sie den Rang der Matrix B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9].

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 7

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 8

Welche Aussage über Vektoren im R^n ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie parallel sind.

Answer

Ein Vektor ist ein geordnetes n-Tupel reeller Zahlen.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die eine Basis des Vektorraums bilden.

Question 9

Welches der folgenden Tupel stellt keinen Vektor im ℝ³ dar, da es keinen additiven Inversen besitzt?

Accepted Answer

(0, 0, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(-1, -2, -3)

Answer

(√2, √3, √5)

Question 10

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 11

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

{x + y = 0, 2x + 2y = 0}

Answer

{x + y = 1, x - y = 2}

Answer

{2x - y = 3, x + 2y = 7}

Answer

{3x + 4y = 12, 6x + 8y = 24}

Question 12

Welche der folgenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist für große Systeme effizient?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Regel von Cramer

Answer

Inversenmatrix-Methode

Answer

Substitutionsmethode

Question 13

Welcher der folgenden Vektorräume ist nicht endlichdimensional?

Accepted Answer

Der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]

Answer

Der Vektorraum aller Polynome vom Grad ≤ n

Answer

Der Vektorraum aller Matrizen der Größe m x n

Answer

Der Vektorraum aller rationalen Zahlen

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zum Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer größer oder gleich der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten.

Question 15

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a = [1, 2, 3] und b = [4, 5, 6]

Accepted Answer

18

Answer

12

Answer

24

Answer

30

Question 16

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 17

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren?

Accepted Answer

a · b = |a| · |b| · cos(α)

Answer

a · b = |a| · |b| · sin(α)

Question 18

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 19

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

det(A) = a11 · a22 - a12 · a21

Answer

det(A) = a11 + a22

Question 20

Welche Aussage über Vektoren im R³ ist falsch?

Accepted Answer

Vektoren sind immer linear unabhängig.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren können mit Zahlen multipliziert werden.

Answer

Vektoren haben eine Länge und eine Richtung.

Question 21

Frage: Gegeben sei die Matrix

$$A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3  4 & 5 & 6  7 & 8 & 9 end{pmatrix}$$.

Bestimmen Sie den Eigenwert von A mit dem größten Betrag (Betrag: Betrag einer komplexen Zahl).

Accepted Answer

9

Answer

1

Answer

3

Question 22

Unter welchen Bedingungen ist eine Matrix invertierbar? (Definition: Eine Matrix, die eine Inverse besitzt)

Accepted Answer

Wenn ihre Determinante ungleich null ist

Answer

Wenn sie eine quadratische Matrix ist

Answer

Wenn sie nur positive Einträge hat

Answer

Wenn ihre Spaltenvektoren linear abhängig sind

Question 23

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation? (Definition: Eine Abbildung, die lineare Operationen bewahrt)

Accepted Answer

f(x) = ax + b

Answer

f(x) = x ^ 2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e ^ x

Question 24

Was ist die Dimension des Vektorraums der reellen Polynome vom Grad n? (Definition: Die Anzahl der Basisvektoren eines Vektorraums)

Accepted Answer

n + 1

Answer

n

Answer

2n

Answer

n ^ 2

Question 25

Welche der folgenden Matrizen ist eine orthogonale Matrix? (Definition: Eine Matrix, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist)

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Question 26

Welches der folgenden Tripel stellt einen Vektor im dreidimensionalen Raum dar?

Accepted Answer

(2, 3, 4)

Answer

(2, 3)

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

(2, 3, 4, 5)

Question 27

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix der Ordnung 2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Question 28

Welche Aussage über lineare Abhängigkeit von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sind drei Vektoren linear unabhängig, dann kann keiner von ihnen als Linearkombination der anderen beiden dargestellt werden.

Answer

Sind zwei Vektoren linear abhängig, dann ist ihre Summe der Nullvektor.

Answer

Sind drei Vektoren linear unabhängig, dann ist ihre Summe niemals der Nullvektor.

Answer

Sind zwei Vektoren linear abhängig, dann ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.

Question 29

Welches der folgenden Systeme linearer Gleichungen hat genau eine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 2, x - y = 0

Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

x + y = 2, x - y = 2

Answer

x + y = 2, 3x + 3y = 6

Question 30

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist inkonsistent (hat keine Lösung)?

Accepted Answer

x + 2y = 5, 2x + 4y = 10, x + 2y = 7

Answer

x + y = 5, x - y = 10

Answer

2x + 4y = 10, 4x + 8y = 0

Answer

x + 2y = 5, x + 2y = 5

Question 31

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = Ax für eine Matrix A

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 32

Welche der folgenden Matrizen ist eine unitäre Matrix?

Accepted Answer

[[cos(α), sin(α)], [-sin(α), cos(α)]]

Answer

[[a, b], [c, d]]

Answer

[[a + bi, b + di], [-c - di, a - bi]]

Answer

[[a + bi, c + di], [-c + di, a - bi]]

Question 33

Welches der folgenden Objekte ist ein Vektor?

Accepted Answer

Eine geordnete Menge von Zahlen, die eine Größe und eine Richtung beschreiben

Answer

Eine Gleichung, die zwei Terme miteinander verbindet

Answer

Eine Funktion, die eine Variable auf eine andere abbildet

Answer

Eine Matrix, eine rechteckige Anordnung von Zahlen

Question 34

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall sonst

Answer

Eine Matrix mit gleichen Einträgen

Answer

Eine Matrix mit ausschließlich positiven Einträgen

Question 35

Wie viele Elemente hat ein Vektor der Dimension 5?

Accepted Answer

5

Answer

4

Answer

1

Answer

2

Question 36

Welche der folgenden Operationen ist für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation

Answer

Division von Vektoren

Answer

Multiplikation von Vektoren

Question 37

Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

(a + b) * (c + d)

Answer

a + b + c + d

Answer

a * b * c * d

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Matrizen können addiert und subtrahiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben, und mit Zahlen multipliziert werden

Answer

Matrizen sind immer quadratisch

Answer

Matrizen können immer miteinander multipliziert werden

Question 39

Was besagt der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Spalten der Matrix

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix

Question 40

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen

Answer

Die Summe der Elemente aller Zeilen

Answer

Die Summe der Elemente aller Spalten

Question 41

Welches der folgenden Objekte besitzt sowohl Größe als auch Richtung?

Accepted Answer

Ein Vektor

Answer

Eine reelle Zahl

Answer

Eine Matrix

Question 42

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, deren Nichtdiagonalelemente alle Null sind

Answer

Eine Matrix, deren Determinante 1 ist

Answer

Eine Matrix, deren Inverse gleich ihr selbst ist

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über skalare Multiplikation von Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Das Produkt einer Matrix A mit einem Skalar c ergibt eine Matrix mit allen Elementen von A multipliziert mit c

Answer

Das Produkt zweier skalarer Matrizen ist eine skalar Matrix

Answer

Die skalare Multiplikation einer Matrix mit einer anderen Matrix ist kommutativ

Question 44

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist nicht linear?

Accepted Answer

Quadratische Funktion f(x) = x^2

Answer

Projektion auf eine Gerade

Answer

Drehung um einen Winkel

Question 45

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 46

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Question 47

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 5]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 3]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Question 48

Welches der folgenden Vektorpaare ist orthogonal?

Accepted Answer

[(1, 0), (0, 1)]

Answer

[(2, 3), (4, 6)]

Answer

[(1, 1), (1, 1)]

Question 49

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[0, 1, 2], [1, 2, 3], [2, 3, 4]]

Answer

[[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 1]]

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch** über Vektoren?

Accepted Answer

Vektoren sind immer parallel zur x-Achse.

Answer

Vektoren haben eine Richtung und eine Länge.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Question 51

Gegeben seien die Vektoren  **a** = (2, 1) und **b** = (-1, 3). Was ist das Ergebnis von **a** + **b**?

Accepted Answer

(1, 4)

Answer

(-2, 2)

Answer

(3, 4)

Question 52

Was ist die Länge des Vektors **v** = (4, -3)?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

7

Answer

-1

Question 53

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 54

Gegeben seien die Matrizen A = [[2, 1], [3, 4]] und B = [[1, 0], [2, 1]]. Was ist das Ergebnis von A * B?

Accepted Answer

[[4, 1], [11, 4]]

Answer

[[2, 1], [6, 5]]

Answer

[[2, 0], [6, 4]]

Answer

[[3, 1], [5, 4]]

Question 55

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Matrizen multipliziert werden können?

Accepted Answer

Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein.

Answer

Die Matrizen müssen quadratisch sein.

Answer

Die Matrizen müssen die gleiche Dimension haben.

Question 56

Wie lautet die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]?

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

6

Answer

0

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** über die Inverse einer Matrix?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Inverse einer Matrix kann durch Vertauschen von Zeilen und Spalten berechnet werden.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer gleich der Transponierten.

Question 58

Ein System linearer Gleichungen kann mit Hilfe von Matrizen dargestellt werden. Welches Konzept der linearen Algebra wird verwendet, um dieses System zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Determinante

Answer

Matrixmultiplikation

Answer

Vektoraddition

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden, aber nicht multipliziert.

Answer

Vektoren haben eine Richtung und eine Länge.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Question 60

Gegeben sind die Vektoren a = (2, 1) und b = (-1, 3). Was ist der Vektor a + b?

Accepted Answer

(1, 4)

Answer

(3, 4)

Answer

(-2, 2)

Answer

(1, 2)

Question 61

Welche Matrix ergibt sich aus der Multiplikation von A = [[1, 2], [3, 4]] mit B = [[5, 6], [7, 8]]?

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[5, 12], [21, 32]]

Answer

[[12, 18], [24, 36]]

Answer

[[6, 8], [14, 16]]

Question 62

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse der Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]?

Accepted Answer

[[3/2, -1/2], [-2, 1]]

Answer

[[1/2, -1/2], [-2, 1]]

Answer

[[3, -1], [-4, 2]]

Answer

[[2, -1], [-4, 3]]

Question 63

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im Raum?

Accepted Answer

r(t) = a + tb, wobei a und b Vektoren sind und t ein Skalar ist.

Answer

x² + y² + z² = r², wobei r eine Konstante ist.

Answer

ax + by + cz = d, wobei a, b, c, und d Konstanten sind.

Question 64

Wie lautet die Determinante der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

-2

Answer

2

Answer

-10

Answer

10