Grenzwerte verstehen: Interaktive Übungen und Quizze für Klasse 13

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = π/2 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 2

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit |x - a| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

Für jede δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |f(x) - L| < ε gilt: |x - a| < δ.

Answer

Für jedes δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |x - a| < ε gilt: |f(x) - L| < δ.

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = sin(x)/x

Question 5

Berechnen Sie den Limes inferior von f(x) = (sin x)/x für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

nicht definiert

Question 6

Berechnen Sie den Limes superior von f(x) = 1/(x^2 - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

nicht definiert

Question 7

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert **nicht**?

Accepted Answer

lim_(x→0) (1 + x)^(1/x)

Answer

lim_(x→∞) 1 / x

Answer

lim_(x→0) sin(x) / x

Answer

lim_(x→π/2) tan(x)

Question 8

Berechnen Sie den Limes superior von f(x) = 1 / x^2 für x gegen 0:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

-∞

Answer

1

Question 9

Ist die Funktion f(x) = |x| im Punkt x = 0 **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur linksseitig

Answer

Nur rechtsseitig

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist im Punkt x = 1 **stetig**?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = sqrt(x - 1)

Answer

f(x) = |x| / |x - 1|

Question 11

Ist die Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 im Punkt x = -1 **definiert**?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur für x > -1

Answer

Nur für x < -1

Question 12

Grenzwertberechnung: Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1)/(x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 13

Anwendung: Welcher der folgenden Grenzwerte gilt für f(x) = (sin(x) + 1) / (cos(x) - 1) für x gegen π/2?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 1.

Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich groß.

Question 14

Welke van de volgende functies is niet differentieerbaar in het punt x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin x

Question 15

Welke van de volgende functies heeft een sprong in het punt x = 2?

Accepted Answer

f(x) = {x voor x ≤ 2, x + 2 voor x > 2}

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = sin x

Answer

f(x) = eˣ

Question 16

Wie lautet die Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts für die Funktion f(x) gegen x gegen a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Für jedes δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein a > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Question 17

Welcher der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwerts einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x beliebig nahe an a von links oder rechts heranrückt

Answer

Der Wert, den f(x) annimmt, wenn x gleich a ist

Answer

Der größte Wert, den f(x) im Intervall [a - ε, a + ε] annimmt

Answer

Der kleinste Wert, den f(x) im Intervall [a - ε, a + ε] annimmt

Question 18

Wann ist eine Funktion f(x) an der Stelle a stetig?

Accepted Answer

Wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist

Answer

Wenn der Limes superior von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist

Answer

Wenn die Funktion an der Stelle a eine Polstelle hat

Answer

Wenn die Ableitung der Funktion an der Stelle a nicht definiert ist

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

x³

Answer

x²

Answer

sinx

Question 20

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x-1)² für x gegen 1.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 21

Welche Aussage ist korrekt für die Funktion f(x) = 1/(x-2) an der Stelle x=2?

Accepted Answer

weder stetig noch differenzierbar

Answer

stetig

Answer

differenzierbar

Answer

sowohl stetig als auch differenzierbar

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen definiert den Limes superior einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

sup$\{ f(x) : x \in [a-ε, a+ε] \}$, wobei ε > 0 beliebig gewählt werden kann

Answer

inf$\{ f(x) : x \in [a-ε, a+ε] \}$, wobei ε > 0 beliebig gewählt werden kann

Answer

lim$\{ f(x) : x \to a \}$ - lim$\{ f(x) : x \to a \}$

Answer

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, wenn h gegen 0 geht

Question 23

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle a stetig, wenn:

Accepted Answer

der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist

Answer

der Limes superior und der Limes inferior an der Stelle a gleich sind

Answer

die Ableitung von f(x) an der Stelle a existiert

Answer

der Graph von f(x) keinen Sprung an der Stelle a aufweist

Question 24

Welche Aussage über die Funktion $f(x) = \begin{cases} x^2, & 	ext{wenn } x \le 1 \ 2x-1, & 	ext{wenn } x > 1 end{cases}$ ist korrekt?

Accepted Answer

$f(x)$ hat an der Stelle x = 1 einen Knick

Answer

$f(x)$ ist stetig an der Stelle x = 1

Answer

$f(x)$ ist differenzierbar an der Stelle x = 1

Answer

$f(x)$ ist an der Stelle x = 1 unendlich

Question 25

Welcher Ausdruck ist der Limes superior von $f(x) = x^2$ für x gegen unendlich?

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

-unendlich

Answer

existiert nicht

Question 26

Welche Funktion hat an der Stelle x = π/2 eine vertikale Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Der Limes superior und der Limes inferior einer Funktion sind immer gleich.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion muss nicht existieren.

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig sein, auch wenn sie dort nicht differenzierbar ist.

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle differenzierbar sein, auch wenn sie dort nicht stetig ist.

Question 28

Berechnen Sie den Grenzwert von (x^2 - 1) / (x - 1) als x gegen 1 strebt:

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

unbestimmt

Question 29

Was ist der Limes superior von {1, 2, 3, ...}?

Accepted Answer

unendlich

Answer

1

Answer

3

Answer

existiert nicht

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 31

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε.

Answer

f(a) = L

Answer

Die Differenz f(x) - L nähert sich 0, wenn x sich a nähert.

Answer

lim f(x) = L bedeutet, dass f(x) sich L beliebig nähert, wenn x sich a nähert.

Question 32

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x² ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht stetig, aber differenzierbar.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar an der Stelle x = 0.

Question 33

Der Limes superior der Folge a_n = n / (n + 1) ist:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 34

Die Funktion f(x) = e^x hat im Punkt x = 0 einen:

Accepted Answer

horizontalen Asymptoten

Answer

Wendepunkt

Answer

Sattelpunkt

Answer

vertikalen Asymptoten

Question 35

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim(x->a) f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0: 0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

Answer

lim(x->a) f(x) = L ⇔ f(a) = L

Answer

lim(x->a) f(x) = L ⇔ f(x) = L in einer Umgebung von a

Question 36

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = x² im Punkt (1, 1).

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x²

Answer

y = x

Answer

y = 2x + 1

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist in x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e<sup>x</sup>

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 38

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn sich die unabhängige Variable dieser Stelle beliebig annähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, den die Funktion an der Stelle annimmt.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über den Limes superior und inferior einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Limes superior und der Limes inferior einer Funktion können existieren, auch wenn die Funktion keinen Grenzwert hat.

Answer

Der Limes superior und der Limes inferior sind immer gleich.

Answer

Der Limes superior und der Limes inferior existieren immer.

Question 41

Welche der folgenden Anwendungen von Grenzwerten ist relevant für die Berechnung der Fläche unter einer Kurve?

Accepted Answer

Riemannsche Summen

Answer

Taylor-Reihen

Answer

Differenzialgleichungen

Answer

L'Hôpitalsche Regel

Question 42

Was ist der Grenzwert der Folge $a_n = \frac{n^2 + 1}{n^2}$ für $n 	o \infty$?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

$\infty$

Question 43

Welche der folgenden Aussagen zur Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle $x_0$ ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Funktion muss an der Stelle $x_0$ definiert sein, aber der Grenzwert muss nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert der Funktion muss an der Stelle $x_0$ existieren und gleich dem Funktionswert sein.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle $x_0$ definiert sein.

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig an der Stelle $x = 0$?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{1}{x}$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = |x|$

Answer

$f(x) = sin(x)$

Question 45

Welche der folgenden Funktionen hat einen endlichen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

$f(x) = sin(x)$

Answer

$f(x) = e^{1/x}$

Answer

$f(x) = x^{-1/2}$

Answer

$f(x) = \frac{1}{x}$

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Berechnung des Grenzwerts einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann immer durch Einsetzen der Stelle $x_0$ berechnet werden.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann durch die Faktorisierung des Zählers und Nenners berechnet werden.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann durch die Anwendung der Regel von L'Hospital berechnet werden.

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle $x = 0$?

Accepted Answer

$f(x) = |x|$

Answer

$f(x) = sin(x)$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = x^3$

Question 48

Welche Aussage über den Grenzwert einer Folge ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Folge ist immer eine reelle Zahl.

Answer

Der Grenzwert einer Folge kann ein endlicher Wert sein.

Answer

Der Grenzwert einer Folge kann unendlich sein.

Question 49

Die Folge (a_n) mit a_n = (n^2 + 1) / (n^2) konvergiert gegen:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 50

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a definiert sein.

Question 51

Die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist definiert als:

Accepted Answer

Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0.

Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Der Wert der Funktion f(x) an der Stelle x = a.

Question 52

Die Folge (a_n) mit a_n = (-1)^n konvergiert:

Accepted Answer

nicht.

Answer

gegen 1.

Answer

gegen 0.

Answer

gegen -1.

Question 53

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = 1/x für x gegen 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 54

Die Folge (a_n) mit a_n = (n + 1) / n konvergiert gegen:

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

-1

Answer

0