Zufallsvariablen in der Mathematik: Interaktive Lernquizze für Klasse 12

Question 1

Welche Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Dichtefunktion

Answer

Treppenfunktion

Answer

Verteilungsfunktion

Answer

Konstante Funktion

Question 2

Was ist die zentrale Eigenschaft des Erwartungswerts einer stetigen Zufallsvariable?

Accepted Answer

Entspricht dem Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer

Kann negative Werte annehmen

Answer

Muss eine ganze Zahl sein

Answer

Ist immer größer als die Varianz

Question 3

Welche Kenngröße misst die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert?

Accepted Answer

Varianz

Answer

Wahrscheinlichkeit

Answer

Anzahl möglicher Werte

Answer

Mittelwert

Question 4

Welche der folgenden Verteilungen repräsentiert eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 5

Was ist der wesentliche Unterschied zwischen einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und einer Dichtefunktion?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt Werte für einzelne Ergebnisse an, Dichtefunktion für Intervalle

Answer

Dichtefunktion gibt Werte für einzelne Ergebnisse an, Wahrscheinlichkeitsfunktion für Intervalle

Answer

Beide Funktionen sind identisch

Answer

Es gibt keinen Unterschied

Question 6

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Element einer Grundmenge eine reelle Zahl zu. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Definition einer Zufallsvariablen

Answer

Eigenschaft einer diskreten Zufallsvariablen

Answer

Charakteristik einer stetigen Zufallsvariablen

Answer

Beziehung zwischen Erwartungswert und Varianz

Question 7

Welche der folgenden Zufallsvariablen nimmt nur endlich viele Werte an?

Accepted Answer

Anzahl der geworfenen Punkte auf einem Würfel

Answer

Länge einer Person in Metern

Answer

Zeit zur Lösung einer Aufgabe

Answer

Temperatur einer Stadt

Question 8

Welche Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF): P(X = x)

Answer

Dichtefunktion (PDF): f(x)

Answer

Verteilungsfunktion (CDF): F(x)

Answer

Momenten-erzeugende Funktion (MGF): M(t)

Question 9

Welche Zufallsvariable ist eine binomiale Zufallsvariable?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in einer Reihe unabhängiger Versuche

Answer

Zeit bis zum nächsten Gewitter

Answer

Größe eines Baumes

Answer

Anzahl der geworfenen Punkte auf einem Würfel

Question 10

Welche Aussage beschreibt eine diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der geworfenen Sechser beim zehnmaligen Werfen eines Würfels

Answer

Die Zeit, bis ein Bus an der Haltestelle eintrifft

Answer

Das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person

Answer

Der Kurswert einer zufällig ausgewählten Aktie

Question 11

Berechne die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligem Werfen eines Würfels eine Sechs zu erzielen.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/4

Question 12

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 13

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beschreibt, wie stark die Zufallsvariable um ihren Mittelwert streut.

Answer

Sie kann auch negative Werte annehmen.

Answer

Sie ist immer größer als der Erwartungswert.

Answer

Sie ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 14

Welche Dichtefunktion beschreibt eine Normalverteilung?

Accepted Answer

f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))

Answer

f(x) = λ * e^(-λx)

Answer

f(x) = (1/n) für x = 1, ..., n

Answer

f(x) = (1/2) für x = 0 und f(x) = 0 sonst

Question 15

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist der Mittelwert aller möglichen Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Er kann negative Werte annehmen.

Answer

Er ist immer größer als die Varianz.

Answer

Er ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine diskrete Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) zu?

Accepted Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt immer 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts kann größer als 1 sein.

Answer

Die Werte von X können nur ganze Zahlen annehmen.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion muss stetig sein.

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist eine gültige Dichtefunktion für eine stetige Zufallsvariable X?

Accepted Answer

f(x) = e^(-x^2)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x)?

Accepted Answer

E(X) = Σ[x * p(x)]

Answer

E(X) = ∫[x * f(x)] dx

Answer

E(X) = Var(X)

Answer

E(X) = Median(X)

Question 19

Gegeben sei die Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) = 1/3 für x = 1, 2, 3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer oder gleich 2 ist?

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

1

Answer

0

Question 20

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Binomialverteilung?

Accepted Answer

Anzahl der Treffer bei n Würfen eines fairen Würfels

Answer

Zeit bis zum ersten Ereignis in einem Poisson-Prozess

Answer

Länge eines Intervalls zwischen zwei Ankunftszeiten in einem Erneuerungsprozess

Answer

Temperatur in einer Stadt an einem zufälligen Tag

Question 21

Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Exponentialverteilung mit Parameter λ = 2 an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

2e^(-2)

Answer

1/2

Answer

2

Answer

0

Question 22

Wie lautet die Formel zur Standardisierung einer Zufallsvariablen X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ?

Accepted Answer

Z = (X - μ) / σ

Answer

Z = (X + μ) / σ

Answer

Z = σ * (X - μ)

Answer

Z = μ * (X - σ)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine diskrete Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Kann nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen.

Answer

Kann beliebige reelle Werte annehmen.

Answer

Hat immer eine stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Answer

Hat immer eine Sprungfunktion als Dichtefunktion.

Question 24

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Er entspricht dem Mittelwert der Zufallsvariablen.

Answer

Er gibt den wahrscheinlichsten Wert der Zufallsvariablen an.

Answer

Er kann negative Werte annehmen.

Answer

Er ist immer eine ganze Zahl.

Question 25

Welche der aufgeführten Verteilungen ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten zählt?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 26

Welche der aufgeführten Verteilungen ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable X, die die Zeit bis zum Eintreten eines bestimmten Ereignisses misst?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 27

Welche der aufgeführten Formeln gibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p korrekt wieder?

Accepted Answer

P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Answer

P(X = k) = n * p^k * (1-p)^(n-k)

Answer

P(X = k) = (n k) * p^(n-k) * (1-p)^k

Answer

P(X = k) = n * p^(n-k) * (1-p)^k

Question 28

Welche der aufgeführten Formeln gibt die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ korrekt wieder?

Accepted Answer

f(x) = λ * e^(-λx)

Answer

f(x) = λ * e^λx

Answer

f(x) = e^(-λx)

Answer

f(x) = e^λx

Question 29

Eine Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x) = (1 / 4)^x für x = 0, 1, 2, ... Wie groß ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

4 / 3

Answer

2

Answer

3 / 2

Answer

4

Question 30

Welche der folgenden Dichtefunktionen beschreibt eine Normalverteilung?

Accepted Answer

f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))

Answer

f(x) = λ * e^(-λx)

Answer

f(x) = (1 / 4)^x für x = 0, 1, 2, ...

Answer

f(x) = (1 / 2) für -1 ≤ x ≤ 1

Question 31

Welche Aussage zur Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann einen negativen Wert annehmen.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann größer als 1 sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist stets eine ganze Zahl.

Question 32

Welche Aussage über eine diskrete Zufallsvariable X ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Menge der möglichen Werte von X ist endlich oder abzählbar unendlich.

Answer

Die Menge der möglichen Werte von X ist ein Intervall auf der reellen Zahlenachse.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X ist eine lineare Funktion.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist eine Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

f(x) = e^(-x) für x > 0

Answer

f(x) = sin(x) für x > 0

Answer

f(x) = 1/x für x > 0

Answer

f(x) = x^2 für x > 0

Question 34

Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit Erwartungswert μ = 5 und Varianz σ^2 = 25. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 3 und 7 annimmt?

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,3173

Answer

0,9545

Answer

0,0455

Question 35

Welche Transformation einer Zufallsvariablen X führt zu einer neuen Zufallsvariablen Y mit Erwartungswert 0?

Accepted Answer

Y = X - μ

Answer

Y = log(X)

Answer

Y = X * μ

Question 36

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Werte der Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Varianz hat die gleiche Einheit wie der Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer kleiner oder gleich dem Erwartungswert.

Question 37

Die Lebensdauer von Glühbirnen folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne länger als 5 Stunden hält?

Accepted Answer

0,3297

Answer

0,0500

Answer

0,5000

Answer

0,1813

Question 38

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist:

Accepted Answer

Eine nicht-negative Funktion, die sich über die gesamte reelle Achse integriert zu 1

Answer

Eine Treppenfunktion

Answer

Eine monoton wachsende Funktion

Answer

Eine eindeutige Funktion

Question 39

Was gibt der Erwartungswert einer Zufallsvariablen an?

Accepted Answer

Den gewichteten Mittelwert der möglichen Werte der Zufallsvariablen

Answer

Prozent

Answer

Eins

Answer

Quadratmeter

Question 40

Die Varianz einer Zufallsvariablen misst:

Accepted Answer

Die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt

Answer

Die Größe der Zufallsvariablen

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte

Question 41

Welche Aussage über die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Dichtefunktion zwischen zwei beliebigen Punkten entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert zwischen diesen beiden Punkten annimmt.

Answer

Die Dichtefunktion ist immer symmetrisch um den Erwartungswert.

Answer

Die Dichtefunktion ist immer eine Parabel.

Question 42

Die Varianz einer Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f(x) = x für 0 ≤ x ≤ 1 beträgt:

Accepted Answer

1/12

Answer

1/4

Answer

1/6

Answer

1/2

Question 43

Eine Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion f(x) = e^(-x) für x ≥ 0. Wie groß ist ihre Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als 1 anzunehmen?

Accepted Answer

0,368

Answer

0,865

Answer

0,632

Answer

0,135

Question 44

In einer Umfrage wird die Zufallsvariable X als Wartezeit auf einen Bus in Minuten gemessen. Welche Aussage über die Dichtefunktion von X ist plausibel?

Accepted Answer

Sie hat ihr Maximum bei x = 0 und fällt dann exponentiell ab.

Answer

Sie ist linear ansteigend.

Answer

Sie ist konstant für alle x.

Question 45

Welche Aussage beschreibt eine discrete Zufallsvariable zutreffend?

Accepted Answer

Sie nimmt nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte an.

Answer

Ihre Dichtefunktion ist eine stetige Funktion.

Answer

Ihr Erwartungswert kann negativ werden.

Question 46

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts E(X) einer discreten Zufallsvariable X?

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * p(x)) für alle möglichen Werte von x

Answer

E(X) = Var(X) + p(X = 0)

Answer

E(X) = ∫(x * f(x)) für alle möglichen Werte von x

Answer

E(X) = s^2 * p(X = μ)

Question 47

Welche Aussage zur Normalverteilung ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist eine stetige Verteilung, die durch ihren Erwartungswert und ihre Standardabweichung bestimmt wird.

Answer

Sie ist eine discrete Verteilung, die nur positive Werte annehmen kann.

Question 48

Eine Zufallsvariable X folgt einer Normalverteilung mit Erwartungswert μ = 5 und Standardabweichung σ = 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 3 und 7 liegt.

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,9545

Answer

0,3173

Answer

0,5000

Question 49

Die Zufallsvariable X gibt die gewürfelte Augenzahl beim Würfeln mit einem fairen Würfel an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.

Accepted Answer

P(X = k) = 1 / 6 für k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Answer

P(X = k) = k / 21 für k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Answer

P(X = k) = k / 36 für k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Answer

P(X = k) = 1 / 5 für k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Question 50

Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: P(X = 1) = 0,4, P(X = 2) = 0,3, P(X = 3) = 0,2, P(X = 4) = 0,1. Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

Accepted Answer

E(X) = 2,1

Answer

E(X) = 2,5

Answer

E(X) = 2,3

Answer

E(X) = 1,9

Question 51

Welche der folgenden Aussagen bezüglich der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, nicht von dem Wert abhängt, den Y annimmt, und umgekehrt.

Answer

Zwei Zufallsvariablen sind immer unabhängig, wenn sie die gleiche Verteilung haben.

Question 52

Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit folgender Kovarianz: Cov(X, Y) = -5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen X und Y?

Accepted Answer

X und Y sind negativ korreliert.

Answer

X und Y sind nicht korreliert.

Answer

X und Y sind positiv korreliert.

Answer

Die Korrelation kann anhand der Kovarianz nicht bestimmt werden.

Question 53

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Die Augenzahlen auf dem Würfel werden addiert. Welche Art von Zufallsvariable ist das?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Binomialverteilte Zufallsvariable

Answer

Exponentiellverteilte Zufallsvariable

Answer

Stetige Zufallsvariable

Question 54

Die Lebensdauer von Glühbirnen ist annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von 1000 Stunden und einer Standardabweichung von 100 Stunden. Welche Wahrscheinlichkeit hat eine Glühbirne, länger als 1100 Stunden zu halten?

Accepted Answer

Ca. 15,87%

Answer

Ca. 68,27%

Answer

Ca. 31,73%

Answer

Ca. 84,13%

Question 55

Eine Zufallsvariable X hat den Erwartungswert E(X) = 5 und die Varianz Var(X) = 4. Was ist die Varianz der Zufallsvariablen Y = 2X + 3?

Accepted Answer

16

Answer

4

Answer

8

Answer

36

Question 56

Eine Münze wird viermal geworfen. Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Kopfseiten. Welche Wahrscheinlichkeit hat X, genau zwei Kopfseiten zu zeigen?

Accepted Answer

3/8

Answer

1/4

Answer

1/8

Answer

1/2

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert in einem bestimmten Intervall annimmt, ist die Fläche unter der Dichtefunktion über diesem Intervall.

Answer

Die Dichtefunktion gibt den spezifischen Wert der Zufallsvariable an.

Question 58

Eine Maschine füllt Flaschen mit einem Getränk. Die Füllmenge ist annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von 1 Liter und einer Standardabweichung von 0,05 Liter. Welche Wahrscheinlichkeit hat eine Flasche, weniger als 0,95 Liter zu enthalten?

Accepted Answer

Ca. 2,28%

Answer

Ca. 68,27%

Answer

Ca. 34,13%

Answer

Ca. 97,72%

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über den Erwartungswert einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Wert, den die Zufallsvariable auf lange Sicht annimmt.

Answer

Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichste Wert, den die Zufallsvariable annimmt.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über diskrete Zufallsvariablen ist **falsch**?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariablen können beliebige Werte annehmen.

Answer

Diskrete Zufallsvariablen können gezählt werden.

Answer

Diskrete Zufallsvariablen haben abzählbar viele mögliche Werte.

Question 61

Eine Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Kopfseiten. Welchen Wert kann X **nicht** annehmen?

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 62

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X ist gegeben durch P(X=k) = (1/2)^k für k = 0, 1, 2, ... . Was ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

1

Answer

0,5

Answer

2

Answer

∞

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über stetige Zufallsvariablen ist **richtig**?

Accepted Answer

Stetige Zufallsvariablen können jeden Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls annehmen.

Answer

Stetige Zufallsvariablen können gezählt werden.

Answer

Stetige Zufallsvariablen haben abzählbar viele mögliche Werte.

Question 64

Die Körpergröße von Schülern in einer Klasse wird durch eine stetige Zufallsvariable X modelliert. Welche Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler eine Körpergröße zwischen 1,70 m und 1,80 m hat?

Accepted Answer

Dichtefunktion

Answer

Kumulative Verteilungsfunktion

Answer

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Answer

Verteilungsfunktion