Vektorräume: Grundlagen und Anwendungen in der Mathematik

Question 1

Wie viele Basen hat der Vektorraum R³?

Accepted Answer

Unendlich viele

Answer

1

Question 2

Welcher der folgenden Vektoren ist keine Linearkombination von (1, 2, 3) und (4, 5, 6)?

Accepted Answer

(9, 12, 15)

Answer

(7, 9, 11)

Answer

(8, 10, 12)

Answer

(10, 12, 14)

Question 3

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = (x², y²)

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|)

Question 4

Sind die Vektoren v₁ = (1, 1, 0), v₂ = (1, 0, 1) und v₃ = (0, 1, 1) im Vektorraum R³ linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Question 5

Welcher der folgenden Vektoren ist nicht parallel zu dem Vektor (2, -1, 1)?

Accepted Answer

(1, 0, 1)

Answer

(4, -2, 2)

Answer

(0, -1, 2)

Question 6

Der Nullvektor ist ein Element jedes Vektorraums.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 7

In welchem Vektorraum bildet die Menge { (1, 0), (0, 1) } eine Basis?

Accepted Answer

R²

Answer

R³

Answer

R⁴

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge mit zwei Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) und den dazugehörigen Eigenschaften.

Answer

Eine Menge mit einer Operation (Addition) und den dazugehörigen Eigenschaften.

Answer

Eine Menge, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge, die unter Addition und Skalarmultiplikation assoziativ ist.

Question 9

Welche der folgenden Vektoren sind linear unabhängig in ℝ²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (1, -1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Question 10

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für ℝ³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}

Question 11

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist immer linear abhängig.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Der Nullvektor ist ein Element jedes Vektorraums.

Answer

Jeder Vektorraum hat eine Basis.

Question 13

Welche der folgenden Vektoren sind linear unabhängig im R³?

Accepted Answer

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Answer

(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)

Answer

(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)

Answer

(1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1)

Question 14

Wie viele linear unabhängige Vektoren kann eine Basis eines Vektorraums der Dimension 5 haben?

Accepted Answer

5

Answer

2

Answer

3

Answer

4

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Längen gleich sind.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Winkelbisektoren senkrecht aufeinander stehen.

Answer

Es gibt keine orthogonalen Vektoren in einem Vektorraum.

Question 16

Ein Untervektorraum von R³ ist eine Teilmenge von R³ mit den Eigenschaften:

Accepted Answer

Sie ist abgeschlossen unter Addition und skalaren Vielfachen.

Answer

Sie enthält nur den Nullvektor.

Answer

Sie hat die gleiche Dimension wie R³.

Answer

Sie ist immer linear unabhängig.

Question 17

Eine Basis für R² ist ein System von Vektoren, die:

Accepted Answer

Linear unabhängig und ihre Linearkombinationen spannen R² auf.

Answer

Linear abhängig und ihre Linearkombinationen spannen R² auf.

Answer

Linear unabhängig und ihre Linearkombinationen spannen nur einen Teil von R² auf.

Answer

Linear abhängig und ihre Linearkombinationen spannen nur einen Teil von R² auf.

Question 18

Die Dimension eines Vektorraums ist:

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Anzahl der Komponenten in jedem Vektor.

Answer

Die Anzahl der Untervektorräume.

Question 19

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die:

Accepted Answer

Vektoraddition und skalare Multiplikation erhält.

Answer

Nur skalare Multiplikation erhält.

Answer

Nur Vektoraddition erhält.

Answer

Weder Vektoraddition noch skalare Multiplikation erhält.

Question 20

Der Koordinatenvektor eines Vektors bezüglich einer geordneten Basis ist:

Accepted Answer

Ein Spaltenvektor mit den Komponenten des Vektors.

Answer

Eine Matrix mit den Komponenten des Vektors.

Answer

Ein Zeilenvektor mit den Komponenten des Vektors.

Answer

Ein Skalar mit den Komponenten des Vektors.

Question 21

Der Nullraum einer linearen Abbildung ist der:

Accepted Answer

Untervektorraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Untervektorraum aller Vektoren, die nicht auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Vektorraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Vektorraum aller Vektoren, die nicht auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 22

Der Rang einer Matrix ist:

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die minimale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Zeilen plus die Anzahl der Spalten.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 23

In einem Vektorraum V ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus einer Menge S:

Accepted Answer

Ein Untervektorraum von V.

Answer

Eine Teilmenge von V.

Answer

Eine Basis von V.

Answer

Die Menge aller Vektoren in V.

Question 24

Was versteht man unter einem Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit Addition und Skalarmultiplikation, die erfüllte Axiome aufweisen

Answer

Eine Menge von Zahlen mit Addition und Multiplikation

Answer

Eine Menge von Punkten mit Abstand und Winkel

Answer

Eine Menge von Funktionen mit Addition und Komposition

Question 25

Wie lautet die Dimension eines Vektorraums mit 3 linear unabhängigen Vektoren?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 26

Wann ist eine Teilmenge eines Vektorraums ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Wenn sie abgeschlossen ist bezüglich Addition und Skalarmultiplikation

Answer

Wenn sie den Nullvektor enthält

Answer

Wenn sie eine Basis für den Vektorraum enthält

Answer

Wenn sie endlich ist

Question 27

Welche Eigenschaften treffen auf Basen in einem Vektorraum zu?

Accepted Answer

Basen sind minimal erzeugende Systeme.

Accepted Answer

Basen sind maximal linear unabhängige Systeme.

Accepted Answer

Basen spannen den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Basen sind eindeutig bestimmt.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die die Regeln der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation erfüllen.

Answer

Eine Menge mit zwei Operationen, genannt Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die abgeschlossen sind unter Addition und Multiplikation.

Answer

Eine Menge von Punkten in einem Koordinatensystem.

Question 29

Welche Teilmenge eines Vektorraums ist ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Menge aller Vektoren, die Vielfache eines gegebenen Vektors sind

Answer

Menge aller Vektoren mit gerader erster Komponente

Answer

Menge aller Vektoren mit Länge 1

Answer

Menge aller Vektoren, die orthogonal zu einem gegebenen Vektor sind

Question 30

Welche Aussage ist äquivalent zu: 'Die Menge von Vektoren {v1, v2, ..., vn} bildet eine Basis eines Vektorraums'?

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig und spannen den Vektorraum auf.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig und spannen den Vektorraum auf.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, spannen den Vektorraum aber nicht auf.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig und spannen den Vektorraum nicht auf.

Question 31

Welche Aussage über eine orthogonale Basis ist falsch?

Accepted Answer

Die Vektoren haben die Länge 1.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Die Vektoren spannen den Vektorraum auf.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig.

Question 32

Welcher der folgenden Vektoren ist eine Linearkombination der Vektoren {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} in ℝ³?

Accepted Answer

(1, 1, 1)

Answer

(1, 0, 1)

Answer

(0, 0, 1)

Answer

(2, 1, 0)

Question 33

Bestimme die Dimension des Vektorraums, der von den Funktionen f(x) = x², g(x) = x³ und h(x) = x⁴ in ℝ[x] aufgespannt wird.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

3

Answer

1

Question 34

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.

Answer

Eine Menge von skalaren Werten, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition abgeschlossen ist.

Question 35

Wie viele linear unabhängige Vektoren können in einem Vektorraum mit Dimension 5 maximal vorhanden sein?

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

4

Answer

6

Question 36

Welche der folgenden Teilmengen eines Vektorraums ist eine Basis?

Accepted Answer

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen

Answer

Eine Menge aller Vielfachen eines Vektors

Answer

Eine Menge aller Linearkombinationen einer Menge linear abhängiger Vektoren

Answer

Die Menge aller Einheitsvektoren

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch? (Klasse 11, Mathematik, Vektorräume)

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind skalare Vielfache.

Answer

Eigenwerte einer diagonalisierbaren Matrix können komplex sein.

Answer

Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind immer reell.

Question 38

Welcher der folgenden Vektorräume ist isomorph zum Vektorraum der reellen Zahlen? (Klasse 11, Mathematik, Vektorräume)

Accepted Answer

Der Vektorraum der Polynome vom Grad 1

Answer

Der Vektorraum der reellen Zahlen der Länge 3

Answer

Der Vektorraum der komplexen Zahlen

Answer

Der Vektorraum der Matrizen 2x2

Question 39

Wie viele Basen hat der Vektorraum R⁴?

Accepted Answer

Unendlich viele

Answer

4

Answer

Abhängig von der Dimension des Vektorraums

Answer

Keine

Question 40

Welche der folgenden Aussagen trifft auf einen Vektorraum zu?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter den Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und ein Nullement enthält.

Answer

Eine Menge von Zahlen, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Question 41

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl aller Vektoren im Vektorraum.

Answer

Die Anzahl der Untervektorräume des Vektorraums.

Question 42

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = (ax + by, cx + dy)

Answer

f(x, y) = (1/x, 1/y)

Answer

f(x, y) = (x², y²)

Answer

f(x, y) = |x| + |y|

Question 43

Was ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die die Addition bewahrt

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die die Normen bewahrt

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die die Multiplikation bewahrt

Question 44

Welche der folgenden Teilmengen ist ein Untervektorraum des Vektorraums ℝ³?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + y + z = 0}

Answer

{(x, y, z) | xy = 0}

Answer

{(x, y, z) | x² + y² = 1}

Answer

{(x, y, z) | x > 0}

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über eine Basis eines Vektorraums ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie enthält den Nullvektor.

Answer

Ihre Anzahl ist eindeutig bestimmt.

Answer

Sie erzeugt den gesamten Vektorraum.

Answer

Sie ist linear unabhängig.

Question 46

Welche der folgenden Operationen ist **nicht** auf einem Vektorraum definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit Skalaren

Question 47

Welche der folgenden Eigenschaften beschreibt eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen?

Accepted Answer

Sie erhält die Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Answer

Sie ist immer injektiv.

Answer

Ihr Bild ist immer ein Untervektorraum.

Question 48

Was ist die charakteristische Eigenschaft eines vollständigen Vektorraums?

Accepted Answer

Jede Cauchy-Folge konvergiert.

Answer

Er ist isomorph zu ℝ³.

Answer

Er ist endlich-dimensional.

Answer

Er enthält eine Basis.

Question 49

Welche der folgenden Teilmengen eines Vektorraums V ist **immer** ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit Koeffizienten aus K.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu einem gegebenen Vektor sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit einer bestimmten Länge.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist eine **notwendige und hinreichende** Bedingung für die lineare Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren?

Accepted Answer

Die Determinante der Matrix, die diese Vektoren als Spalten hat, ist ungleich Null.

Answer

Die Summe der Vektoren ist der Nullvektor.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist eine **notwendige, aber nicht hinreichende** Bedingung dafür, dass eine Menge von Vektoren eine Basis für einen Vektorraum bildet?

Accepted Answer

Die Menge der Vektoren ist linear unabhängig.

Answer

Die Menge der Vektoren ist orthogonal.

Answer

Die Summe der Vektoren ist der Nullvektor.

Answer

Die Menge der Vektoren umfasst alle Vektoren des Vektorraums.

Question 52

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = Ax für eine feste Matrix A.

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 53

Welche Eigenschaft muss ein Vektorraum erfüllen, um endlichdimensional zu sein?

Accepted Answer

Er besitzt eine endliche Basis.

Answer

Er ist immer isomorph zu Rⁿ.

Answer

Er ist ein Unterraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums.

Question 54

Zu welchem mathematischen Gebiet gehören Vektorräume?

Accepted Answer

Lineare Algebra

Answer

Stochastik

Answer

Trigonometrie

Question 55

Was trifft auf die Bedeutung von Vektorräumen zu?

Accepted Answer

Sie sind eine abstrakte Struktur mit Anwendungen in vielen Bereichen.

Answer

Sie sind nur für theoretische Zwecke relevant.

Answer

Sie dienen nur der Beschreibung geometrischer Objekte.

Question 56

Was ist wahr über linear unabhängige Vektoren?

Accepted Answer

Der Nullvektor kann nicht Teil einer linear unabhängigen Menge sein.

Answer

Ihre Anzahl entspricht immer der Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie bestehen immer nur aus einem Vektor.

Question 57

Welche Operation ist im Vektorraum R³ nicht definiert?

Accepted Answer

Kreuzprodukt

Answer

Vektoraddition

Answer

Skalare Multiplikation

Answer

Skalarprodukt

Question 58

Was trifft auf den Kern einer linearen Abbildung zu?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Ausgangsvektorraums.

Answer

Seine Dimension ist immer gleich der Dimension des Bildvektorraums.

Answer

Er ist immer trivial (enthält nur den Nullvektor).

Answer

Er ist immer identisch mit dem Bildvektorraum.

Question 59

Was beschreibt den Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildes.

Answer

Die Anzahl der Vektoren im Kern.

Answer

Er ist invariant unter isometrischen Transformationen.

Answer

Er ist immer größer oder gleich dem Defekt.

Question 60

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge V mit zwei Operationen, der Addition und der Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge V, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge V mit einer definierten Distanz zwischen Elementen.

Answer

Eine Menge V, die alle linearen Kombinationen ihrer Elemente enthält.

Question 61

Welche Aussage ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit von Vektoren in einem Vektorraum?

Accepted Answer

Nur die triviale Linearkombination ergibt den Nullvektor.

Answer

Die Vektoren sind alle orthogonal zueinander.

Answer

Die Summe der Vektoren ist gleich dem Nullvektor.

Answer

Die Anzahl der Vektoren entspricht der Dimension des Vektorraums.

Question 62

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}

Question 63

Welche Aussage trifft auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie erhalten die linearen Operationen (Addition und Skalarmultiplikation).

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind nur für endlichdimensionale Vektorräume definiert.

Question 64

Welche Matrix repräsentiert eine lineare Abbildung vom Vektorraum R² nach R³?

Accepted Answer

((1, 2, 3), (4, 5, 6))

Answer

((1, 2), (3, 4), (5, 6))

Answer

((1, 2, 3), (4, 5))

Answer

((1, 0, 0), (0, 1, 0))