Integrale lernen: Grundlagen, Regeln und Anwendungen

Question 1

Berechnen Sie die Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) = x² - 2x + 1.

Accepted Answer

F(x) = (x³/3) - x² + x + C

Answer

F(x) = x³ - 2x² + x + C

Answer

F(x) = 2x³ - 4x² + 2x + C

Question 2

Welche Aussage definiert das Integral einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Es ist die Summe der unendlich kleinen Flächen unter dem Graphen von f(x).

Answer

Es ist die Änderungsrate der Funktion f(x).

Answer

Es ist die Länge des Graphen von f(x).

Answer

Es ist der mittlere Funktionswert über das Integrationsintervall.

Question 3

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x*e^x + C

Answer

1/e^x + C

Answer

e^(-x) + C

Question 4

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das Integral von ∫(x^2 + 2x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 5

Welches Verfahren wird genutzt, um den Flächeninhalt unter der Kurve von f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2 zu berechnen?

Accepted Answer

Integralrechnung

Answer

Ableitungsrechnung

Answer

Differentialrechnung

Answer

Trigonometrie

Question 6

Welches Integral ergibt das Volumen des Körpers, der durch Drehung des Graphen von f(x) = x um die x-Achse zwischen x = 0 und x = 1 entsteht?

Accepted Answer

π∫[0,1] x^2 dx

Answer

2π∫[0,1] x dx

Answer

π∫[0,1] dx

Answer

2π∫[0,1] x^3 dx

Question 7

Welche geometrische Interpretation hat das Integral ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Flächeninhalt zwischen der Kurve von f(x) und der x-Achse

Answer

Volumen des Körpers, der durch Drehung des Graphen von f(x) um die x-Achse entsteht

Answer

Durchschnittswert von f(x) über das Intervall [a,b]

Answer

Steigung der Sekante durch die Punkte (a,f(a)) und (b,f(b))

Question 8

Wie lautet die Definition eines Integrals?

Accepted Answer

Die Summe der Flächen unendlich vieler Rechtecke unter einer Kurve.

Answer

Die Funktion, deren Ableitung eine andere Funktion ist.

Answer

Die Zahl, die den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kurve angibt.

Answer

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Körpers.

Question 9

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

x⁴/4

Answer

x²

Answer

x⁵/5

Answer

(x³ + 1)/3

Question 10

Mit welcher Integrationsregel berechnet man das Integral von (x + 2)^3?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 11

Welche Integrationsmethode eignet sich zur Berechnung des Integrals von e^x * sin(x)?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 12

Welche Substitution ist geeignet, um das Integral von √(1 + x^2) zu berechnen?

Accepted Answer

x = tan(θ)

Answer

x = sin(θ)

Answer

x = cos(θ)

Answer

x = e^θ

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

eˣ + C

Answer

e^(x+C)

Answer

x * eˣ + C

Answer

x * e^(x+C)

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zur Definition des Integrals trifft am ehesten zu?

Accepted Answer

Das Integral ist der Grenzwert einer Summe von unendlich kleinen Flächen.

Answer

Das Integral ist der Flächeninhalt unter der Kurve einer Funktion.

Answer

Das Integral ist die Stammfunktion der Ableitung einer Funktion.

Answer

Das Integral ist die Änderungsrate einer Funktion.

Question 15

Berechne das Integral ∫(x + 2)dx.

Accepted Answer

½x² + 2x + C

Answer

x² + 2x + C

Answer

x² - 2x + C

Answer

2x + C

Question 16

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das Integral von x^n dx zu lösen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Partielle Integration

Question 17

Was ist eine Besonderheit unechter Integrale?

Accepted Answer

Sie können konvergent oder divergent sein.

Answer

Sie werden immer als Flächen interpretiert.

Answer

Sie können nur für begrenzte Intervalle berechnet werden.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 18

Welche Anwendung von Integralen wird verwendet, um den Schwerpunkt einer Fläche zu berechnen?

Accepted Answer

Schwerpunktberechnung

Answer

Flächenberechnung

Answer

Volumenberechnung

Answer

Längenberechnung

Question 19

Welche der folgenden Funktionen hat ein rationales Integral?

Accepted Answer

1/(x+1)

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 20

Wie berechnet man die Arbeit, die benötigt wird, um ein Objekt entlang einer Kurve zu bewegen, mithilfe von Integralen?

Accepted Answer

Die Arbeit ist das Integral der Kraft über den Weg.

Answer

Die Arbeit ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.

Answer

Die Arbeit ist das Integral der Beschleunigung über die Zeit.

Question 21

Was ist die geometrische Bedeutung des Integrals ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen a und b

Answer

Die Länge der Kurve f(x) zwischen a und b

Answer

Das Volumen des Körpers, der durch Drehung des Graphen von f(x) um die x-Achse entsteht

Question 22

Beschreibe die Stärken und Schwächen der drei wichtigsten Integrationsmethoden: Substitution, partielle Integration und trigonometrische Substitutionen. Nenne für jede Methode die Funktionstypen, für die sie sich besonders eignet.

Accepted Answer

Substitution: Geeignet für Funktionen mit zusammengesetzten Ausdrücken (f(g(x))), aber weniger effektiv bei rationalen Funktionen.

Accepted Answer

Partielle Integration: Geeignet für Produkte aus Exponential- und Polynomfunktionen (e^x * x^2), aber weniger effektiv bei trigonometrischen Funktionen.

Accepted Answer

Trigonometrische Substitutionen: Geeignet für Integrale mit Winkelfunktionen (sin(x), cos(x)), aber weniger effektiv bei Exponentialfunktionen.

Question 23

Wie lassen sich Integrale in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu ermitteln?

Accepted Answer

Durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über den Bereich des Zufallsereignisses.

Answer

Durch Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nach der Zufallsvariablen.

Answer

Durch Lösen eines linearen Gleichungssystems.

Question 24

Erklären Sie, wie uneigentliche Integrale genutzt werden können, um die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe zu untersuchen.

Accepted Answer

Man kann das uneigentliche Integral mit der Reihe vergleichen, indem man ihren Grenzwert bestimmt.

Answer

Man kann das uneigentliche Integral direkt berechnen.

Answer

Man kann das Quotientenkriterium für Reihen verwenden.

Answer

Man kann das Verhältniskriterium für Reihen verwenden.

Question 25

Welche der folgenden Regeln gilt für die Integralrechnung?

Accepted Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Question 26

Welche der folgenden Methoden kann zur Berechnung von Integralen verwendet werden?

Accepted Answer

Substitutionsregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Question 27

Das Integral ist definiert als:

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Summe von Flächeninhalten unter einer Kurve

Answer

Die Ableitung einer Funktion

Answer

Die Summe aller Funktionswerte

Answer

Der Quotient aus Fläche und Höhe

Question 28

Berechne den Flächeninhalt unter der Kurve y = x² zwischen den Punkten x = 0 und x = 2:

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

16

Answer

12

Question 29

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve y = x³ zwischen den Punkten x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht:

Accepted Answer

16π/5

Answer

8π/5

Answer

32π/5

Answer

4π/5

Question 30

Welche Aussage über uneigentliche Integrale trifft zu?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren

Answer

Sie divergieren immer

Answer

Sie konvergieren immer

Question 31

Welches Integral ist das Integral von f(x) = 2x + 3?

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x² + 3x

Answer

x² - 3x + C

Answer

2x² - 3x + C

Question 32

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

-1/x + C

Answer

x + C

Answer

1/x² + C

Question 33

Welches der folgenden Integrale entspricht der Fläche unter der Kurve y = x² im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0,1] x² dx

Answer

∫[1,0] x² dx

Answer

∫[1,0] 2x dx

Answer

∫[0,1] 2x dx

Question 34

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-sin(x)

Answer

cos(x)

Question 35

Berechnen Sie das Integral ∫[2,4] (x - 1) dx

Accepted Answer

4,5

Answer

2,5

Answer

6,5

Answer

8,5

Question 36

Welche der folgenden Regeln ermöglicht es, Integrale von Funktionen der Form f(ax + b) zu berechnen?

Accepted Answer

Substitutionsregel

Answer

Produktregel

Answer

Summenregel

Answer

Quotientenregel

Question 37

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung des Graphen von y = x² im Intervall [0, 1] um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

π/2

Answer

2π

Answer

π

Answer

π/4

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über unbestimmte Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Sie stellen eine Familie von Funktionen dar, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden.

Answer

Sie können nur für Polynomfunktionen berechnet werden.

Answer

Sie sind immer eindeutig bestimmt.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist eine primitive Funktion von f(x) = 1/(x² + 1)?

Accepted Answer

arctan(x)

Answer

1/x

Answer

ln(x² + 1)

Answer

tan(x)

Question 40

Welche Integrationstechnik wird verwendet, um das Integral ∫[0,1] x√(1 - x²) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration