Numerische Mathematik lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 11

Question 1

Welche der folgenden Aussagen zur Fehlerrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Der absolute Fehler ist die Differenz zwischen dem berechneten Wert und dem wahren Wert.

Answer

Der relative Fehler wird immer in Prozent angegeben.

Answer

Der maximale Fehler ist immer größer als der absolute Fehler.

Answer

Die Fehlerabschätzung ist eine exakte Aussage.

Question 2

Welche Interpolationsmethode liefert bei äquidistanten Stützstellen ein Polynom vom Grad n?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 3

Welche Formel beschreibt die numerische Integration nach der Trapezregel?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) * ((f(a) + f(b)) / 2 - f((a + b) / 2))

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(0) + f(a) + f(b))

Question 4

Welcher Algorithmus berechnet die Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Power-Iteration

Answer

Steigungsverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 5

Welcher Fehlertyp entsteht, wenn Zahlen gerundet werden?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Abschneidefehler

Answer

Approximationsfehler

Answer

Modellierungsfehler

Question 6

Welcher der folgenden Fehler tritt bei der Anwendung numerischer Verfahren am häufigsten auf?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Modellierungsfehler

Answer

Programmierfehler

Question 7

Welche der folgenden Größen ist ein Maß für die Genauigkeit eines numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Fehler

Answer

Kondition

Answer

Stabilität

Answer

Rechenzeit

Question 8

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Trapezregel

Answer

Zweipunktinterpolation

Question 9

Welcher der folgenden numerischen Algorithmen ist zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen geeignet?

Accepted Answer

Euler-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Trapezregel

Answer

Zweipunktinterpolation

Question 10

Welche Funktion ist nicht analytisch?

Accepted Answer

|x|

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 11

Welche Interpolationsmethode eignet sich, um Datenpunkte durch eine kubische Spline anzunähern?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Question 12

Wie berechnet man die Fehlergrenze für den Ausdruck f(x, y, z) = x*y - z, wenn die Fehlergrenzen für x, y und z bekannt sind?

Accepted Answer

Verwende die Formel zur Fehlerfortpflanzung für mehrere Variablen: Δf = |∂f/∂x| Δx + |∂f/∂y| Δy + |∂f/∂z| Δz

Answer

Berechne die Fehlergrenze für jeden Summanden einzeln und addiere sie.

Answer

Schätze die Fehlergrenze ab, indem du die größte Fehlergrenze verwendest.

Question 13

Welcher Begriff beschreibt die Konvergenzrate einer numerischen Methode?

Accepted Answer

Ordnung

Answer

Geschwindigkeit

Answer

Stabilität

Answer

Genauigkeit

Question 14

Welche der folgenden Methoden ist eine adaptive Schrittweitenanpassung für die numerische Integration?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Fehlerschätzung

Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Halbierungsverfahren

Answer

Trapezregel

Question 15

Welche Aussage zur Fehlerrechnung ist korrekt? Der absolute Fehler ist:

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem wahren und dem approximierten Wert.

Answer

Das Verhältnis des absoluten Fehlers zum approximierten Wert.

Answer

Der größte mögliche Fehler, der bei der Approximation auftreten kann.

Answer

Der Fehler, der durch das Runden von Dezimalzahlen entsteht.

Question 16

Wie nennt man den Fehler, der bei der Rundung einer Zahl entsteht?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Absoluter Fehler

Answer

Relativer Fehler

Answer

Kumulierter Fehler

Question 17

Die Interpolation beruht auf:

Accepted Answer

Approximation einer unbekannten Funktion durch eine bekannte, einfachere Funktion

Answer

Lösen eines linearen Gleichungssystems

Answer

Berechnen eines Integrals

Answer

Bestimmen der Nullstellen einer Funktion

Question 18

Welche Aussage zur Konvergenz des Newton-Verfahrens ist zutreffend?

Accepted Answer

Das Verfahren konvergiert quadratisch, aber nur lokal.

Answer

Das Verfahren konvergiert immer zur Lösung.

Answer

Das Verfahren konvergiert nur für lineare Gleichungen.

Answer

Das Verfahren konvergiert nur für quadratische Gleichungen.

Question 19

Welcher Algorithmus berechnet die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix effizient?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Potenzmethode

Question 20

Welche Voraussetzung gilt für die Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens auf ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix muss invertierbar sein.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss diagonalisierbar sein.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss tridiagonal sein.

Question 21

Welche Aussage zur Konvergenz der iterativen Jacobi-Methode ist korrekt?

Accepted Answer

Die Methode konvergiert nur für diagonaldominante Matrizen.

Answer

Die Methode konvergiert immer für symmetrische Matrizen.

Answer

Die Methode konvergiert nur für positive definite Matrizen.

Answer

Die Methode konvergiert nur für tridiagonale Matrizen.

Question 22

Welches der folgenden Verfahren ist ein Mehrgitterverfahren?

Accepted Answer

Multigrid-Verfahren

Answer

CG-Verfahren

Answer

GMRES-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 23

Was versteht man unter einem absoluten Fehler?

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem wahren Wert und dem Näherungswert

Answer

Der Quotient aus dem absoluten Wert des Fehlers und dem wahren Wert

Answer

Der Logarithmus des absoluten Fehlers

Answer

Das Quadrat des absoluten Fehlers

Question 24

Welche Interpolationsmethode verwendet Polynome mit dem geringsten Grad?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Answer

Splines

Question 25

Welche numerische Integrationsmethode verwendet Gewichte?

Accepted Answer

Gauß-Formel

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 26

Welcher Schritt ist beim Lösen von Gleichungssystemen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren nicht erforderlich?

Accepted Answer

Skalierung der Gleichungen

Answer

Vorwärtseinsetzen

Answer

Rückwärtseinsetzen

Answer

Nullstellenreduktion

Question 27

Was beschreibt die Konvergenzrate eines iterativen Verfahrens?

Accepted Answer

Die Rate, mit der die Lösung gegen den Grenzwert konvergiert

Answer

Die Größe der Abweichung vom Grenzwert

Answer

Die Abhängigkeit von der Startnäherung

Answer

Die Geschwindigkeit der Konvergenz

Question 28

Welcher Begriff beschreibt die Genauigkeit eines numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Fehler

Answer

Konvergenzrate

Answer

Stabilität

Answer

Komplexität

Question 29

Welches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen ist ein Verfahren höherer Ordnung?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 30

Welche Interpolationsmethode ist für eine Funktion mit stark variierenden Werten am besten geeignet?

Accepted Answer

Splines

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Question 31

Welche numerische Integrationsmethode liefert die genaueste Annäherung?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 32

Welche Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen ist iterativ?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Question 33

Welches Kriterium ist bei der Konvergenz iterativer Methoden von entscheidender Bedeutung?

Accepted Answer

Residuum

Answer

Konvergenzgeschwindigkeit

Answer

Iterativer Fehler

Question 34

Welche Aussage über numerische Verfahren trifft zu?

Accepted Answer

Numerische Verfahren sind anfällig für Rundungsfehler.

Answer

Numerische Verfahren liefern immer exakte Lösungen.

Answer

Numerische Verfahren sind im Allgemeinen schneller als analytische Methoden.

Question 35

Welche Methode wird verwendet, um die Konvergenzordnung einer iterativen Methode zu bestimmen?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Regressionsanalyse

Answer

Fehleranalyse

Question 36

Bei der Anwendung der Rechteckregel zur numerischen Integration einer Funktion ist der Fehler proportional zu:

Accepted Answer

dem Quadrat der Schrittweite

Answer

der Schrittweite

Answer

dem Kubus der Schrittweite

Answer

dem Quadrat des Integrals

Question 37

Welches Interpolationsverfahren ermöglicht eine eindeutige Darstellung eines Polynoms?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Taylor-Interpolation

Question 38

Die Methode von Gauß zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme basiert auf:

Accepted Answer

Direkter Elimination

Answer

Iterativer Lösung

Answer

Eigenwertberechnung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 39

Welches Verfahren ist für die numerische Bestimmung der Nullstellen nichtlinearer Gleichungen geeignet?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Bisectionsmethode

Answer

Jacobi-Iterationsverfahren

Answer

Potenzmethode

Question 40

Bei der Interpolation von Datenpunkten mit kubischen Splines erhält man eine Interpolationsfunktion, die:

Accepted Answer

in allen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig ist

Answer

nur an den Datenpunkten stetig ist

Answer

nur in den ersten Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig ist

Answer

unstetig in den zweiten Ableitungen ist

Question 41

Bei der Monte-Carlo-Methode zur numerischen Integration wird:

Accepted Answer

zufällig in einem Wertebereich der Funktion ausgewertet

Answer

die Funktion durch ein Polynom approximiert

Answer

das Integral analytisch gelöst

Answer

die Funktion in Teilbereiche aufgeteilt

Question 42

Welche Interpolationsmethode ergibt eine Polynomkurve, die genau durch die gegebenen Datenpunkte verläuft?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Fourier-Interpolation

Question 43

Welche Methode zur Lösung von Gleichungssystemen basiert auf einer sukzessiven Verbesserung der Näherungslösung?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 44

Welche Aussage zur Monte-Carlo-Integration ist richtig?

Accepted Answer

Die Monte-Carlo-Integration ist eine probabilistische Integrationsmethode.

Answer

Die Monte-Carlo-Integration ist immer genauer als andere numerische Integrationsmethoden.

Answer

Die Monte-Carlo-Integration kann nur für mehrdimensionale Integrale verwendet werden.

Question 45

Welche Aussage beschreibt den Zweck der Fehlerrechnung in der numerischen Mathematik zutreffend?

Accepted Answer

Die Abschätzung und Kontrolle von Fehlern, die bei numerischen Berechnungen entstehen.

Answer

Die Entwicklung numerischer Verfahren zur Lösung von Problemen.

Answer

Die direkte Lösung komplexer Gleichungssysteme.

Question 46

Welches numerische Verfahren eignet sich am besten zur Schätzung bestimmter Integrale?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Potenzmethode

Answer

Jacobi-Iteration

Question 47

Welche Eigenschaft kennzeichnet schlecht konditionierte Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Geringe Änderungen in den Koeffizienten führen zu erheblichen Änderungen der Lösung.

Answer

Sie können mit direkten Methoden effizient gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eindeutige Lösungen.

Question 48

Welche Aussage zur Trapezregel ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert stets die exakte Lösung für bestimmte Integrale.

Answer

Sie ist genauer als die Rechteckregel.

Answer

Sie ist ein einfaches und effizientes Verfahren.

Question 49

Welches Kriterium wird zur Beurteilung der Konvergenz eines iterativen Verfahrens herangezogen?

Accepted Answer

Residuum

Answer

Eigenwert

Answer

Spur

Answer

Determinante

Question 50

Welche Aussage über numerische Integration ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Wahl der Integrationsgrenzen hat Einfluss auf die Genauigkeit der Näherungslösung.

Answer

Numerische Integrationsverfahren liefern immer exakte Ergebnisse.

Answer

Die Anzahl der Stützstellen hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 51

Welches numerische Integrationsverfahren eignet sich optimal für Funktionen mit unstetigen Ableitungen?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gaußsche Quadratur

Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Question 52

Welche Aussage über die Konvergenz eines Iterationsverfahrens ist zutreffend?

Accepted Answer

Konvergenz liegt vor, wenn die Folge der Näherungen gegen einen Grenzwert strebt.

Answer

Konvergenz liegt vor, wenn die Näherungen schnell abnehmen.

Answer

Konvergenz liegt vor, wenn die Näherungen stetig zunehmen.

Question 53

Welche Methode wird verwendet, um den Wert einer Funktion f(x) an einem Punkt innerhalb eines gegebenen Intervalls zu approximieren, wenn die Funktionswerte an den Intervallgrenzen bekannt sind?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Numerische Integration

Answer

Nullstellenbestimmung

Answer

Taylor-Reihe

Question 54

Welche der folgenden Methoden ist KEINE numerische Integrationsmethode?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Answer

Simpsonregel

Question 55

Das Gauß-Seidel-Verfahren wird verwendet, um welche Art von Problemen zu lösen?

Accepted Answer

Lineare Gleichungssysteme

Answer

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Answer

Optimierungsprobleme

Answer

Nichtlineare Gleichungen

Question 56

Was ist der Hauptvorteil der Verwendung einer numerischen Methode gegenüber einer analytischen Methode?

Accepted Answer

Numerische Methoden können Lösungen approximieren, auch wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann.

Answer

Numerische Methoden sind schneller als analytische Methoden.

Answer

Numerische Methoden liefern immer exakte Lösungen.

Answer

Numerische Methoden sind einfacher zu implementieren als analytische Methoden.

Question 57

Die Trapezregel wird verwendet, um das Integral einer Funktion zu approximieren. Wie wirkt sich eine Verdopplung der Anzahl der Teilintervalle auf den Fehler der Approximation aus?

Accepted Answer

Der Fehler wird ungefähr um den Faktor 4 reduziert.

Answer

Der Fehler bleibt gleich.

Answer

Der Fehler wird um den Faktor 8 reduziert.

Answer

Der Fehler wird halbiert.

Question 58

Welches der folgenden Probleme ist ein Beispiel für ein schlecht konditioniertes Problem in der numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Die Berechnung der Differenz zweier sehr großer, nahezu gleicher Zahlen.

Answer

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Diagonalmatrix.

Answer

Die Berechnung des Durchschnitts von zehn Zahlen.

Answer

Die Berechnung der Summe von zehn Zahlen.

Question 59

Die Seitenlänge eines Quadrats wird mit 5.2 cm ± 0.1 cm gemessen. Was ist der maximale absolute Fehler bei der Berechnung der Fläche?

Accepted Answer

1.04 cm²

Answer

0.01 cm²

Answer

2.6 cm²

Answer

0.25 cm²

Question 60

Welches der folgenden Verfahren ist am besten geeignet, um den Wert von √2 numerisch zu approximieren?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Interpolation mit Polynomen

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Trapezregel

Question 61

Welches der folgenden Verfahren ist ein numerisches Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 62

Die Funktion  *f(x) = x³ - 2x - 5*  hat eine Nullstelle im Intervall [2, 3]. Welches numerische Verfahren kann verwendet werden, um diese Nullstelle näherungsweise zu bestimmen?

Accepted Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Lineare Regression

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Numerische Differentiation

Question 63

Was ist der Vorteil der Verwendung eines numerischen Integrationsverfahrens im Vergleich zur analytischen Integration?

Accepted Answer

Numerische Verfahren können auch dann angewendet werden, wenn die analytische Integration nicht möglich ist.

Answer

Numerische Verfahren sind immer genauer als die analytische Integration.

Question 64

Welcher Schritt gehört NICHT zum Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Determinantenberechnung

Answer

Wahl des Pivotelements

Answer

Elimination von Variablen

Answer

Rückwärtseinsetzen