Lineare Algebra lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 11

Question 1

Der Spaltenrang einer Matrix A gibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A an. Welche Aussage beschreibt die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems Ax = b, wobei b ungleich 0 ist?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Spaltenrang von A gleich der Anzahl der Variablen ist.

Answer

Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Spaltenrang von A größer als die Anzahl der Variablen ist.

Answer

Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Spaltenrang von A kleiner als die Anzahl der Variablen ist.

Question 2

Bestimme eine Basis für den Untervektorraum U von ℝ³, der durch die Gleichung x + 2y = 0 definiert ist. Erläutere deine Wahl.

Accepted Answer

{(1, -2, 0)}

Answer

{(1, 2, 0)}

Answer

{(1, 0, 0)}

Answer

{(0, 1, 0)}

Question 3

Wie trägt die lineare Algebra zur Datenwissenschaft und zum maschinellen Lernen bei? Nenne konkrete Beispiele.

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Reduzierung der Datendimension und die Visualisierung komplexer Datensätze.

Answer

Sie spielt keine Rolle im maschinellen Lernen, da dort hauptsächlich Wahrscheinlichkeits- und Statistikkonzepte verwendet werden.

Answer

Sie findet ausschließlich Anwendung bei der Lösung von Gleichungssystemen in technischen Bereichen.

Answer

Sie ist ein überholtes Konzept, das in modernen Technologien keine Bedeutung mehr hat.

Question 4

Welche Eigenschaft ist wesentlich für eine Basis in einem Vektorraum?

Accepted Answer

Ein System linear unabhängiger Vektoren, das jeden Vektor im Vektorraum eindeutig als Linearkombination darstellt.

Answer

Ein System linear abhängiger Vektoren, das den Vektorraum aufspannt.

Answer

Ein System von Vektoren, deren Summe den Nullvektor ergibt.

Answer

Ein System von Vektoren, die die Dimension des Vektorraums bestimmen.

Question 5

Welche Aussage über die Menge aller linearen Abbildungen von ℝ³ nach ℝ² trifft zu?

Accepted Answer

Sie bildet einen sechsdimensionalen Vektorraum.

Answer

Sie ist ein Untervektorraum von ℝ³×².

Answer

Sie bildet eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung der Komposition.

Answer

Sie bildet einen Ring bezüglich der Verknüpfungen der Addition und Multiplikation.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über den Vektor v = (3, 6, 9) im Hinblick auf die lineare Abhängigkeit von den Vektoren v1 = (1, 2, 3) und v2 = (2, 4, 6) ist korrekt?

Accepted Answer

v ist linear abhängig von v1 und v2.

Answer

v ist linear unabhängig von v1 und v2.

Answer

v ist linear abhängig von v1, aber unabhängig von v2.

Answer

v ist linear abhängig von v2, aber unabhängig von v1.

Question 7

Welche der folgenden Matrizen ist die 2x2-Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1, 0; 0, 1]

Answer

[0, 1; 1, 0]

Answer

[1, 2; 3, 4]

Answer

[2, 4; 1, 3]

Question 8

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist eine Invariante.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Question 10

Welcher der folgenden Sätze ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums ℝ²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (0, 1)}

Answer

{(2, 1), (3, 2)}

Answer

{(1, 2), (3, 4), (5, 6)}

Question 11

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene in ℝ³?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x² + y² + z² = 1

Answer

y = x³

Answer

z = sin(x)

Question 12

Was beschreibt den Rang einer Matrix korrekt?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl ihrer Zeilen

Answer

Die Anzahl ihrer Spalten

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über den Vektorraum R³ ist korrekt?

Accepted Answer

R³ ist ein dreidimensionaler Vektorraum.

Answer

R³ ist ein eindimensionaler Vektorraum.

Answer

R³ ist ein zweidimensionaler Vektorraum.

Answer

R³ ist ein vierdimensionaler Vektorraum.

Question 14

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine Menge linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum?

Accepted Answer

Basis

Answer

Erzeugende Menge

Answer

lineare Hülle

Answer

Teilraum

Question 15

Welche lineare Transformation erhält die Abstände zwischen Punkten im Raum?

Accepted Answer

Isometrie

Answer

Homöomorphismus

Answer

Automorphismus

Answer

Endomorphismus

Question 16

Welche Aussage über Vektorräume ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein Vektorraum kann eine beliebige Anzahl von Dimensionen haben.

Answer

Ein Vektorraum ist unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen.

Answer

Der Nullvektor ändert jeden Vektor bei Addition nicht.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums besteht aus linear unabhängigen Vektoren, die ihn aufspannen.

Question 17

Welche Matrix stellt die Einheitsmatrix dar?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Question 18

Welche Operation an Matrizen ist nicht kommutativ?

Accepted Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Answer

Transposition

Answer

Subtraktion

Question 19

Welche Gleichung beschreibt ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

$x + 2y = 0$

Answer

$x + 2y = 3$

Answer

$x - y = 5$

Answer

$x^2 + y^2 = 1$

Question 20

Welche Matrix ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

Question 21

Welche Aussage beschreibt lineare Abhängigkeit von Vektoren richtig?

Accepted Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie sich als Linearkombination anderer Vektoren darstellen lassen.

Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.

Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie eine Nullkomponente haben.

Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einem Untervektorraum eines größeren Vektorraums liegen.

Question 22

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraumes?

Accepted Answer

Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Erzeugendenmenge

Answer

Anzahl der Vektoren in einer Basis

Answer

Anzahl der Zeilen oder Spalten einer repräsentativen Matrix

Answer

Änderung bei Hinzufügen neuer Vektoren

Question 23

Was ist die Definition eines Vektorraums V über einem Körper K?

Accepted Answer

V ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen: Vektoraddition und skalare Multiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

V ist eine Gruppe unter Vektoraddition.

Answer

V ist ein Ring unter skalaren Multiplikationen.

Answer

V ist ein Körper unter Vektoraddition und skalaren Multiplikationen.

Question 24

Sei **A** eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass die Inverse von **A** auch invertierbar ist und dass die Inverse der Inversen von **A** gleich **A** ist.

Accepted Answer

A ist invertierbar und A^(-1) ist auch invertierbar. Die Inverse von A^(-1) ist A.

Answer

A ist invertierbar, aber A^(-1) ist nicht notwendigerweise invertierbar.

Answer

Die Inverse von **A** ist nicht unbedingt invertierbar.

Answer

A ist invertierbar und die Inverse von A ist die Matrix A hoch -1.

Question 25

Was trifft auf lineare Gleichungssysteme zu?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann mehrere Lösungen haben.

Answer

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist immer ein Punkt.

Answer

Ein inkonsistentes lineares Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der Spalten der Matrix.

Question 26

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge, auf der zwei Verknüpfungen, die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation, definiert sind und die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die durch Addition und Multiplikation verknüpft sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die durch Subtraktion verknüpft sind.

Answer

Ein Koordinatensystem zur Darstellung von Vektoren.

Question 27

Welche Eigenschaft trifft auf einen Vektorraum nicht zu?

Accepted Answer

Er hat eine eindeutige Basis.

Answer

Er ist unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

Er besitzt einen Nullvektor.

Question 28

Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V → W zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen V und W. **Beweisen Sie mithilfe des Rangsatzes die Formel:**

**dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = dim(V).**

Accepted Answer

**Beweis:**

Sei b eine Basis von Kern(f) und s eine Basis von Bild(f). Dann gilt:

**dim(Kern(f)) = #b**
**dim(Bild(f)) = #s**

Da f linear ist, ist **Kern(f) ∩ Bild(f) = {0}**. Daher ist b ∪ s eine linear unabhängige Menge in V.

Sei v ∈ V beliebig. Dann lässt sich v eindeutig als

**v = u + w**

mit u ∈ Kern(f) und w ∈ Bild(f) darstellen. Denn Kern(f) und Bild(f) sind Untervektorräume von V.

Somit ist

**dim(V) ≥ #b + #s = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))**(1)

Andererseits ist b ∪ s eine Teilmenge von V, daher

**dim(V) ≤ #b + #s = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))**(2)

Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.

Answer

Aus dem Rangsatz folgt unmittelbar die Formel. Der Rang ist nämlich gleich **dim(Bild(f))**.

Answer

Die Formel ergibt sich direkt aus der Definition des Ranges: **Rang(f) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))**.

Question 29

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0, 0]

Answer

[1, 1]

Question 30

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Situation, wenn Vektoren in einem Vektorraum keine Vielfachen voneinander sind?

Accepted Answer

Linear unabhängig

Answer

Linear abhängig

Answer

Orthogonal

Answer

Normiert

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[1, 0, 0]

Answer

[1, 0, 1]

Answer

[1, 2, 3]

Answer

[1, 1, 1]

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer größer oder gleich der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten.

Question 33

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Vektor im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

(2, 1, -3)

Answer

2x + 1

Answer

cos(π/2)

Answer

(x+y, x-y)

Question 34

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

C = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

B = [[2, 0], [0, 2]]

Answer

A = [[0, 1], [1, 0]]

Question 35

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

3x - 2y = 5

Answer

x² + y² = 9

Answer

|x-2| = 4

Answer

2³ = 8

Question 36

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = 2x - 3y

Answer

h(x, y) = |x-y|

Answer

j(x, y) = (x, y, z)

Answer

g(x, y) = x² + y²

Question 37

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig für die Existenz einer Inversen einer Matrix?

Accepted Answer

Die Matrix ist regulär.

Answer

Die Matrix ist quadratisch.

Answer

Die Matrix ist positiv definit.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Question 38

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 5]]

Answer

[[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 39

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 0, x - y = 2

Answer

x + y = 1, x - y = 1

Answer

x + 2y = 4, 3x + 6y = 12

Answer

2x + y = 3, x - y = 1

Question 40

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = Ax für eine feste Matrix A

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 41

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine Menge von Vektoren, die eine Basis für einen Vektorraum bilden?

Accepted Answer

Linear unabhängig und aufspannend

Answer

Linear abhängig und aufspannend

Answer

Linear abhängig und nicht aufspannend

Answer

Linear unabhängig und nicht aufspannend

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalare, die die Richtung eines Eigenvektors nicht verändern.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die zum Nullvektor skaliert werden können.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen, die mit einer Matrix multipliziert werden können.

Question 43

Welcher der folgenden Sätze ist ein vollständiger Satz von Matrizen für die zweidimensionalen Rotationen?

Accepted Answer

[[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 44

Welche Aussage über Vektorräume in der linearen Algebra ist korrekt?

Accepted Answer

Vektorräume sind algebraische Strukturen, die Addition und skalare Multiplikation unterstützen.

Answer

Vektorräume sind metrische Räume.

Answer

Vektorräume sind nur endlichdimensional.

Question 45

Welche Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, bei der alle Diagonalelemente 1 sind und alle anderen Elemente 0.

Answer

Eine Matrix, bei der alle Elemente 0 sind.

Answer

Eine rechteckige Matrix, bei der alle Elemente 1 sind.

Question 46

Was beschreibt die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, die Eigenschaften der Matrix charakterisiert und ihre Invertierbarkeit angibt.

Answer

Das Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Summe aller Elemente.

Question 47

Welche Aussage über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Lineare Gleichungssysteme können mehrere, eine eindeutige oder keine Lösung haben.

Answer

Lineare Gleichungssysteme haben immer keine Lösung.

Answer

Lineare Gleichungssysteme haben immer eine eindeutige Lösung.

Question 48

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix.

Question 49

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalare, die zu Eigenvektoren gehören, die von Null verschieden sind.

Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die parallel zu den Zeilen der Matrix sind.

Answer

Eigenwerte sind die Determinanten der Matrix.

Question 50

Welche praktische Anwendung haben lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Modellierung physikalischer Systeme, Lösen von Optimierungsproblemen und Datenanalyse.

Answer

Nur in der theoretischen Mathematik.

Answer

Nur in der Informatik.

Question 51

In welchen Berufsfeldern wird lineare Algebra häufig eingesetzt?

Accepted Answer

Ingenieurwesen, Datenwissenschaft und Finanzanalyse.

Answer

Geschichte und Soziologie.

Answer

Medizin und Jura.

Question 52

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Rang

Answer

Spur

Answer

Eigenwert

Answer

Determinante

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist wahr?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Längen gleich sind.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Winkelhalbierende senkrecht zu beiden Vektoren steht.

Question 54

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt einen Vektor, dessen Länge 2 beträgt?

Accepted Answer

Vektor der Länge 2

Answer

Normalvektor

Answer

Einheitsvektor

Answer

Basisvektor

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Richtung haben.

Answer

Ein Vektor kann durch seine Länge und Richtung beschrieben werden.

Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge und Richtung haben.

Answer

Die Addition von Vektoren ist kommutativ.

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist eine quadratische Matrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1], [2], [3]]

Answer

[[1, 2, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Question 57

Berechnen Sie das Produkt der Matrizen A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[5, 6], [7, 8]].

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[17, 20], [39, 46]]

Answer

[[6, 8], [10, 12]]

Answer

[[5, 12], [21, 32]]

Question 58

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems: x + 2y = 5, 2x - y = 1

Accepted Answer

{x = 1, y = 2}

Answer

{x = 3, y = 1}

Answer

{x = 2, y = 1}

Answer

Das System hat keine Lösung.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist richtig?

Accepted Answer

Ein Satz von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren geschrieben werden kann.

Answer

Jeder Satz von zwei Vektoren ist linear unabhängig.

Answer

Ein Satz von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren die gleiche Länge haben.

Answer

Ein Satz von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren orthogonal zueinander sind.

Question 60

Was ist die Dimension des Vektorraums R^3?

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 61

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für orthogonale Vektoren?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist immer 0.

Answer

Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht zueinander.

Answer

Orthogonale Vektoren können in einer orthonormalen Basis sein.

Question 62

Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Ein Vektorraum V über einem Körper K ist ein …

Accepted Answer

… Raum, der abgeschlossen ist unter Addition und Multiplikation mit Skalaren aus einem beliebigen Körper.

Answer

… Raum, der abgeschlossen ist unter Addition und Multiplikation mit Skalaren aus K.

Answer

… Raum, der abgeschlossen ist unter der Subtraktion von Vektoren.

Answer

… Raum, der eine Nullvektor enthält.

Question 63

Gegeben sei die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]. Bestimme die Determinante von A.

Accepted Answer

-2

Answer

10

Answer

-1

Answer

2

Question 64

Welche der folgenden Operationen ist nicht definiert für Matrizen A und B gleicher Dimension?

Accepted Answer

Die Division A / B.

Answer

Die Addition A + B.

Answer

Die Multiplikation A * B.

Answer

Die Subtraktion A - B.