Analytische Geometrie in der 11. Klasse: Vektoren, Geraden und Ebenen verstehen

Question 1

Welche Bedingung ist **nicht** erforderlich, damit zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum parallel sind?

Accepted Answer

Die Ebenen haben den gleichen Abstand zu einem beliebigen Punkt.

Answer

Die Richtungsvektoren der Ebenen sind parallel.

Answer

Die Ebenen schneiden sich nicht.

Answer

Die Normalenvektoren der Ebenen sind kollinear.

Question 2

Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden g mit der Gleichung x + 2y - 3 = 0 und der Ebene e mit der Gleichung 2x - y + z + 1 = 0?

Accepted Answer

√(10)/2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 3

Berechne die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P(2, 5) und Q(8, 13) verläuft. Erkläre deine Vorgehensweise Schritt für Schritt.

Accepted Answer

y = 2/3 x + 2

Answer

y = 3/2 x - 2

Answer

y = 2x + 3

Answer

y = 3x - 2

Question 4

Welche der folgenden geometrischen Figuren ist ein Vektor?

Accepted Answer

Ein Vektor

Answer

Eine Gerade

Answer

Eine Ebene

Answer

Ein Punkt

Question 5

Gegeben sind die Vektoren a = (p, q) und b = (r, s). Bestimme die Koordinaten des Punktes P, der durch die lineare Kombination der Vektoren gegeben ist:

P = p * a + q * b

Accepted Answer

(p + r; q + s)

Answer

(2; 3)

Answer

(p – r; q – s)

Question 6

Bestimme die Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2, 3, -1) und Radius 5.

Accepted Answer

(x - 2)² + (y - 3)² + (z + 1)² = 25

Answer

(x + 2)² + (y + 3)² + (z - 1)² = 5

Answer

(x - 3)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 25

Question 7

Frage: Bestimmen Sie, ob die Geraden g₁ mit der Gleichung x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3 + 4t und g₂ mit der Gleichung x = 5 - s, y = 3 + 2s, z = 1 + 3s koplanar sind.

Accepted Answer

Ja, die Geraden sind koplanar.

Answer

Nein, die Geraden sind windschief.

Answer

Die vorhandenen Informationen reichen nicht aus, um eine Aussage zu treffen.

Answer

Es lässt sich nicht eindeutig feststellen, ob die Geraden koplanar sind.

Question 8

Wie groß ist der Abstand zwischen dem Punkt P(1, 2, 3) und der Ebene x + 2y - z = 5?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 9

Welches der folgenden Objekte hat keine eindeutige Richtung?

Accepted Answer

Punkt

Answer

Vektor

Answer

Gerade

Answer

Ebene

Question 10

Welches der folgenden Objekte stellt keine Ebene dar?

Accepted Answer

{x^2 + y^2 + z^2 = 1}

Answer

{x + y - z = 0}

Answer

{x = 2}

Answer

{y = 3}

Question 11

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a = (1, 0, -2) und b = (3, 2, 1).

Accepted Answer

-5

Answer

1

Answer

5

Answer

-1

Question 12

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x = 2, y = 3t + 1, z = -t

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Answer

x + y + z = 0

Question 13

Berechne das Volumen des Prismas, dessen Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen 3 und 4 ist und dessen Höhe 5 beträgt.

Accepted Answer

V = G ⋅ h = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60

Answer

V = G ⋅ h = 3 + 4 ⋅ 5 = 23

Answer

V = G ⋅ h = (3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 65

Answer

V = G ⋅ h = (3 + 4) ⋅ 5 = 35

Question 14

Welche Aussage über den Vektor $\vec{v}=(2, 3, 5)$ ist korrekt?

Accepted Answer

Seine Länge beträgt $\leftlVert\vec{v}\right\Vert=\sqrt{38}$.

Answer

Er ist parallel zur x-Achse.

Answer

Er ist ein Einheitsvektor.

Question 15

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade durch die Punkte $P(1,2,3)$ und $Q(4,5,6)$?

Accepted Answer

$\overrightarrow{PQ}=t\cdot\begin{pmatrix}4-1\5-2\6-3end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}3\3\3end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{PQ}=t\cdot\begin{pmatrix}1-4\2-5\3-6end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-3\-3\-3end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{PQ}=t\cdot\begin{pmatrix}1-4\5-2\6-3end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-3\3\3end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{PQ}=t\cdot\begin{pmatrix}4-1\2-5\6-3end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}3\-3\3end{pmatrix}$

Question 16

Welcher Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{u}=(1,1,1)$ und $\vec{v}=(2,0,-1)$?

Accepted Answer

$\alpha\approx54,74°$

Answer

$\alpha\approx90°$

Answer

$\alpha\approx70,53°$

Answer

$\alpha\approx60°$

Question 17

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren u = (2, 1, 3) und v = (4, 3, 1).

Accepted Answer

14

Answer

10

Answer

-2

Answer

20

Question 18

Die Gerade g ist gegeben durch die Gleichung x/2 = y/3 = z/4. Welche Aussage trifft zu?

Accepted Answer

Die Gerade g verläuft durch den Ursprung und ist parallel zum Vektor (2, 3, 4).

Answer

Die Gerade g liegt in der xy-Ebene.

Answer

Die Gerade g schneidet die z-Achse im Punkt (0, 0, 2).

Answer

Die Gerade g verläuft parallel zur x-Achse.

Question 19

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

r(t) = a + t * v, wobei a ein Punkt auf der Geraden ist und v ein Richtungsvektor ist.

Answer

2x - 3y + z = 5

Answer

x = y = z

Answer

x² + y² + z² = 1

Question 20

Die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6) sind gegeben. Welcher Vektor ist der Richtungsvektor der Geraden AB?

Accepted Answer

(3, 3, 3)

Answer

(5, 7, 9)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(-3, -3, -3)

Question 21

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0, wobei a, b, c die Komponenten des Normalenvektors sind und d eine Konstante ist.

Answer

r(t, s) = a + t * v + s * w, wobei a ein Punkt in der Ebene ist und v, w linear unabhängige Richtungsvektoren sind.

Answer

x² + y² = 1

Answer

z = 2x + 3y

Question 22

Die Ebene E ist gegeben durch die Gleichung 2x + y - z + 3 = 0. Welcher Vektor ist ein Normalenvektor von E?

Accepted Answer

(2, 1, -1)

Answer

(2, -1, 1)

Answer

(3, -1, 2)

Answer

(1, -2, 3)

Question 23

Wann sind zwei Geraden im Raum parallel?

Accepted Answer

Wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Answer

Wenn sie sich in einem Punkt schneiden.

Answer

Wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.

Answer

Wenn sie denselben Stützvektor haben.

Question 24

Wann sind eine Gerade und eine Ebene im Raum parallel?

Accepted Answer

Wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.

Answer

Wenn die Gerade die Ebene in einem Punkt schneidet.

Answer

Wenn die Gerade in der Ebene liegt.

Answer

Wenn der Richtungsvektor der Geraden parallel zum Normalenvektor der Ebene ist.

Question 25

Wann sind zwei Ebenen im Raum parallel?

Accepted Answer

Wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind.

Answer

Wenn sie sich in einer Geraden schneiden.

Answer

Wenn sie denselben Stützvektor haben.

Answer

Wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind.

Question 26

Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen?

Accepted Answer

Man wählt einen Punkt auf der einen Ebene und berechnet den Abstand dieses Punktes zur anderen Ebene.

Answer

Man berechnet den Schnittpunkt der beiden Ebenen mit einer Hilfsgeraden.

Answer

Man berechnet die Länge des Normalenvektors einer der Ebenen.

Answer

Man berechnet den Abstand der beiden Stützvektoren.

Question 27

Wie berechnet man den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Accepted Answer

Man berechnet den Abstand zwischen einem Punkt auf der Geraden und der Ebene.

Answer

Man berechnet die Länge des Vektors, der die Gerade und die Ebene verbindet.

Answer

Man berechnet den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

Question 28

Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6). Welcher Vektor beschreibt die gerichtete Strecke von A nach B?

Accepted Answer

$overrightarrow{AB} = egin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 end{pmatrix}$

Answer

$overrightarrow{AB} = egin{pmatrix} -3 \ -3 \ -3 end{pmatrix}$

Answer

$overrightarrow{AB} = egin{pmatrix} 5 \ 7 \ 9 end{pmatrix}$

Question 29

Welche Gleichung beschreibt die Gerade durch den Punkt P(1, 2, 3) mit Richtungsvektor $overrightarrow{v} = egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + t egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 end{pmatrix} + t egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$

Question 30

Zwei Geraden im Raum sind parallel, wenn ...

Accepted Answer

… ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Answer

… sie in der gleichen Ebene liegen.

Answer

… ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.

Answer

… sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Question 31

Welche Gleichung beschreibt die Ebene durch den Punkt P(1, 1, 1) mit Normalenvektor $overrightarrow{n} = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$?

Accepted Answer

x + 2y + 3z = 6

Answer

2x + y + 3z = 6

Answer

x + 2y + 3z = 1

Answer

x + 3y + 2z = 6

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über zwei Ebenen im Raum ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Ebenen können parallel sein, sich schneiden oder identisch sein.

Answer

Zwei Ebenen können nur parallel sein oder sich schneiden.

Answer

Zwei Ebenen können nur senkrecht zueinander sein.

Question 33

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Ebenen im Raum parallel sind?

Accepted Answer

Ihre Normalenvektoren müssen linear abhängig sein.

Answer

Sie müssen in der gleichen Ebene liegen.

Answer

Ihre Normalenvektoren müssen orthogonal sein.

Answer

Sie müssen einen gemeinsamen Punkt haben.

Question 34

Wie groß ist der Abstand zwischen dem Punkt P(1, 2, 3) und der Ebene mit der Gleichung x + y + z = 0?

Accepted Answer

$rac{6}{sqrt{3}}$

Answer

$rac{3}{sqrt{3}}$

Answer

$rac{12}{sqrt{3}}$

Answer

$rac{1}{sqrt{3}}$

Question 35

Gegeben sind zwei Geraden g und h. Wie berechnet man den Abstand zwischen diesen beiden Geraden?

Accepted Answer

Man berechnet den Abstand eines Punktes auf g zur parallelen Ebene zu g durch einen Punkt auf h.

Answer

Man berechnet die Länge des Richtungsvektors von g.

Answer

Man berechnet den Winkel zwischen den beiden Geraden.

Question 36

Welcher Vektor ist orthogonal zum Vektor $overrightarrow{v} = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{pmatrix}$

Question 37

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Accepted Answer

Mithilfe des Skalarprodukts und dem Cosinussatz.

Answer

Mithilfe der Kreuzprodukt.

Answer

Mithilfe der Vektoraddition.

Answer

Mithilfe der Betragsberechnung.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist über den Vektor (2, 3, 4) richtig?

Accepted Answer

Er hat eine Länge von √29.

Answer

Er ist parallel zur x-Achse.

Answer

Er liegt in der xy-Ebene.

Answer

Er hat eine negative z-Komponente.

Question 39

Welche Gleichung beschreibt die Gerade durch die Punkte P(1, 2, 3) und Q(3, 4, 5)?

Accepted Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + 2t, z = 3 + 2t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + 4t, z = 3 + 5t

Answer

x = 3 + 1t, y = 4 + 2t, z = 5 + 3t

Answer

x = 2 + 1t, y = 1 + 2t, z = 3 + 2t

Question 40

Welcher Punkt liegt auf der Ebene mit der Gleichung x + y - z = 5?

Accepted Answer

(1, 2, 2)

Answer

(2, 1, 2)

Answer

(1, 3, 1)

Answer

(2, 2, 1)

Question 41

Berechne den Abstand zwischen der Geraden x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 3t und dem Punkt P(0, 1, 2).

Accepted Answer

√6

Answer

√18

Answer

√14

Answer

√10

Question 42

Welche der folgenden Geraden ist parallel zur Ebene x + y + z = 0?

Accepted Answer

x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 - t

Answer

x = 1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 3 + t

Answer

x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 3t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 - t

Question 43

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren (1, 0, 1) und (0, 1, 1).

Accepted Answer

45°

Answer

90°

Answer

30°

Answer

60°

Question 44

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kugel mit Mittelpunkt (1, 2, 3) und Radius 5?

Accepted Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25

Answer

(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 5

Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 5

Answer

(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Question 45

Welcher Punkt ist der Mittelpunkt der Geradenstrecke zwischen den Punkten A(2, 3, 4) und B(6, 5, 2)?

Accepted Answer

(4, 4, 3)

Answer

(3, 4, 3)

Answer

(4, 3, 4)

Answer

(3, 3, 4)

Question 46

Welche der folgenden Ebenen ist orthogonal zur y-Achse?

Accepted Answer

x + 0y + z = 0

Answer

0x + y + 0z = 0

Answer

0x + 0y + z = 0

Answer

x + y + 0z = 0

Question 47

Berechne das Volumen des von den Ebenen x = 0, y = 0, z = 0 und x + y + z = 6 eingeschlossenen Tetraeders.

Accepted Answer

12

Answer

18

Answer

24

Answer

6