Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Online-Quiz für Klasse 10

Question 1

Erläutere den Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen und erläutere ihre praktische Bedeutung in realen Anwendungen.

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der Mittelwert der Zufallsvariablen, während die Varianz ihre Streuung misst.

Accepted Answer

Erwartungswert und Varianz sind wichtig für die Vorhersage des Verhaltens komplexer Systeme in Bereichen wie Wirtschaft, Physik und Biologie.

Answer

Die Varianz ist die Summe aller möglichen Werte der Zufallsvariablen, während der Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes angibt.

Answer

Erwartungswert und Varianz sind unabhängig voneinander.

Question 2

Überprüfe, ob die Normalverteilung eine gute Näherung für die Binomialverteilung B(100, 0,2) ist. Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, die Normalverteilung ist eine gute Näherung, da n=100 groß genug und p=0,2 nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegt.

Answer

Nein, die Normalverteilung ist keine gute Näherung, da n=100 zu klein ist.

Answer

Nein, die Normalverteilung ist keine gute Näherung, da p=0,2 zu nahe bei 0 liegt.

Question 3

Beweise die Aussage: Die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen mit Binomialverteilung folgt selbst einer Binomialverteilung.

Accepted Answer

Die Summe zweier unabhängiger Binomialverteilungen ist eine Binomialverteilung mit den Parametern n = n₁ + n₂ und p = p₁ + p₂.

Answer

Die Summe zweier Binomialverteilungen ist immer eine Binomialverteilung.

Answer

Die Summe zweier unabhängiger Binomialverteilungen ist eine Binomialverteilung mit denselben Parametern wie die einzelnen Zufallsvariablen.

Answer

Die Summe zweier unabhängiger Binomialverteilungen ist eine Poissonverteilung.

Question 4

Welche Aussage beschreibt den Hauptunterschied zwischen parametrischen und nicht-parametrischen statistischen Tests?

Accepted Answer

Parametrische Tests setzen eine bestimmte Verteilung der Daten voraus, nicht-parametrische Tests nicht.

Answer

Parametrische Tests sind immer genauer als nicht-parametrische Tests.

Answer

Nicht-parametrische Tests sind immer weniger leistungsfähig als parametrische Tests.

Answer

Parametrische Tests benötigen größere Stichproben als nicht-parametrische Tests.

Question 5

Worin besteht der Hauptunterschied zwischen einer empirischen und einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Empirische Verteilungen basieren auf Beobachtungen, theoretische auf mathematischen Modellen.

Answer

Theoretische Verteilungen sind immer genauer als empirische.

Answer

Empirische Verteilungen gelten nur für diskrete Zufallsvariablen, theoretische für kontinuierliche.

Question 6

Wie verändert sich die Form der Binomialverteilung mit der Stichprobengröße? Erkläre deine Antwort.

Accepted Answer

Mit zunehmender Stichprobengröße wird die Binomialverteilung symmetrischer.

Answer

Die Stichprobengröße hat keinen Einfluss auf die Form der Binomialverteilung.

Answer

Die Stichprobengröße beeinflusst nur die Breite der Binomialverteilung, nicht ihre Form.

Question 7

Wie werden Zufallsvariablen eingesetzt, um reale Phänomene abzubilden?

Accepted Answer

Zufallsvariablen dienen als mathematische Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheit und Zufall in realen Phänomenen.

Answer

Zufallsvariablen finden ausschließlich in der Mathematik Anwendung und haben keine Bedeutung in anderen Bereichen.

Answer

Zufallsvariablen ermöglichen Vorhersagen über zukünftige Ereignisse, können aber keine Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse berechnen.

Answer

Zufallsvariablen sind rein abstrakte mathematische Konzepte ohne praktischen Nutzen in der realen Welt.

Question 8

Wie hilft die Varianzanalyse (ANOVA) dabei, Unterschiede zwischen mehreren Gruppen zu untersuchen?

Accepted Answer

Die ANOVA ist ein statistisches Verfahren, das prüft, ob sich die Mittelwerte von zwei oder mehr Gruppen signifikant unterscheiden.

Answer

Die ANOVA ist ein statistisches Verfahren, das die Varianz innerhalb einer Gruppe berechnet.

Answer

Die ANOVA ist ein statistisches Verfahren, das die Korrelation zwischen zwei oder mehr Variablen misst.

Question 9

Wie wird die Normalverteilung in der Praxis eingesetzt und wie hilft sie uns, Ereignisse vorherzusagen?

Accepted Answer

Die Normalverteilung kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen vorherzusagen, wie z. B. die Körpergröße einer Person oder das Geburtsgewicht eines Babys.

Answer

Die Normalverteilung wird nur in der Theorie verwendet und hat keine praktischen Anwendungen.

Answer

Die Normalverteilung ist nur für Ereignisse mit einer geringen Wahrscheinlichkeit geeignet.

Answer

Die Normalverteilung wird nur in der Finanzwelt zur Vorhersage von Aktienkursen verwendet.

Question 10

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist definiert als:

Accepted Answer

Summe aller Werte von X multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Produkt aller Werte von X

Answer

Quotient aus der Summe aller Werte von X und der Summe aller Wahrscheinlichkeiten

Question 11

Welche Aussage zur Varianz einer Zufallsvariable ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert.

Answer

Sie ist immer negativ.

Answer

Sie ist gleich dem Quadrat des Erwartungswerts.

Question 12

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis B bekannt ist, berechnet sich:

Accepted Answer

P(A) = 1 - P(B)

Answer

P(A) = P(B) / 2

Answer

P(A) = P(B) * 2

Question 13

Zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn:

Accepted Answer

das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Answer

das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis wahrscheinlicher macht.

Answer

das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis unwahrscheinlicher macht.

Question 14

Welche Aussage beschreibt den zentralen Grenzwertsatz korrekt?

Accepted Answer

Bei ausreichend großer Stichprobe nähert sich die Verteilung der Stichprobenmittel einer Normalverteilung, unabhängig von der Form der Grundgesamtheit.

Answer

Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für symmetrische Grundgesamtheiten.

Answer

Die Standardabweichung einer Stichprobenverteilung ist immer kleiner als die Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Answer

Die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes erfordert eine binomialverteilte Grundgesamtheit.

Question 15

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Binomialverteilung?

Accepted Answer

Die Anzahl der gezogenen Asse bei 10 Ziehungen aus einem Kartenspiel ohne Joker

Answer

Die Wartezeit bis zum nächsten Bus

Answer

Das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person

Answer

Die Größe einer zufällig ausgewählten Familie

Question 16

Wie wirkt sich die Stichprobengröße auf die Stichprobenfehlerrate aus? Erläutere deine Antwort mit einem Beispiel.

Accepted Answer

Je größer die Stichprobe, desto geringer die Stichprobenfehlerrate.

Answer

Je kleiner die Stichprobe, desto größer die Stichprobenfehlerrate.

Answer

Die Stichprobengröße hat keinen Einfluss auf die Stichprobenfehlerrate.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Binomialverteilung korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Sie ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 18

Wie kannst du ein Experiment entwerfen, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, beim Würfeln eine 6 zu erhalten?

Accepted Answer

Würfle einen fairen sechsseitigen Würfel mehrmals und zähle, wie oft du eine 6 würfelst. Teile die Anzahl der gewürfelten Sechser durch die Gesamtzahl der Würfe.

Answer

Befrage 100 Personen, welche Zahl sie beim Würfeln erwarten.

Answer

Wirf zwei Würfel gleichzeitig und zähle, wie oft die Summe der Augenzahl 6 ergibt.

Question 19

Welche Aussage zur Varianzanalyse ist richtig?

Accepted Answer

Sie kann Unterschiede zwischen Gruppen anhand einer quantitativen Zufallsvariablen untersuchen.

Answer

Sie kann nur bei normalverteilten Daten angewendet werden.

Answer

Sie erfordert gleiche Gruppengrößen.

Answer

Ihre Ergebnisse sind immer eindeutig und unabhängig von der Datenmenge.

Question 20

Wie verändert sich die Form einer Binomialverteilung mit zunehmender Stichprobengröße **n**?

Accepted Answer

Sie wird flacher und breiter.

Answer

Sie wird steiler und schmaler.

Answer

Sie behält ihre Form bei.

Question 21

Bei einer Stichprobe von 100 Personen beträgt der Mittelwert 50 und die Standardabweichung 10. Welche der folgenden Hypothesen kann bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht verworfen werden?

Accepted Answer

H0: μ = 50

Answer

H0: μ ≠ 50

Answer

H0: μ < 50

Answer

H0: μ > 50

Question 22

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, wenn das Ereignis B bereits eingetreten ist?

Accepted Answer

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B)

Answer

Wahrscheinlichkeit von A: P(A)

Answer

Kombinatorik: Anzahl der Möglichkeiten

Question 23

Welche Methode zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten liefert in der Regel die genaueste Vorhersage?

Accepted Answer

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Answer

Experimentelle Wahrscheinlichkeit

Answer

Subjektive Wahrscheinlichkeit

Question 24

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Die Anzahl der Sechs beim Würfeln eines fairen Würfels fünfmal.

Answer

Die Summe der Augenzahlen beim Würfeln zweier fairen Würfel.

Answer

Die Zeit bis zum Eintreffen des ersten Kunden in einem Geschäft.

Answer

Das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person.

Question 25

Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 12 und p = 0,3. Wie groß ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

3,6

Answer

3

Answer

4,2

Answer

4,8

Question 26

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist normalverteilt?

Accepted Answer

Die Temperatur in einer Stadt an einem zufälligen Tag.

Answer

Die Anzahl der Fehler beim Lösen eines Mathematiktests.

Answer

Die Zeit, die man für den Weg zur Schule benötigt.

Answer

Die Länge der Haare einer zufällig ausgewählten Person.

Question 27

Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit μ = 60 und σ = 12. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 40 ist?

Accepted Answer

0,0228

Answer

0,1587

Answer

0,3413

Answer

0,8413

Question 28

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist diskret?

Accepted Answer

Die Anzahl der Studierenden in einer Klasse.

Answer

Die Länge eines zufällig ausgewählten Baumes.

Answer

Die Zeit, die man braucht, um eine Prüfung zu schreiben.

Answer

Das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person.

Question 29

Welcher Ansatz berücksichtigt die Abhängigkeit von Ereignissen und verwendet bedingte Wahrscheinlichkeiten?

Accepted Answer

Bayes'sche Statistik

Answer

Frequentistische Statistik

Question 30

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p

Answer

Die Wartezeit bis zum ersten Erfolg in einem Poisson-Prozess mit Rate λ

Answer

Die Summe der Würfelzahlen bei n Würfen eines fairen Würfels

Answer

Die Anzahl der Tage mit Regen in einem Monat

Question 31

Wie groß ist der Erwartungswert einer gleichmäßig auf dem Intervall [0, 10] verteilten Zufallsvariablen?

Accepted Answer

5,0

Answer

2,5

Answer

7,5

Answer

10,0

Question 32

Welche der folgenden Formeln beschreibt die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p?

Accepted Answer

np(1-p)

Answer

np

Answer

np^2

Answer

np(1+p)

Question 33

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Sicherheit korrekt?

Accepted Answer

Sicherheit ist ein Sonderfall der Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit = 1).

Answer

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Sicherheit eines Ereignisses.

Answer

Es gibt keinen Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Sicherheit.

Answer

Wahrscheinlichkeit ist größer als Sicherheit.

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist KEINE Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, die für alle x in ihrem Definitionsbereich größer als 1 ist.

Answer

Eine Funktion, die für alle x in ihrem Definitionsbereich nicht negativ ist.

Answer

Eine Funktion, deren Integral über ihren Definitionsbereich 1 ist.

Answer

Eine Funktion, deren Graph eine Glockenkurve ist.

Question 35

Welche der genannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist diskret?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 36

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes E(X) einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = Σ[x * P(X = x)]

Answer

E(X) = Σ[x^2 * P(X = x)]

Answer

E(X) = √[Σ[P(X = x)]]

Answer

E(X) = Σ[P(X = x)]

Question 37

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Answer

Var(X) = E(X) - [E(X^2)]^2

Answer

Var(X) = Σ[x * P(X = x)] - [Σ[P(X = x)]]^2

Answer

Var(X) = Σ[x^2 * P(X = x)] - Σ[P(X = x)]

Question 38

Welche der genannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird durch die Glockenkurve dargestellt?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 39

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung?

Accepted Answer

P(X = x) = (n! / (x! * (n-x)!)) * p^x * q^(n-x)

Answer

P(X = x) = (p! / (x! * (p-x)!)) * p^x * q^(p-x)

Answer

P(X = x) = (q! / (x! * (q-x)!)) * p^x * q^(q-x)

Answer

P(X = x) = (n! / (x! * (n-x)!)) * q^x * p^(n-x)

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Poissonverteilung treffend?

Accepted Answer

Sie modelliert die Anzahl von Ereignissen innerhalb eines bestimmten Zeit- oder Raumintervalls.

Answer

Sie gibt die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen an.

Answer

Sie ähnelt einer Glockenkurve.

Question 41

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Zufallsgröße "Anzahl der geworfenen Sechsen mit einem fairen Würfel"?

Accepted Answer

Binomialverteilung mit n = 6 und p = 1/6

Answer

Poissonverteilung mit λ = 6

Answer

Normalverteilung mit μ = 3,5 und σ = 1,71

Question 42

Welche der folgenden Aussagen definiert korrekt eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine eindeutige Zahl zuordnet.

Answer

Ein Ergebnis eines Zufallsexperiments.

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 43

Welche der aufgeführten Zufallsvariablen ist diskret?

Accepted Answer

Anzahl der geworfenen Sechsen beim Würfeln eines fairen Würfels mit sechs Seiten.

Answer

Gewicht eines neugeborenen Kindes.

Answer

Zeit bis zum Eintritt eines Ereignisses.

Question 44

Wie lautet die Formel für den Erwartungswert einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Summe der Produkte aus möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten.

Answer

Summe aller möglichen Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Mittelwert aller möglichen Werte der Zufallsvariablen.

Question 45

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung weist die größte Streuung auf?

Accepted Answer

Normalverteilung mit hoher Standardabweichung.

Answer

Gleichverteilung.

Answer

Binomialverteilung mit niedriger Erfolgswahrscheinlichkeit.

Answer

Poissonverteilung mit hohem Mittelwert.

Question 46

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer fairen Münze Kopf zu würfeln?

Accepted Answer

1/2

Answer

1/6

Answer

1/4

Answer

1

Question 47

Welche Aussage über bedingte Wahrscheinlichkeiten ist korrekt?

Accepted Answer

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung eines Ereignisses B gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn B bereits eingetreten ist.

Answer

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird auch als gemeinsame Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Answer

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist immer niedriger als die unbedingte Wahrscheinlichkeit.

Question 48

Was ist die korrekte Aussage über unabhängige Ereignisse?

Accepted Answer

Das Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses.

Answer

Unabhängige Ereignisse treten immer gleichzeitig auf.

Answer

Unabhängige Ereignisse sind immer voneinander abhängig.

Question 49

Welche Aussage über den Satz von Bayes ist korrekt?

Accepted Answer

Er erlaubt es, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung eines Ereignisses B zu berechnen, wenn die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A und die Randwahrscheinlichkeiten von A und B bekannt sind.

Answer

Der Satz von Bayes ist eine Methode zur Bestimmung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen.

Answer

Der Satz von Bayes gilt nur für unabhängige Ereignisse.

Question 50

Welche der folgenden Anwendungen der Stochastik findet in der Praxis breite Anwendung?

Accepted Answer

Risikoanalyse

Answer

Linguistik

Answer

Astronomie

Answer

Soziologie

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable ist ein fester Wert, der das Ergebnis des Zufallsexperiments darstellt.

Question 52

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Erwartungswert = Summe(möglicher Werte von X * Wahrscheinlichkeiten von X).

Answer

Erwartungswert = Differenz des größten und kleinsten möglichen Werts von X.

Question 53

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist glockenförmig?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Geometrische Verteilung

Question 54

Was ist der Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Der Wert, der die Verteilung in zwei gleich große Hälften teilt.

Answer

Der Wert, der den größten Erwartungswert hat.

Answer

Der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Question 55

Welche Zufallsvariable folgt einer Poissonverteilung?

Accepted Answer

Die Anzahl der eingehenden Anrufe bei einem Kundendienst pro Stunde.

Answer

Die Lebensdauer einer Glühbirne.

Answer

Die Körpergröße von erwachsenen Männern.

Question 56

Was ist der Unterschied zwischen empirischer und theoretischer Wahrscheinlichkeit?

Accepted Answer

Empirische Wahrscheinlichkeit basiert auf Daten, während theoretische Wahrscheinlichkeit auf mathematischen Modellen beruht.

Answer

Empirische Wahrscheinlichkeit ist immer größer als theoretische Wahrscheinlichkeit.

Question 57

Welche Aussage über die Kumulativverteilungsfunktion F(x) ist richtig?

Accepted Answer

F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable kleiner oder gleich x ist.

Answer

F(x) gibt den Erwartungswert einer Zufallsvariable an.

Question 58

Welche Aussage über eine Zufallsvariable X ist korrekt?

Accepted Answer

X nimmt die Werte des Ergebnisraums des Zufallsexperiments an.

Answer

X ist eine Konstante.

Answer

X ist eine Funktion, die jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Question 59

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes E(X) einer Zufallsvariablen X mit den Werten x₁, x₂, ..., xₙ und Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, ..., pₙ?

Accepted Answer

E(X) = Σ(xᵢ * pᵢ)

Answer

E(X) = Σ(pᵢ)

Answer

E(X) = max(xᵢ)

Answer

E(X) = min(xᵢ)

Question 60

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(X = x) für das Ereignis "X nimmt den Wert x an"?

Accepted Answer

P(X = x) = f(x)

Answer

P(X = x) = F(x)

Answer

P(X = x) = 1 - f(x)

Answer

P(X = x) = √(f(x))

Question 61

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Normalverteilung?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch und glockenförmig.

Answer

Sie ist linksschief.

Answer

Sie ist rechtsschief.

Question 62

Welches Maß für die zentrale Tendenz ist für schiefe Verteilungen am besten geeignet?

Accepted Answer

Median

Answer

Mittelwert

Answer

Standardabweichung

Answer

Modus

Question 63

Wie lautet die Formel für die Varianz einer Binomialverteilung mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p?

Accepted Answer

Var(X) = np(1-p)

Answer

Var(X) = p(1-p)

Answer

Var(X) = np

Answer

Var(X) = n²p(1-p)

Question 64

Welche Aussage zur Poissonverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeit- oder Raumintervall.

Answer

Sie ist rechtsschief.

Answer

Sie ist symmetrisch.