Integrale lernen: Online-Quizze und Übungen für die Fachoberschule

Question 1

Berechne das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von 10 cm² und einer Höhe von h cm mithilfe eines Integrals.

Accepted Answer

V = ∫[0,h] 10 dx

Answer

V = 10h³

Answer

V = 10h

Answer

V = ∫[0,10] h dx

Question 2

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert genau dann, wenn das zugehörige bestimmte Integral konvergiert.

Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral divergiert immer.

Question 3

Was berechnet das bestimmte Integral ∫[a, b] f(x) dx?

Accepted Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) im Intervall [a, b]

Answer

Die Länge des Graphen von f(x) im Intervall [a, b]

Answer

Das Volumen des Körpers, der durch Drehung des Graphen von f(x) um die x-Achse entsteht

Answer

Die Ableitung von f(x) im Intervall [a, b]

Question 4

Welche Integrationsregel verwendest du, um das Integral ∫(x² + 2x - 1) dx zu lösen?

Accepted Answer

Potenzregel und Summenregel

Answer

Nur Potenzregel

Answer

Nur Summenregel

Answer

Keine der genannten Regeln

Question 5

Ermittle die Stammfunktion von f(x) = 2x³ - 5x² + 1.

Accepted Answer

2x⁴ - 5x³ + x + C

Answer

x⁴ - 5x³ + x + C

Answer

2x³ - 5x² + C

Answer

x³ - 5x² + C

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x³ + C

Answer

2x² + C

Answer

ln(x) + C

Question 7

Wie lässt sich der geometrische Zusammenhang des bestimmten Integrals am besten beschreiben?

Accepted Answer

Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion zwischen zwei Punkten

Answer

Volumen des Körpers durch Drehung des Graphen um die x-Achse

Answer

Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Graphen

Answer

Grenzwert der Summe unendlich vieler Rechtecksflächen unter der Kurve

Question 8

Berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2:

Accepted Answer

8/3 Flächeneinheiten

Answer

2/3 Flächeneinheiten

Answer

16/3 Flächeneinheiten

Answer

32/3 Flächeneinheiten

Question 9

Welches Integrationsverfahren eignet sich zur Integration von ∫x * e^x dx?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Polynomdivision

Answer

Integration durch Reihenentwicklung

Question 10

Welches Integrationsverfahren eignet sich am besten, um das bestimmte Integral $intlimits_0^2x^2dx$ zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Question 11

Berechne das Volumen des Körpers, der durch Drehung der Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = x² und g(x) = 2x + 1 um die y-Achse im Intervall [0, 2] entsteht.

Accepted Answer

π * ∫[0,2] (x² - (2x + 1)²) dx

Answer

π/3 * (16 - 1)

Answer

π/2 * (16 - 1)

Answer

2π * ∫[0,2] (x² - (2x + 1)) dx

Question 12

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

x³ + x + C

Answer

2x² + 1

Answer

x² - x + C

Question 13

Welches der folgenden Integrale ergibt die Stammfunktion der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 1?

Accepted Answer

∫(x³ + 2x² - 1)dx = (x⁴/4) + (2x³/3) - x + C

Answer

∫(x³ + 2x² - 1)dx = (x⁴/4) - (2x³/3) - x + C

Answer

∫(x³ + 2x² - 1)dx = (x³/3) + (2x²/2) - x + C

Answer

∫(x³ + 2x² - 1)dx = (x⁴/4) + (2x³) - x + C

Question 14

Erläutere den Unterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral.

Accepted Answer

Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen, ein bestimmtes Integral hat Integrationsgrenzen.

Answer

Ein bestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen, ein unbestimmtes Integral hat Integrationsgrenzen.

Answer

Beide Integrale haben Integrationsgrenzen.

Answer

Beide Integrale haben keine Integrationsgrenzen.

Question 15

Welche Methode ist für die Integration von rationalen Funktionen am besten geeignet?

Accepted Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 16

Gib die geometrische Bedeutung des Integrals von f(x) dx über ein Intervall [a, b] an.

Accepted Answer

Fläche unter der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b

Answer

Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kurve y = f(x) um die x-Achse zwischen x = a und x = b erzeugt wird

Answer

Länge der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b

Answer

Fläche der Oberfläche des Körpers, der durch Rotation der Kurve y = f(x) um die y-Achse zwischen x = a und x = b erzeugt wird

Question 17

Welches der folgenden Integrale ist uneigentlich?

Accepted Answer

∫e^x dx über [0, ∞)

Answer

∫(1/x) dx über [0, 1]

Answer

∫sin(x) dx über [0, π/2]

Answer

∫x^2 dx über [-1, 1]

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x²

Answer

x + C

Answer

2x² + C

Question 19

Welche Integrationstechnik nutzt die Produktregel der Ableitung?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Quotientenregel

Question 20

Berechne das bestimmte Integral ∫[0, x] x³ dx mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung.

Accepted Answer

x^4 / 4

Answer

x³

Answer

x^5 / 5

Answer

x³ - 1 / 4

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x^2?

Accepted Answer

x^3 + C

Answer

x^2 + C

Answer

x/2 + C

Answer

x^3/3 + C

Question 22

Mit welcher Integrationstechnik kann das Integral von ∫sin(x) dx gelöst werden?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Question 23

Welche Integrationstechnik ist zur Berechnung des Integrals von ∫(x^2 + 1) dx am besten geeignet?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 24

Was beschreibt das bestimmte Integral ∫[a, b] f(x) dx?

Accepted Answer

Die Summe der Flächen unterhalb der Kurve von x = a bis x = b.

Answer

Den Wert von f(x) an einem Punkt in [a, b].

Answer

Immer einen positiven Wert.

Question 25

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x + C

Answer

1 / x + C

Answer

-ln(|x|) + C

Question 26

Was stellt das unbestimmte Integral ∫f(x) dx dar?

Accepted Answer

Die Menge aller Stammfunktionen von f(x).

Answer

Den Wert von f(x) an einem Punkt.

Answer

Immer einen positiven Wert.

Question 27

Welches der folgenden Integrale ergibt das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Kurve y = e^x im Intervall [0, 1] um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

π(e - 1)

Answer

(e - 1)/π

Answer

π(1 - e)

Answer

(1 - e)/π

Question 28

Welche der folgenden Integrationstechniken wird verwendet, um das Integral ∫x^3 dx zu lösen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Trigonomische Substitution

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 29

Berechne das Integral ∫(2x + 1) dx.

Accepted Answer

x^2 + x + C

Answer

2x^2 - x + C

Answer

x^2 - x + C

Answer

2x^2 + x + C

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 1/(x+1)?

Accepted Answer

ln(|x+1|) + C

Answer

1/(x+1) + C

Answer

-1/(x+1) + C

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Der Wert des Integrals hängt von den Integrationsgrenzen ab.

Answer

Integrale können nur für Polynomfunktionen berechnet werden.

Answer

Integrale sind immer positiv.

Question 32

Welche Integrationstechnik ist für das Integral ∫(x³ + 2x) dx geeignet?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Question 33

Welche der folgenden Integrale entspricht der Stammfunktion von f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x + C

Answer

1/x² + C

Answer

-1/x + C

Question 34

Berechnen Sie das Integral von ∫(x²) dx von x = -1 bis x = 1.

Accepted Answer

2/3

Answer

-1/3

Answer

-2/3

Answer

1/3

Question 35

Berechne das bestimmte Integral ∫[0, 2] (x^2 - 3x + 1)dx.

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

-1

Answer

4

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

Ce^x

Answer

e^-x + C

Answer

e^x / x + C

Question 37

Welches Integral berechnet die Fläche, die von der Kurve f(x) = x² + 1, der x-Achse und den Geraden x = 0 und x = 2 begrenzt wird?

Accepted Answer

∫₀² (x² + 1) dx

Answer

∫₁² (x² + 1) dx

Answer

∫₀¹ (x² + 1) dx

Answer

∫₀² (x² - 1) dx

Question 38

Welche Integrationsmethode eignet sich am besten, um das Integral ∫x sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Substitution

Answer

Numerische Integration

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Answer

Jede Funktion hat genau eine Stammfunktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist immer eindeutig.

Question 40

Welche der folgenden Gleichungen stellt die Formel für die Länge einer Kurve dar, die durch die Funktion f(x) im Intervall [a, b] gegeben ist?

Accepted Answer

∫ₐᵇ √(1 + (f'(x))²) dx

Answer

∫ₐᵇ √(1 - (f'(x))²) dx

Answer

∫ₐᵇ √(1 - (f(x))²) dx

Answer

∫ₐᵇ √(1 + (f(x))²) dx

Question 41

Was ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

F(x) = e^x + C

Answer

F(x) = e^(x^2) + C

Answer

F(x) = 1/x + C

Answer

F(x) = xe^x + C

Question 42

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0, 1] mit Hilfe der Integralrechnung.

Accepted Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

2/3

Answer

1

Question 43

Welches Integrationsverfahren ist am geeignetsten, um ∫(x² + 1)sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Substitution

Question 44

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral von f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

(1/2) * e^(2x) + C

Answer

e^(2x) + C

Answer

(1/2) * e^(x²) + C

Answer

2 * e^(2x) + C

Question 45

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x^(-1) + C

Answer

-x^(-2) + C

Answer

1 + C

Question 46

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen von f(x) = √x um die x-Achse im Intervall [0, 1] entsteht.

Accepted Answer

π/2

Answer

π/4

Answer

2π

Answer

π

Question 47

Welches Integral berechnet die Bogenlänge des Graphen von f(x) = x^(3/2) im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0,1] √(1 + 9/4 x) dx

Answer

∫[0,1] (1 + 9/4 x) dx

Answer

∫[0,1] √(1 + x^(3/2)) dx

Answer

∫[0,1] (1 + x^(3/2))^2 dx

Question 48

Bestimmen Sie das Integral von f(x) = cos(2x) dx.

Accepted Answer

(1/2) * sin(2x) + C

Answer

(-1/2) * sin(2x) + C

Answer

sin(2x) + C

Answer

-sin(2x) + C

Question 49

Welches Integral berechnet die Fläche zwischen den Graphen von f(x) = x² und g(x) = x im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0,1] (x - x²) dx

Answer

∫[0,1] (x² - x) dx

Answer

∫[0,1] (x² + x) dx

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x² + 2?

Accepted Answer

F(x) = x³ + 2x + C

Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = 3x³ + 2x + C

Answer

F(x) = 6x + C

Question 51

Berechne das bestimmte Integral von f(x) = 2x im Intervall von 1 bis 3.

Accepted Answer

8

Answer

4

Answer

12

Answer

6

Question 52

Bestimme die Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 und der x-Achse im Intervall von 0 bis 2 liegt.

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

2

Answer

8/3

Question 53

Welche Integrationsregel wird bei der Berechnung von ∫(x² + 1)(2x) dx angewendet?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Produktregel

Answer

Linearität

Answer

Partielle Integration

Question 54

Bestimme das unbestimmte Integral von f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

1/2 * e^(2x) + C

Answer

2 * e^(2x) + C

Answer

e^(2x) + C

Answer

1/2 * e^(x) + C

Question 55

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = √x und der x-Achse im Intervall von 0 bis 4 um die x-Achse rotiert.

Accepted Answer

8π

Answer

32π

Answer

16π

Answer

4π

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist FALSCH?

Accepted Answer

Jede Funktion besitzt genau eine Stammfunktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist nicht eindeutig bestimmt.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Question 57

Berechne ∫(cos(x) + sin(x)) dx.

Accepted Answer

sin(x) - cos(x) + C

Answer

sin(x) + cos(x) + C

Answer

-sin(x) + cos(x) + C

Answer

-sin(x) - cos(x) + C

Question 58

Bestimme den Durchschnittswert der Funktion f(x) = x² im Intervall von 0 bis 2.

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Answer

2

Question 59

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die partielle Integration auf ∫u(x)v'(x) dx angewendet werden kann?

Accepted Answer

u(x) ist stetig differenzierbar und v'(x) ist stetig.

Answer

u(x) und v(x) sind stetig.

Answer

u'(x) und v'(x) sind stetig.

Question 60

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = x²?

Accepted Answer

(1/3)x³ + C

Answer

(1/2)x² + C

Answer

x³ + C

Answer

2x + C

Question 61

Berechne das bestimmte Integral von ∫(2x-1) dx von 0 bis 2.

Accepted Answer

3

Answer

6

Answer

1

Answer

0

Question 62

Welche Integrationsmethode eignet sich am besten für die Berechnung des Integrals von ∫sin(x) dx?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Kegelintegration

Question 63

Welches Volumen entsteht, wenn die Funktion f(x) = x von x=0 bis x=2 um die x-Achse gedreht wird?

Accepted Answer

(8/3)π

Answer

π

Answer

(16/3)π

Answer

(32/3)π

Question 64

Was stellt ein Integral geometrisch dar?

Accepted Answer

Die Fläche unter einer Kurve über einem Intervall

Answer

Die Steigung einer Kurve an einem Punkt

Answer

Das Volumen unter einer Kurve über einem Intervall

Answer

Die Länge einer Kurve über einem Intervall