Grenzwerte in der Mathematik: Definition, Berechnung und Grenzwertsätze

Question 1

Wie schreibt man den einseitigen Grenzwert von f(x) für x gegen a von rechts?

Accepted Answer

lim_(x→a+) f(x)

Answer

lim_(x→a-) f(x)

Answer

lim f(x)

Answer

lim_(x→a) f(x)

Question 2

Berechne den Grenzwert von (x²-4)/(x-2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

∞

Answer

existiert nicht

Question 3

Welche Regel wird verwendet, um den Grenzwert von lim_(x→a) f(x)/g(x) zu berechnen, wenn sowohl f(a) als auch g(a) gleich 0 sind?

Accepted Answer

Hospital-Regel

Answer

Quotientenregel

Answer

Polynomregel

Answer

Wurzelregel

Question 4

Berechne den Grenzwert von e^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

existiert nicht

Question 5

Welche Notation beschreibt den Grenzwert von f(x) für x gegen minus unendlich?

Accepted Answer

lim_(x→-∞) f(x)

Answer

lim f(x)

Answer

∫ f(x) dx

Answer

f(-∞)

Question 6

Welcher Grenzwertsatz gilt für die Differenz zweier Funktionen?

Accepted Answer

lim(x->a) (f(x) - g(x)) = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)

Answer

lim(x->a) (f(x) - g(x)) = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)

Answer

lim(x->a) (f(x) - g(x)) = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)

Answer

lim(x->a) (f(x) - g(x)) = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x)

Question 7

Welche Aussage zur Funktion f(x) = |x - 1| ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) hat an der Stelle x = 1 einen Sprung

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 stetig differenzierbar

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 nicht stetig

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 zweimal stetig differenzierbar

Question 8

Welcher einseitige Grenzwert ist endlich?

Accepted Answer

lim(x->a+) (x - a)²

Answer

lim(x->a+) 1 / (x - a)

Answer

lim(x->a+) ln(x - a)

Answer

lim(x->a+) e^(x - a)

Question 9

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von h(x) = (x^3 + 2x^2 - 3x) / (x^2 - 1) für x gegen unendlich zu berechnen?

Accepted Answer

Polynomdivision

Answer

Regel von L'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Sandwich-Theorem

Question 10

Bestimme den Grenzwert von f(x) = arctan(2x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unbestimmt

Question 11

Welche Funktion hat einen einseitigen Grenzwert von 2, wenn x gegen 0 von rechts geht?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 12

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von (x² - 1)/(x - 1) zu berechnen?

Accepted Answer

Quotientensatz

Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Hospital'sche Regel

Question 13

Welche Funktion hat einen Grenzwert von 0, wenn x gegen unendlich geht?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 14

Welchen Grenzwert beschreibt der folgende Ausdruck: $$lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$?

Accepted Answer

Beidseitigen Grenzwert

Answer

Einseitigen Grenzwert von rechts

Answer

Einseitigen Grenzwert von links

Answer

Unendlichen Grenzwert

Question 15

Welcher Grenzwert beschreibt das Verhalten der Funktion f(x) = \frac{sin(x)}{x} für x gegen 0?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

Nicht existent

Question 16

Berechne folgenden Grenzwert: $$lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan(x) - sin(x)}{x^3}$$.

Accepted Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 17

Berechne den einseitigen Grenzwert von f(x) = √(x - 3) für x gegen 3 von rechts.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 18

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von f(x) = (x³ + 2x² - 3) / (x² - 1) für x gegen 1 zu berechnen?

Accepted Answer

Quotientensatz

Answer

Summensatz

Answer

Produktsatz

Question 19

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = sin(x)

Question 21

Welcher Grenzwert gilt für die Funktion f(x) = x² + 1, wenn x gegen unendlich strebt?

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

-∞

Question 22

Welcher Grenzwertsatz gilt für die Summe zweier Funktionen?

Accepted Answer

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Answer

lim (f(x) + g(x)) < lim f(x) + lim g(x)

Answer

lim (f(x) + g(x)) > lim f(x) + lim g(x)

Answer

lim (f(x) + g(x)) ist unbestimmt

Question 23

Welcher Grenzwertsatz gilt für das Produkt zweier Funktionen?

Accepted Answer

lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)

Answer

lim (f(x) * g(x)) < lim f(x) * lim g(x)

Answer

lim (f(x) * g(x)) > lim f(x) * lim g(x)

Answer

lim (f(x) * g(x)) ist unbestimmt

Question 24

Die Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x) an der Stelle a besagt, dass:

Accepted Answer

Die Funktionswerte nähern sich einem bestimmten Wert, wenn x sich der Stelle a nähert.

Answer

Die Funktion nimmt den Wert des bestimmten Wertes an der Stelle a an.

Answer

Der Abstand der Funktion von der x-Achse an der Stelle a ist minimal.

Question 25

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es, den Grenzwert einer Summe zweier Funktionen zu bestimmen?

Accepted Answer

Satz über die Summe von Grenzwerten

Answer

Satz über das Produkt von Grenzwerten

Answer

Satz über den Quotienten von Grenzwerten

Answer

Satz über die Differenz von Grenzwerten

Question 26

Welche Aussage über einseitige Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Grenzwert kann existieren, auch wenn die einseitigen Grenzwerte nicht existieren.

Answer

Ein einseitiger Grenzwert ist immer gleich dem Grenzwert.

Answer

Ein einseitiger Grenzwert existiert immer, wenn der Grenzwert existiert.

Question 27

Welche Funktion besitzt einen Grenzwert von ∞, wenn x gegen 2 von rechts geht?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 28

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte f(x) beliebig nahe kommen, wenn x beliebig nahe an a heranrückt.

Answer

Der Wert, den die Funktion f(x) für x = a annimmt.

Answer

Der Wert, dem sich die erste Ableitung von f(x) für x gegen a nähert.

Answer

Der Wert, den die zweite Ableitung von f(x) für x gegen a annimmt.

Question 29

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim x->0 (1 / x)

Answer

lim x->∞ (sin(x) / x)

Answer

lim x->π/2 (tan(x))

Answer

lim x->1 (x - 1)² / (x² - 1)

Question 30

Welche der folgenden Grenzwerte kann mittels Hospital'scher Regel berechnet werden?

Accepted Answer

lim x->π/2 ((x - π/2) / (tan(x) - 1))

Answer

lim x->0 (sin(x) / x)

Answer

lim x->∞ (e^x / x)

Answer

lim x->0 (x³ / (sin(x) - x))

Question 31

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x → 2:

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0

Answer

∞

Question 32

Welcher Grenzwertsatz gilt für den Grenzwert von f(x) · g(x)?

Accepted Answer

Produktsatz

Answer

Quotientensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Summensatz

Question 33

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x³ - 2x² + 1) / (x² - 1) für x → ∞:

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1

Question 34

Welcher der folgenden Ausdrücke ist äquivalent zu lim(x→a) f(x) = L?

Accepted Answer

∀ε > 0: |f(x) - L| < ε für alle x mit 0 < |x - a| < δ

Answer

∀x > a: |f(x) - L| < ε

Answer

∀ε > 0: |x - a| < ε für ein f(x) > L

Answer

∀x < a: |f(x) - L| > ε

Question 35

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = 1/x, wenn x gegen unendlich strebt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 36

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert NICHT?

Accepted Answer

lim_(x→0) 1/x

Answer

lim_(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Answer

lim_(x→∞) 1/x

Answer

lim_(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)

Question 37

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = { 1, falls x < 2; 3, falls x ≥ 2}

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/x

Question 38

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert beliebig nahe kommt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird.

Question 39

Der Grenzwert von (x² - 4)/(x - 2) für x → 2 beträgt ...

Accepted Answer

4

Answer

∞

Answer

0

Answer

2

Question 40

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion f(x) für x → ∞ ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x beliebig groß wird.

Answer

Der Grenzwert ist immer gleich 0, wenn x → ∞.

Answer

Der Grenzwert existiert immer für x → ∞.

Question 41

Welche Funktion hat an der Stelle x = 2 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2)/(x² - 4)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x² - 4

Question 42

Für welche Funktion gilt lim(x→0) f(x) = ∞?

Accepted Answer

f(x) = 1/x²

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Welche Funktion hat an der Stelle x = 1 einen hebbaren Sprung?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 1)/(x - 1)

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = x² - 1

Question 44

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x²

Question 45

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Den Funktionswert, dem sich f(x) beliebig nahe annähert, wenn sich x beliebig nahe an a annähert.

Answer

Den Funktionswert von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Die Steigung der Tangente an der Stelle x = a.

Question 46

Bestimmen Sie den Grenzwert: lim_(x → 2) (x² - 4) / (x - 2)

Accepted Answer

4

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

2

Answer

0

Question 47

Welcher Grenzwertsatz wird durch die Aussage lim_(x → a) [f(x) + g(x)] = lim_(x → a) f(x) + lim_(x → a) g(x) beschrieben?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Quotientensatz

Answer

Kettensatz

Answer

Produktsatz

Question 48

Was ist der Grenzwert von lim_(x → ∞) (3x² + 2) / (x² - x)?

Accepted Answer

3

Answer

∞

Answer

-3

Answer

0

Question 49

Für welche Funktion existiert der Grenzwert für x gegen 0 NICHT?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x) / x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Question 50

Was bedeutet es, wenn eine Funktion f(x) für x gegen a den Grenzwert L hat?

Accepted Answer

Man kann den Funktionswert f(x) beliebig nah an L bringen, indem man x genügend nah an a wählt.

Answer

Der Funktionswert f(a) ist gleich L.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig.

Question 51

Bestimmen Sie den Grenzwert: lim_(x → 0) (sin(2x)) / x

Accepted Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

1

Answer

0

Question 52

Was ist ein einseitiger Grenzwert?

Accepted Answer

Ein Grenzwert, der sich ergibt, wenn man x nur von einer Seite (links oder rechts) gegen einen Wert a laufen lässt.

Answer

Ein Grenzwert, der nur für positive x-Werte existiert.

Question 53

Bestimmen Sie den linksseitigen Grenzwert: lim_(x → 1-) (x² - 1) / (x - 1)

Accepted Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-2

Answer

0

Question 54

Was ist eine notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert für x gegen a müssen existieren und gleich sein.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a stetig sein.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a definiert sein.

Question 55

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Definition für den Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = L bedeutet, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass |f(x) - L| < ε für alle x mit 0 < |x - a| < δ

Answer

f(a) = L

Question 56

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 57

Welcher Grenzwertsatz kann nicht angewendet werden, um den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x gegen 0 zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Regel von de l'Hôpital

Answer

Satz vom eingeklemmten Wert

Question 58

Welche Aussage über den Graphen einer Funktion f(x) ist richtig, wenn lim_(x->a) f(x) = ∞?

Accepted Answer

Der Graph hat an der Stelle x = a eine vertikale Asymptote

Answer

Der Graph hat an der Stelle x = a eine horizontale Asymptote

Answer

Der Graph schneidet die x-Achse an der Stelle x = a

Question 59

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x->1) (x^2 - 1) / (x - 1)

Answer

lim_(x->∞) e^x

Answer

lim_(x->π) tan(x)

Answer

lim_(x->0) sin(x) / x

Question 60

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

e

Question 61

Welcher der folgenden Ausdrücke gibt den Grenzwert von f(x) = sqrt(x^2 + 2x) für x gegen unendlich an?

Accepted Answer

unendlich

Answer

x

Answer

2

Answer

0

Question 62

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = |sin(x)| für x gegen 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

Der Grenzwert ist π/2

Answer

Der Grenzwert ist 1

Answer

Der Grenzwert ist 0