Zufallsprozesse in Mathematik für Wirtschaftsingenieure: Online-Quiz

Question 1

Welche Art von stochastischem Prozess ist charakterisiert durch eine endliche Anzahl von Zuständen und einer Übergangsmatrix?

Accepted Answer

Markov-Kette

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brown'sche Bewegung

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über einen Poisson-Prozess ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen

Answer

Die Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall folgt einer Poisson-Verteilung.

Answer

Die zeitlichen Abstände zwischen den Ereignissen folgen einer Exponentialverteilung.

Answer

Die Zuwächse des Prozesses sind voneinander unabhängig.

Question 3

Die Martingal-Eigenschaft eines stochastischen Prozesses bedeutet, dass

Accepted Answer

der Erwartungswert des Prozesses zur aktuellen Zeit gleich dem Erwartungswert zur vorherigen Zeit ist

Answer

der Prozess unabhängige Zuwächse hat

Answer

der Prozess eine Markov-Kette ist

Answer

der Prozess ein Poisson-Prozess ist

Question 4

Der stationäre Zustand einer Markov-Kette ist ein Zustand, in dem

Accepted Answer

sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses nicht mehr ändert

Answer

der Prozess keinen Zufallsfaktor aufweist

Answer

der Prozess einen konstanten Erwartungswert hat

Answer

der Prozess eine Poisson-Verteilung aufweist

Question 5

Welche Aussage beschreibt korrekt die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands in einem Markov-Prozess?

Accepted Answer

Sie hängt ausschließlich vom aktuellen Zustand ab.

Answer

Sie ist vollständig deterministisch bestimmt.

Answer

Sie folgt einer Exponentialverteilung.

Answer

Sie ist abhängig von allen vorherigen Zuständen.

Question 6

Welcher der folgenden Prozesse ist ein Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Ankunft von Kunden in einem Geschäft.

Answer

Tagesdurchschnittstemperatur.

Answer

Aktienkurse.

Answer

Bevölkerungszuwachs.

Question 7

Welche Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem Poisson-Prozess innerhalb eines Intervalls?

Accepted Answer

λ * t^n * e^(-λ * t) / n!

Answer

λ * t / n!

Answer

(λ * t)^n * e^(-λ * t)

Answer

n * λ * t

Question 8

Welches der folgenden Beispiele ist ein stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Die Anzahl der Kunden, die pro Stunde ein Geschäft besuchen

Answer

Die Größe eines Kindes im Alter von 10 Jahren

Answer

Die Wurfhöhe eines Würfels

Answer

Die Farbe eines zufällig gezogenen Marmors

Question 9

In welchem Bereich finden Markov-Ketten typische Anwendung?

Accepted Answer

Modellieren von Warteschlangensystemen

Answer

Vorhersagen von Aktienkursen

Answer

Optimieren von Produktionslinien

Answer

Entwerfen von Datenbanken

Question 10

Wie hängt der Erwartungswert eines Poisson-Prozesses mit der Zeit zusammen?

Accepted Answer

Er ist direkt proportional zur Zeit.

Answer

Er ist indirekt proportional zur Zeit.

Answer

Er ist unabhängig von der Zeit.

Answer

Er ist quadratisch proportional zur Zeit.

Question 11

Welcher Übergangsgraph stellt eine Markov-Kette mit zwei absorbierenden Zuständen dar?

Accepted Answer

[1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]

Answer

[1, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 1, 0]

Answer

[1, 0, 0; 0, 1, 0; 1, 0, 0]

Answer

[0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0]

Question 12

In welcher Einheit wird die Rate eines Poisson-Prozesses gewöhnlich ausgedrückt?

Accepted Answer

Ereignisse pro Stunde

Answer

Ereignisse pro Tag

Answer

Ereignisse pro Monat

Answer

Ereignisse pro Jahr

Question 13

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen stochastischen Prozess, dessen zukünftige Entwicklung ausschließlich vom aktuellen Zustand abhängt?

Accepted Answer

Markov-Kette

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Question 14

Welche der folgenden Anwendungen verdeutlicht den Einsatz stochastischer Prozesse im Wirtschaftsingenieurwesen?

Accepted Answer

Alle aufgeführten Optionen

Answer

Modellierung der Ankunftsrate von Kunden in einem Callcenter

Answer

Vorhersage des Aktienkurses eines Unternehmens

Answer

Optimierung von Warteschlangen in einer Produktionslinie

Question 15

Wie hoch ist die erwartete Anzahl von Ereignissen in einem Poisson-Prozess mit einer Intensität von λ = 3 Ereignissen pro Minute in einem Zeitraum von 5 Minuten?

Accepted Answer

9

Answer

3

Answer

15

Answer

25

Question 16

Welches der folgenden Ereignisse ist kein Beispiel für einen stochastischen Prozess?

Accepted Answer

Die Höhe eines Würfels

Answer

Der tägliche Aktienkurs eines Unternehmens

Answer

Die Anzahl der Anrufe, die ein Callcenter pro Stunde erhält

Answer

Die Temperatur in einer Stadt

Question 17

Worin besteht der Hauptunterschied zwischen einem homogenen und einem inhomogenen Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Die Ereignisrate ist bei einem homogenen Prozess konstant, während sie bei einem inhomogenen Prozess variiert.

Answer

Die Ereignisrate ist bei einem inhomogenen Prozess konstant, während sie bei einem homogenen Prozess variiert.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen homogenen und inhomogenen Poisson-Prozessen.

Answer

Homogene Poisson-Prozesse sind deterministisch, während inhomogene Poisson-Prozesse stochastisch sind.

Question 18

Eine der Eigenschaften eines Poisson-Prozesses mit der Rate λ lautet:

Accepted Answer

Die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge t folgt einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λt.

Answer

Die Ereignisse treten in regelmäßigen Abständen auf.

Question 19

In welchem Bereich werden Markov-Ketten typischerweise eingesetzt?

Accepted Answer

Modellierung von Warteschlangen

Answer

Berechnung von Pi

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Question 20

Welcher der folgenden Prozesse ist kein stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Eine gerade Linie

Answer

Ein Würfelwurf

Answer

Ein Poisson-Prozess

Answer

Ein Zufallsflug

Question 21

Welche Größe wird durch einen Poisson-Prozess modelliert?

Accepted Answer

Anzahl der Anrufe pro Stunde

Answer

Temperatur einer Stadt

Answer

Höhe eines Baumes

Answer

Geschwindigkeit eines fahrenden Autos

Question 22

Welche Aussage über stationäre Markov-Ketten trifft zu?

Accepted Answer

Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist zeitlich konstant.

Answer

Sie sind immer ergodisch.

Answer

Sie haben stets eine endliche Anzahl von Zuständen.

Question 23

Welche Methode eignet sich zur Lösung einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Matrixmultiplikation

Answer

Konsistente Schätzung

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Differentialgleichungen

Question 24

Welche Verteilung beschreibt die Wartezeiten zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 25

In einer Markov-Kette beschreibt die Markov-Eigenschaft, dass:

Accepted Answer

der zukünftige Zustand nur vom gegenwärtigen Zustand abhängt.

Answer

alle vergangenen Zustände den zukünftigen Zustand beeinflussen.

Answer

der zukünftige Zustand unabhängig vom gegenwärtigen Zustand ist.

Question 26

Die Erwartung einer Binomialverteilung mit Parametern n und p beträgt:

Accepted Answer

n * p

Answer

p

Answer

n

Question 27

Die Korrelation ist im Verhältnis zur Kovarianz:

Accepted Answer

eine normierte Kovarianz.

Answer

immer positiv, während die Kovarianz negativ sein kann.

Answer

das Quadrat der Kovarianz.

Answer

unabhängig von der Kovarianz.

Question 28

Ein Wiener-Prozess zeichnet sich durch:

Accepted Answer

normalverteilte Zuwächse aus.

Answer

Stationarität.

Answer

linearen Anstieg des Mittelwerts mit der Zeit.

Answer

deterministische Drift.

Question 29

Die Monte-Carlo-Simulation dient dazu:

Accepted Answer

komplexe stochastische Prozesse zu modellieren.

Answer

ausschließlich deterministisch zu sein.

Answer

immer exakte Ergebnisse zu liefern.

Question 30

Ein stochastischer Prozess heißt stationär, wenn:

Accepted Answer

sich seine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Zeitverlauf nicht ändert.

Answer

seine Varianz mit der Zeit zunimmt.

Answer

sein Mittelwert mit der Zeit zunimmt.

Question 31

Die bedingte Erwartung ist:

Accepted Answer

der Erwartungswert einer Zufallsvariablen unter der Bedingung einer anderen Zufallsvariablen.

Answer

eine deterministische Funktion.

Answer

immer kleiner als die bedingte Varianz.

Question 32

Welche der folgenden Verteilungen ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Multinomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 33

Definition eines stochastischen Prozesses:

Accepted Answer

Eine Folge von Zufallsvariablen, die zeitlich indiziert sind

Answer

Eine Funktion, die zufällige Variablen einem festen Zeitpunkt zuordnet

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Zustandsraum

Question 34

Definition der Markov-Eigenschaft:

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung hängt nur vom gegenwärtigen Zustand ab

Answer

Die zukünftige Entwicklung ist unabhängig vom gegenwärtigen Zustand

Answer

Die zukünftige Entwicklung hängt von allen vorherigen Zuständen ab

Question 35

Verteilung eines Poisson-Prozesses:

Accepted Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 36

Erwartungswert eines Poisson-Prozesses:

Accepted Answer

Die erwartete Anzahl von Ereignissen in einer Zeiteinheit

Answer

Die Standardabweichung der Anzahl von Ereignissen

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu einem bestimmten Zeitpunkt

Question 37

Definition einer absorbierenden Markov-Kette:

Accepted Answer

Mindestens ein absorbierender Zustand existiert

Answer

Zustände bilden einen Zyklus

Answer

Alle Zustände sind transient

Question 38

Eigenschaft einer wiederkehrenden Markov-Kette:

Accepted Answer

Jeder Zustand ist von jedem anderen Zustand erreichbar

Answer

Die Kette kehrt immer zum Anfangszustand zurück

Answer

Die Kette kann in mehrere nicht-kommunizierende Klassen zerlegt werden

Question 39

Welcher der folgenden Prozesse ist ein zeitkontinuierlicher stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Normalverteilung (statisch)

Answer

Markov-Kette (zeitdiskret)

Answer

Binomialverteilung (diskret)

Question 40

Welche Aussage über Markov-Ketten ist korrekt?

Accepted Answer

Der zukünftige Zustand hängt nur vom aktuellen Zustand ab (Gedächtnislosigkeit).

Answer

Sie sind immer zeitkontinuierlich.

Answer

Sie haben zwingend endlich viele Zustände.

Question 41

Welche Eigenschaft trifft auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Poisson-Prozesses mit Intensität λ zu?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse in einem Zeitintervall der Länge t ist (λt)^k * e^(-λt) / k!

Answer

k * λt * e^(-λt)

Answer

(λt)^(k-1) * e^(-λt) / (k-1)!

Answer

λt * e^(-λt)

Question 42

Welche Anwendung ist typisch für Markov-Ketten?

Accepted Answer

Modellierung von Warteschlangen (Zustandswechsel zwischen Ankommen, Warten und Verlassen)

Answer

Erkennung von Mustern in Zeitreihen (Zeitreihenanalyse)

Answer

Schätzung von Aktienkursen (Finanzmathematik)

Answer

Analyse von Klimadaten (Statistik)

Question 43

Welche Aussage über die Zustandsübergangsmatrix einer Markov-Kette trifft zu?

Accepted Answer

Die Summe der Einträge in jeder Zeile ist 1.

Answer

Sie ist immer symmetrisch.

Answer

Ihre Einträge sind die Wahrscheinlichkeiten, von einem Zustand in einen beliebigen anderen Zustand zu wechseln.

Answer

Sie hat immer nur positive Einträge.

Question 44

Ein stochastischer Prozess modelliert die Anzahl der Anrufe, die in einem Callcenter eingehen. Welcher Typ von stochastischem Prozess ist hierfür am ehesten geeignet?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Binomialverteilung

Question 45

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Eigenschaft von Markov-Prozessen?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit des aktuellen Zustands hängt nur vom unmittelbar vorherigen Zustand ab.

Answer

Der Prozess hat einen unendlichen Zustandsraum.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit des aktuellen Zustands hängt von allen vorherigen Zuständen ab.

Question 46

Welche der folgenden Verteilungen stellt die Grenzverteilung eines Markov-Prozesses dar?

Accepted Answer

Stationäre Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 47

Welche Eigenschaft muss eine Wahrscheinlichkeitsmatrix **P** einer Markov-Kette erfüllen?

Accepted Answer

Die Summe jeder Zeile in **P** ist gleich 1.

Answer

**P** ist symmetrisch.

Answer

**P** hat einen Eigenwert von 1.

Answer

**P** ist diagonalisierbar.

Question 48

Welche der folgenden Anwendungen ist ein Beispiel für die Nutzung von Poisson-Prozessen?

Accepted Answer

Modellierung der Ankunftsrate von Anrufen in einem Callcenter

Answer

Vorhersage von Erdbeben

Answer

Analyse von Kreditrisiken

Question 49

Ein Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein bestimmtes Gerät innerhalb eines Jahres ausfällt. Welcher stochastische Prozess wäre am besten geeignet, um dieses Problem zu modellieren?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Brownsche Bewegung

Question 50

Welche Eigenschaft beschreibt die „Markoveigenschaft“ in einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung des Prozesses hängt nur vom aktuellen Zustand ab, nicht von der Vergangenheit.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandsübergangs ist konstant über die Zeit.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist NICHT ein Merkmal eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen innerhalb eines kurzen Zeitintervalls ist proportional zum Quadrat der Zeitspanne.

Answer

Die Ereignisse treten unabhängig voneinander auf.

Question 52

Eine Maschine produziert durchschnittlich 5 defekte Produkte pro Stunde. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde genau 3 defekte Produkte entstehen, wenn man von einem Poisson-Prozess ausgeht?

Accepted Answer

0.1404

Answer

0.0313

Answer

0.2650

Question 53

Ein Unternehmen möchte die Anzahl der Kunden modellieren, die pro Stunde in ein Geschäft kommen. Die Kunden kommen unabhängig voneinander und die durchschnittliche Ankunftsrate beträgt 10 Kunden pro Stunde. Welcher stochastische Prozess wäre geeignet?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Question 54

Eine Markov-Kette hat folgende Übergangsmatrix: [[0.6, 0.4], [0.3, 0.7]]. Was ist die Wahrscheinlichkeit, sich nach zwei Schritten im zweiten Zustand zu befinden, wenn der Ausgangszustand der erste Zustand ist?

Accepted Answer

0.49

Answer

0.34

Answer

0.61

Answer

0.82

Question 55

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH bezüglich der stationären Verteilung einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Die stationäre Verteilung ist immer eindeutig.

Answer

Die stationäre Verteilung wird durch ein System linearer Gleichungen berechnet.

Answer

Die stationäre Verteilung beschreibt den Langzeit-Verhalten des Prozesses.

Answer

Die stationäre Verteilung ist unabhängig vom Ausgangszustand.

Question 56

Was ist die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in einem Zeitintervall der Länge t, wenn die Rate eines Poisson-Prozesses λ beträgt?

Accepted Answer

λt

Answer

λ

Answer

t

Answer

λ/t

Question 57

Ein Unternehmen möchte die Anzahl der Anrufe pro Stunde in einem Callcenter modellieren. Die Anrufe kommen unabhängig voneinander und die durchschnittliche Ankunftsrate beträgt 20 Anrufe pro Stunde. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für 3 Anrufe in einer Stunde?

Accepted Answer

0.0082

Answer

0.1217

Answer

0.2240

Answer

0.0332

Question 58

Welche Art von stochastischem Prozess ist am besten geeignet, um die Bewegung eines Aktienkurses an der Börse zu modellieren?

Accepted Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Markov-Kette

Answer

Poisson-Prozess

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über Markov-Ketten ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind stochastische Prozesse mit Gedächtnislosigkeit.

Answer

Sie sind nur in diskreter Zeit definiert.

Answer

Sie sind stationäre Prozesse.

Question 60

Welcher Typ von stochastischem Prozess beschreibt das Auftreten von Ereignissen in zufälligen Zeitabständen?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markow-Kette

Answer

Wiener-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Question 61

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Poisson-Prozess mit einer Rate λ pro Zeiteinheit k Ereignisse in einem Intervall der Länge t auftreten?

Accepted Answer

(λt)^k * e^(-λt) / k!

Answer

λ^k * t^k * e^(-λt)

Answer

1 - (λt)^k * e^(-λt)

Answer

(λt)^k * (1 - e^(-λt))

Question 62

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Bedeutung des stationären Zustands einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Es ist ein Zustand, in den die Kette langfristig mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit zurückkehrt.

Answer

Es ist ein Zustand, der unabhängig vom Startzustand erreicht wird.

Question 63

Welche der folgenden Aussagen ist über den Erwartungswert eines Poisson-Prozesses mit einer Rate λ pro Zeiteinheit wahr?

Accepted Answer

Er ist gleich λt.

Answer

Er ist gleich 1 - e^(-λt).

Answer

Er ist gleich λ/t.

Answer

Er ist gleich e^(-λt).

Question 64

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit eine Markov-Kette irreduzibel ist?

Accepted Answer

Es gibt einen Pfad von jedem Zustand zu jedem anderen Zustand.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, in jedem Zustand zu bleiben, ist größer als 0.

Answer

Die Anzahl der Zustände ist endlich.