Vektorräume: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Welche der folgenden Eigenschaften beschreibt KEINEN Vektorraum?

Accepted Answer

Vektoren aus verschiedenen Vektorräumen können miteinander addiert werden.

Answer

Lineare Kombinationen von Vektoren aus dem Vektorraum sind wieder Vektoren desselben Vektorraums.

Answer

Vektorräume besitzen einen Nullvektor.

Answer

Für beliebige Skalare λ und μ sowie Vektoren u und v aus dem Vektorraum gilt λ(μv) = (λμ)v.

Question 2

Welche der folgenden Mengen stellt eine Basis für den Vektorraum R² dar?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (2, 3)}

Answer

{(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

Answer

{(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind immer injektiv und surjektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind Funktionen, die Vektoren auf Vektoren abbilden.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Vektoraddition und die Multiplikation mit Skalaren.

Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen im Quell- und Zielvektorraum ab.

Question 4

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor in R³ auf seinen ersten Komponentenvektor abbildet?

Accepted Answer

[[1, 0, 0]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 1, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist immer ein Erzeugendensystem für den Quellvektorraum.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Quellvektorraums.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung kann die Dimension 0 haben.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge mit zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation mit einem Skalar, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.

Answer

Eine Menge mit nur einer Verknüpfung, der Addition.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine Basis bilden.

Question 7

Was bedeutet lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Sie lassen sich nicht als Linearkombination anderer Vektoren aus der Menge darstellen.

Answer

Sie bilden eine Basis.

Answer

Sie sind orthogonal zueinander.

Answer

Sie haben die gleiche Länge.

Question 8

Welche Eigenschaft haben orthogonale Vektoren?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist 0.

Answer

Ihr Vektorprodukt ist 0.

Answer

Ihre Länge ist 1.

Answer

Ihre Richtung ist identisch.

Question 9

Welches der folgenden ist ein Beispiel für einen Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich 2

Answer

Die Menge der Farben

Answer

Die Menge der geraden Zahlen

Answer

Die Menge der natürlichen Zahlen

Question 10

Die lineare Abbildung f: R² → R³ ist gegeben durch f(x, y) = (x + y, x - y, 2x). Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasen von R² und R³.

Accepted Answer

1 1 0
0 1 1
2 0 0

Answer

1 0 0
0 1 0
0 0 2

Answer

1 1 2
0 1 0
0 0 0

Question 11

Welches der folgenden ist kein Axiom für einen Vektorraum?

Accepted Answer

Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einer beliebigen Zahl

Answer

Assoziativität

Answer

Additivität

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorsystem ist genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.

Answer

Ein Vektorsystem ist genau dann linear unabhängig, wenn jeder Vektor eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Question 13

Welches der folgenden ist ein Erzeugendensystem für den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2?

Accepted Answer

{1, x, x²}

Answer

{1, x, x³}

Answer

{1, x, x, x²}

Answer

{1, x², x³}

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist ein minimales Erzeugendensystem, das heißt, sie enthält keine überflüssigen Vektoren.

Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist ein maximales Erzeugendensystem, das heißt, sie enthält alle möglichen Vektoren.

Question 15

Bestimmen Sie die Dimension des folgenden Vektorraums: {v ∈ R³ | v₁ + v₂ + v₃ = 0}

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 16

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung eines dreidimensionalen Vektorraums auf sich selbst?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit Determinante ungleich 0

Answer

Eine quadratische Matrix mit Determinante 0

Answer

Eine rechteckige Matrix mit beliebiger Determinante

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn sie parallel zueinander sind.

Answer

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihre Längen gleich sind.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die sowohl linear abhängig als auch ein Erzeugendensystem sind.

Answer

Eine Basis ist eine minimale Menge von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Elemente in jeder Basis des Vektorraums.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist kleiner als die Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums kann negativ sein.

Question 20

Welche der folgenden ist eine orthonormale Basis für R^2?

Accepted Answer

{(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)}

Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (0, 1)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Question 21

Welche der folgenden Transformationen ist eine Drehung?

Accepted Answer

[cos(θ) -sin(θ); sin(θ) cos(θ)]

Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 2; 0 1]

Answer

[1 2; 2 1]

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und eine Null enthält.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Zahlen, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Question 23

Wann ist ein Vektorsystem linear unabhängig?

Accepted Answer

Wenn kein Vektor als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden kann.

Answer

Wenn alle Vektoren voneinander verschieden sind.

Question 24

Welche Aussage über Erzeugendensysteme ist richtig?

Accepted Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum als Linearkombination erzeugen können.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig ist.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die eine Basis bilden.

Question 25

Welches der folgenden Vektorsysteme ist ein Erzeugendensystem für den R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 0)}

Question 26

Was ist eine Basis?

Accepted Answer

Ein minimal erzeugendes und linear unabhängiges Vektorsystem.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine maximale Anzahl an Vektoren enthält.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Question 27

Was ist die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl der Elemente im Vektorraum.

Answer

Die Anzahl der Erzeugendensysteme des Vektorraums.

Question 28

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erhält.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung, die injektiv ist.

Question 29

Welcher der folgenden ist ein Vektorraum?

Accepted Answer

R³

Answer

N

Answer

Q

Answer

Z

Question 30

Was beschreibt lineare Unabhängigkeit von Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.

Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie alle die gleiche Länge haben.

Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren kollinear sind.

Question 31

Welcher der folgenden Vektorräume hat die Standardbasis {e1, e2, e3}?

Accepted Answer

R³

Answer

R⁴

Answer

R²

Answer

C³

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung bewahrt die Vektoraddition und die skalare Multiplikation.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer invertierbar.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer surjektiv.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer injektiv.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zur linearen Unabhängigkeit ist richtig?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn kein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn sie die gleiche Dimension wie der Vektorraum haben.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn sie paarweise orthogonal zueinander sind.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zu Basen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das linear unabhängig ist.

Answer

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das die gleiche Dimension wie der Vektorraum hat.

Answer

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das paarweise orthogonal zueinander ist.

Question 35

Wie viele Elemente hat eine Basis des n-dimensionalen Vektorraums Rⁿ?

Accepted Answer

n

Answer

n - 1

Answer

n + 1

Question 36

Welcher der folgenden Vektorräume ist endlich-dimensional?

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n

Answer

Der Vektorraum aller reellen Zahlen

Answer

Der Vektorraum aller Funktionen von R nach R

Question 37

Welche der folgenden Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 38

Welcher der folgenden Quotientenräume ist isomorph zum dreidimensionalen Vektorraum R³?

Accepted Answer

R⁴ / {(0, 0, 0, x) | x ∈ R}

Answer

R⁴ / {(x, 0, 0, 0) | x ∈ R}

Answer

R⁴ / {(0, x, 0, 0) | x ∈ R}

Answer

R⁴ / {(0, 0, x, 0) | x ∈ R}

Question 39

Welches der folgenden ist **kein** Axiom eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Operation der Subtraktion ist definiert.

Answer

Die Operation der skalaren Multiplikation ist definiert.

Answer

Die Operation der Addition ist definiert.

Question 40

In einem Vektorraum ist die Summe zweier linear abhängiger Vektoren:

Accepted Answer

immer linear abhängig

Answer

nur linear abhängig, wenn die Vektoren kollinear sind

Answer

immer linear unabhängig

Answer

nur linear unabhängig, wenn die Vektoren nicht kollinear sind

Question 41

Welche Aussage über Erzeugendensysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Jedes Element des Vektorraums kann als Linearkombination der Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden.

Answer

Ein Erzeugendensystem ist immer linear unabhängig.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist **falsch**?

Accepted Answer

Eine Basis muss immer ein Erzeugendensystem sein.

Answer

Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine Basis.

Answer

Die Vektoren einer Basis sind linear unabhängig.

Question 43

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 44

Welches der folgenden Axiome **muss** nicht erfüllt sein, damit eine Menge einen Vektorraum bildet?

Accepted Answer

Die Addition ist nicht assoziativ.

Answer

Die skalare Multiplikation ist distributiv.

Answer

Zu jedem Vektor existiert ein inverses Element bezüglich der Addition.

Answer

Es gibt ein neutrales Element bezüglich der Addition.

Question 45

Welche der folgenden Mengen ist ein **Erzeugendensystem** für den Vektorraum R^2?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(0, 0), (1, 0)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Answer

{(1, 1)}

Question 46

Welche Aussage über Basen eines Vektorraums ist **korrekt**?

Accepted Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist immer linear unabhängig.

Answer

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums ist immer eine Basis.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums kann linear abhängig sein.

Question 47

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis des Vektorraums aller Polynome vom Grad höchstens 2?

Accepted Answer

{1, x, x^2}

Answer

{1, x^2}

Answer

{1, x, x+1}

Answer

{x, x^2}

Question 48

Wie viele Vektoren hat eine Basis des Vektorraums R^n?

Accepted Answer

n

Answer

2n

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer gleich der Anzahl der Vektoren in einer beliebigen Menge linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Answer

Ein Vektorraum kann verschiedene Basen haben, aber alle Basen haben die gleiche Anzahl von Vektoren.

Question 50

Welches der folgenden ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller reellwertigen Funktionen auf einem Intervall

Answer

Die Menge aller rationalen Matrizen

Answer

Die Menge aller geraden Zahlen

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist richtig?

Accepted Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Linearkombination der Vektoren, die den Nullvektor ergibt, eine triviale Linearkombination (alle Koeffizienten sind 0) ist.

Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es eine eindeutige Linearkombination der Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Basis ist ein minimal erzeugendes lineares unabhängiges System, d. h., sie enthält die wenigstmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Nicht-Erzeugendensystem.

Answer

Eine Basis ist ein linear abhängiges Erzeugendensystem.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über isomorphe Vektorräume ist richtig?

Accepted Answer

Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Dimension, d. h., sie besitzen dieselbe Anzahl an linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Struktur, aber unter Umständen unterschiedliche Dimensionen.

Answer

Isomorphe Vektorräume haben dasselbe Erzeugendensystem.

Answer

Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Anzahl von Elementen.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für einen linearen Operator auf einem Vektorraum?

Accepted Answer

Ein linearer Operator ist eine Abbildung, die die Vektorraumaddition und die skalare Multiplikation bewahrt, d. h., er ist sowohl additiv als auch homogen.

Answer

Ein linearer Operator ist eine Abbildung, die nur die skalare Multiplikation bewahrt.

Question 55

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Matrixdarstellung eines linearen Operators?

Accepted Answer

Die Matrixdarstellung eines linearen Operators hängt von der gewählten Basis des Vektorraums ab, d. h., sie ist nicht eindeutig.

Answer

Die Matrixdarstellung eines linearen Operators ist immer eine Diagonalmatrix.

Answer

Die Matrixdarstellung eines linearen Operators ist für alle Basen des Vektorraums gleich.

Question 56

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Eigenwerte eines linearen Operators?

Accepted Answer

Die Eigenwerte eines linearen Operators sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms des Operators, d. h., die Werte, für die der Operator singulär ist.

Answer

Die Eigenwerte eines linearen Operators sind immer reell.

Answer

Die Eigenwerte eines linearen Operators sind immer positiv.