Lineare Abbildungen: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung f korrekt?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind korrekt

Answer

f(0) = 0

Answer

f(x + y) = f(x) + f(y)

Answer

f(cx) = cf(x)

Question 2

Bestimmen Sie den Rang der Matrix A = [1, 2; 3, 6].

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 3

Welche Eigenschaft gilt für jede lineare Abbildung?

Accepted Answer

Linearität

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Answer

Bijektivität

Question 4

Welche der folgenden Aussagen ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass eine lineare Abbildung injektiv ist?

Accepted Answer

Der Nullraum besteht nur aus dem Nullvektor

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen

Answer

Die Determinante ist ungleich Null

Answer

Die Matrix hat keine Eigenwerte

Question 5

Welche Eigenschaft gilt für jede surjektive lineare Abbildung?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Spalten

Answer

Der Nullraum ist trivial

Answer

Die Abbildung ist injektiv

Answer

Die Matrix hat nur positive Eigenwerte

Question 6

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Additivität

Answer

Homomorphie

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Question 7

Welche Aussage zur Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Spaltenvektoren sind die Bilder der Basisvektoren.

Answer

Die Zeilenvektoren sind die Bilder der Basisvektoren.

Answer

Die Hauptdiagonale enthält die Eigenwerte der Abbildung.

Answer

Die Determinante der Matrix entspricht dem Rang der Abbildung.

Question 8

Welche Aussage zum Kernraum einer linearen Abbildung ist zutreffend?

Accepted Answer

Der Kernraum ist der Untervektorraum, der auf die Null abgebildet wird.

Answer

Der Kernraum ist der Untervektorraum, der auf Eins abgebildet wird.

Answer

Der Kernraum umfasst alle Vektoren, die parallel zum Bildraum sind.

Answer

Der Kernraum umfasst alle Vektoren, die orthogonal zum Bildraum sind.

Question 9

Gegeben sei die lineare Abbildung f(x) = Ax. Welcher Ausdruck repräsentiert die Matrixdarstellung?

Accepted Answer

A

Answer

A<sup>-1</sup>

Answer

x

Answer

f(x)

Question 10

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie erhalten die vektoriellen Operationen Addition und skalare Multiplikation.

Answer

Sie sind stets injektiv.

Answer

Sie sind stets surjektiv.

Answer

Sie sind stets bijektiv.

Question 11

Welche Matrix stellt eine lineare Abbildung von R² nach R³ dar?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4, 5]]

Question 12

Bestimmen Sie den Rang der Matrix [[1, 2], [3, 6]]

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 13

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Element des Nullraums der Matrix [[1, 2], [3, 6]]?

Accepted Answer

[1, -2]

Answer

[2, -3]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Question 14

Welche Eigenschaft gilt für alle linearen Abbildungen?

Accepted Answer

Sie sind stets stetig.

Answer

Sie sind stets differenzierbar.

Answer

Sie sind stets integrierbar.

Answer

Sie sind stets beschränkt.

Question 15

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung von R² nach R²?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = (x², y²)

Answer

f(x, y) = (x, |y|)

Answer

f(x, y) = (e^x, sin(y))

Question 16

Berechnen Sie den Kern der linearen Abbildung f: ℝ³ → ℝ³, die durch f(x₁, x₂, x₃) = (x₁, x₂, x₃) gegeben ist.

Accepted Answer

{(0, 0, 0)}

Answer

{(1, 0, 0)}

Answer

{(0, 1, 0)}

Answer

{(0, 0, 1)}

Question 17

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die eine Linearkombination der Ausgangsgrößen auf eine Linearkombination der Zielgrößen abbildet

Answer

Eine Abbildung, die den Abstand zwischen Ausgangs- und Zielgröße verändert

Question 18

Wie lautet der Rang der linearen Abbildung, die durch die Matrix [1 2] abgebildet wird?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 19

Welche der folgenden Eigenschaften ist für lineare Abbildungen nicht gültig?

Accepted Answer

Sie sind stets injektiv und surjektiv

Answer

Sie sind additiv

Answer

Sie sind homogen

Question 20

Welche der folgenden Aussagen zum Bildraum einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Zielraums

Answer

Er ist immer gleich dem Zielraum

Answer

Er ist immer eindimensional

Answer

Er ist immer orthogonal zum Kernraum

Question 21

Welche der folgenden Aussagen zum Kernraum einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist der Raum aller Eingangsvektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Answer

Er ist immer orthogonal zum Bildraum

Answer

Er ist gleich dem Zielraum

Answer

Er ist immer ein eindimensionaler Unterraum

Question 22

Was beschreibt das Konzept des Basiswechsels?

Accepted Answer

Den Wechsel von einer Basis zu einer anderen Basis im selben Vektorraum

Answer

Die Berechnung der Determinante einer Matrix

Answer

Die Transformation einer linearen Abbildung in eine andere lineare Abbildung

Question 23

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung f: V → W ist zutreffend?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Bildraums

Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Urbildraums

Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Vektorraums V

Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Kerns

Question 24

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[1 2; 0 0]

Answer

[0 1; -1 2]

Answer

[2 1; -1 0]

Answer

[1 0; -1 1]

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt, was eine lineare Abbildung bewirkt?

Accepted Answer

Transformiert Vektoren in Linearkombinationen anderer Vektoren.

Answer

Löst Differentialgleichungen.

Answer

Invertiert Matrizen.

Answer

Berechnet Eigenwerte.

Question 26

Welche Aussage zur Komposition linearer Abbildungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist immer kommutativ.

Answer

Die Matrixdarstellung der Komposition ist das Produkt der Matrixdarstellungen.

Answer

Der Nullraum der Komposition ist der Schnittpunkt der Nullräume der einzelnen Abbildungen.

Question 27

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix, die die lineare Abbildung darstellt.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix, die die lineare Abbildung darstellt.

Question 28

Welche Aussage über die Komposition linearer Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist nur dann eine lineare Abbildung, wenn die Vektorräume, auf die sie abbilden, gleich sind.

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist nur dann eine lineare Abbildung, wenn die Matrizen, die sie darstellen, invertierbar sind.

Question 29

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die die Fläche oder das Volumen des von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannten Parallelogramms oder Parallelepipeds angibt.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 30

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die Abbildung f(x, y) = (2x + y, x - 2y)?

Accepted Answer

[[2, 1], [1, -2]]

Answer

[[1, 2], [1, -1]]

Answer

[[1, 2], [1, -2]]

Answer

[[2, 1], [-1, 1]]

Question 31

Welche der folgenden Abbildungen ist nicht linear?

Accepted Answer

f(x, y) = x^2 + y^3

Answer

f(x, y) = 0

Answer

f(x, y) = x + y - 1

Answer

f(x, y) = ax + by + c

Question 32

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + 2y, 3x - y)

Answer

f(x, y) = (x^2, y^2)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y))

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|)

Question 33

Welche der folgenden Abbildungen f: ℝ → ℝ ist linear?

Accepted Answer

f(x) = x + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 34

Welcher der folgenden Sätze ist äquivalent zur Aussage, dass eine lineare Abbildung f: V → W injektiv ist?

Accepted Answer

Der Nullraum von f ist trivial.

Answer

Die Matrixdarstellung von f ist invertierbar.

Answer

Das Bild von f ist gleich W.

Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von W.

Question 35

Welcher der folgenden Sätze ist äquivalent zur Aussage, dass eine lineare Abbildung f: V → W surjektiv ist?

Accepted Answer

Das Bild von f ist gleich W.

Answer

Der Nullraum von f ist trivial.

Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Die Matrixdarstellung von f ist invertierbar.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen trifft auf den Kern einer linearen Abbildung f: V → W zu?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Er ist gleich dem Bildraum von f.

Answer

Er ist ein Untervektorraum von W.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen trifft auf das Bild einer linearen Abbildung f: V → W zu?

Accepted Answer

Es handelt sich um einen Untervektorraum von W.

Answer

Es handelt sich um einen Untervektorraum von V.

Answer

Es ist gleich dem Definitionsbereich V.

Answer

Es ist gleich dem Kern von f.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist die Definition einer linearen Abbildung f: V -> W?

Accepted Answer

f(a + b) = f(a) + f(b) und f(ca) = c * f(a) für alle a, b in V und c in dem zugrunde liegenden Körper

Answer

f(a * b) = f(a) * f(b) für alle a, b in V

Answer

f(0) = 0 für alle V

Answer

f(a^2) = f(a)^2 für alle a in V

Question 39

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Isometrie?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 40

Betrachte die lineare Abbildung f(x, y) = (x + y, 2x - y). Welches der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von f?

Accepted Answer

[1 1]

Answer

[0 0]

Answer

[1 0]

Answer

[0 1]

Question 41

Welche der folgenden Abbildungen erfüllt die Eigenschaften einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = 2x - 3y

Answer

f(x, y) = xy

Answer

f(x, y) = |x| + y

Answer

f(x, y) = x² + y²

Question 42

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R² → R² mit f(x, y) = (2x + y, x - y). Ermitteln Sie ihre Matrixdarstellung.

Accepted Answer

[[2, 1], [1, -1]]

Answer

[[2, -1], [1, 1]]

Answer

[[1, 2], [-1, 1]]

Answer

[[1, 1], [2, -1]]

Question 43

Die lineare Abbildung f: R³ → R² ist definiert durch f(x, y, z) = (x + y, 2z). Berechnen Sie ihren Rang.

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

0

Answer

1

Question 44

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R² → R² mit f(x, y) = (x + y, 2x + 2y). Ist f injektiv?

Accepted Answer

Nein

Answer

Nur für positive x und y

Answer

Ja

Question 45

Sei f: R³ → R² eine lineare Abbildung mit f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (1, -1) und f(0, 0, 1) = (0, 2). Bestimmen Sie f(2, 1, -1).

Accepted Answer

(5, 1)

Answer

(3, 3)

Answer

(4, -1)

Question 46

Die lineare Abbildung f: R² → R² ist gegeben durch f(x, y) = (2x, 3y). Ist f surjektiv?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur für negative x und y

Answer

Nur für positive x und y

Answer

Nein

Question 47

Welche Determinante hat die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

-2

Answer

-10

Answer

10

Answer

2

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist nicht die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

[1 0 0] 
[0 1 1] 
[0 0 1]

Answer

[1 0 0] 
[0 1 0] 
[0 0 1]

Answer

[1 2] 
[3 4]

Answer

[0 1] 
[1 0]

Question 49

Welche der folgenden Mengen ist der Nullraum der linearen Abbildung f(x) = x^2?

Accepted Answer

{0}

Answer

{1}

Answer

R

Answer

{0, 1}

Question 50

Welche der folgenden Eigenschaften muss eine Abbildung **f** erfüllen, um eine lineare Abbildung zu sein?

Accepted Answer

**f(x + y) = f(x) + f(y)** und **f(λx) = λf(x)** für alle Vektoren **x, y** und alle Skalare **λ**

Answer

**f(x + y) = f(x) + f(y)** und **f(x / y) = f(x) / f(y)**

Answer

**f(x + y) = f(x) + f(y)** und **f(x * y) = f(x) * f(y)**

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist eindeutig und unabhängig von der gewählten Basis.

Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung kann verwendet werden, um die Abbildung auf Vektoren anzuwenden.

Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung kann durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt werden.

Question 52

Sei **f: R² → R³** eine lineare Abbildung. Welche der folgenden Möglichkeiten ist eine mögliche Matrixdarstellung von **f**?

Accepted Answer

**[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]**

Answer

**[[1, 2], [3, 4]]**

Answer

**[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]**

Answer

**[[1, 2, 3]]**

Question 53

Was ist der Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildraums der linearen Abbildung.

Answer

Die Dimension des Definitionsbereichs der linearen Abbildung.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrixdarstellung der linearen Abbildung.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Nullraum einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Nullraum einer linearen Abbildung ist immer der Nullvektor.

Question 55

Sei **f: R² → R²** eine lineare Abbildung mit der Matrixdarstellung **[[2, 1], [4, 2]]**. Welcher Vektor gehört zum Nullraum von **f**?

Accepted Answer

**[-1, 2]**

Answer

**[0, 1]**

Answer

**[1, 0]**

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über die Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist nicht assoziativ.

Answer

Die Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist eine lineare Abbildung.

Answer

Die Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist kommutativ.

Question 57

Sei **f: R³ → R²** eine lineare Abbildung mit **f(x, y, z) = (x + y, z)**. Welche der folgenden Aussagen über **f** ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Rang von **f** ist **2**.

Answer

Die Dimension des Bildraums von **f** ist **3**.

Answer

Der Nullraum von **f** ist **{(0, 0, 0)}**.

Answer

Der Rang von **f** ist **3**.

Question 58

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist eine Isomorphie?

Accepted Answer

**f: R² → R²** mit **f(x, y) = (x + y, x - y)**

Answer

**f: R³ → R²** mit **f(x, y, z) = (x, y)**

Answer

**f: R² → R³** mit **f(x, y) = (x, y, 0)**

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Inverse einer linearen Abbildung ist **richtig**?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang gleich der Dimension des Definitionsbereichs ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer invertierbar.

Question 60

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf eine lineare Abbildung zu?

Accepted Answer

Sie kann durch eine Matrix dargestellt werden.

Answer

Sie ist immer bijektiv.

Answer

Ihr Definitionsbereich ist immer der gesamte R^n.

Answer

Sie ist immer differenzierbar.

Question 61

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 2; 0 0]

Answer

[1 2; 3 5]

Answer

[1 0; 2 1]

Question 62

Welcher Vektor liegt im Kern der linearen Abbildung T: R^2 -> R^2, die durch die Matrix [1 2; -1 1] definiert ist?

Accepted Answer

[2; -1]

Answer

[1; 1]

Answer

[0; 1]

Answer

[1; 0]

Question 63

Wie hoch ist der Rang der linearen Abbildung T: R^3 -> R^2, die durch die Matrix [1 2 1; 2 4 2] definiert ist?

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

3

Answer

2

Question 64

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2