Zufallsvariablen: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Welche Eigenschaft trifft auf eine diskrete Zufallsvariable X zu?

Accepted Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte von X ist 1.

Answer

X kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X ist eine stetige Funktion.

Answer

Der Erwartungswert von X kann negativ sein.

Question 2

Welche Aussage über eine Zufallsvariable X ist korrekt?

Accepted Answer

X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu.

Answer

X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine komplexe Zahl zu.

Answer

X ist eine Zufallsgröße mit Werten in einem endlichen Intervall.

Answer

X ist eine Zufallsgröße mit Werten in einem unendlichen Intervall.

Question 3

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariable X?

Accepted Answer

E(X) = ∑x * P(X = x) über alle x

Answer

E(X) = ∑x * P(X < x) über alle x

Answer

E(X) = ∫x * f(x) dx über alle x

Answer

E(X) = ∫x * F(x) dx über alle x

Question 4

Wie berechnet man die Varianz einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

V(X) = E((X - E(X))^2)

Answer

V(X) = E((X + E(X))^2)

Answer

V(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx über alle x

Answer

V(X) = ∫(x + E(X))^2 * f(x) dx über alle x

Question 5

Welche Verteilung ist die Standardnormalverteilung?

Accepted Answer

X ~ N(0, 1)

Answer

X ~ N(1, 0)

Answer

X ~ N(0, 2)

Answer

X ~ N(2, 0)

Question 6

Welche Zufallsvariable nimmt nur diskrete Werte an?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Kontinuierliche Zufallsvariable

Answer

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer

Kumulative Verteilungsfunktion

Question 7

Welche Funktion ordnet jedem Wert einer Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zu?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeitsmassefunktion

Answer

Dichtefunktion

Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Question 8

Welche Zufallsvariable kann Werte in einem kontinuierlichen Intervall annehmen?

Accepted Answer

Kontinuierliche Zufallsvariable

Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer

Kumulative Verteilungsfunktion

Question 9

Welche Funktion gibt für jeden Wert einer Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable kleiner oder gleich diesem Wert ist?

Accepted Answer

Kumulative Verteilungsfunktion

Answer

Wahrscheinlichkeitsmassefunktion

Answer

Dichtefunktion

Answer

Erwartungswert

Question 10

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist FALSCH?

Accepted Answer

Zufallsvariablen können nur kontinuierliche Werte annehmen.

Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis einer Stichprobe einen Zahlenwert zu.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen zeigt die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Wert an.

Question 11

Welche Aussage definiert eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Größe, deren Wert zufällig ist.

Answer

Eine Größe, deren Wert vorhergesagt werden kann.

Answer

Eine Größe, die nur positive Werte annehmen kann.

Answer

Eine Größe, die nur negative Werte annehmen kann.

Question 12

Welche Transformation einer Zufallsvariablen X ändert ihren Erwartungswert nicht?

Accepted Answer

X + a

Answer

X * a

Answer

√X

Answer

X²

Question 13

Was ist eine korrekte Aussage über Monte-Carlo-Simulationen?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Simulationen verwenden Zufallszahlen zur Modellierung komplexer Systeme.

Answer

Monte-Carlo-Simulationen sind immer deterministisch.

Answer

Monte-Carlo-Simulationen sind nur für große Datensätze geeignet.

Answer

Monte-Carlo-Simulationen liefern immer genaue Ergebnisse.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine Zufallsvariable X zu?

Accepted Answer

X ordnet jedem Ergebnis ω aus dem Ergebnisraum Ω eine reelle Zahl zu.

Answer

X kann höchstens zwei verschiedene Werte annehmen.

Answer

X ist immer eine stetige Funktion.

Answer

X ist immer eine ganzzahlige Zufallsvariable.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen ist über den Erwartungswert μ einer Zufallsvariablen X richtig?

Accepted Answer

μ ist der gewichtete Durchschnitt aller Werte, die X annehmen kann.

Answer

μ ist immer positiv.

Answer

μ kann auch negativ sein.

Answer

μ ist immer größer als die Varianz.

Question 16

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist eine diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der geworfenen Augen eines fairen Würfels

Answer

Die Größe einer Person

Answer

Die Temperatur einer Flüssigkeit

Answer

Die Länge einer Strecke

Question 17

Welche Formel beschreibt die Verteilungsfunktion P(X = x) einer binomialverteilten Zufallsvariablen X mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p?

Accepted Answer

P(X = x) = (n! / x!(n-x)!) * p^x * (1-p)^(n-x)

Answer

P(X = x) = 1 - (1-p)^(x+1)

Answer

P(X = x) = (1 + p)^x

Answer

P(X = x) = exp(-x*p) * p^x / x!

Question 18

Welche Transformation führt eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert μ und Varianz σ² auf eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z ab?

Accepted Answer

Z = (X - μ) / σ

Answer

Z = (X + μ) / σ

Answer

Z = (μ - X) / σ

Answer

Z = (σ - X) / μ

Question 19

Welche Formel beschreibt den Satz von Bayes?

Accepted Answer

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

Answer

P(A | B) = P(B) / P(A)

Answer

P(A | B) = P(A) * P(B)

Answer

P(A | B) = P(B) * P(A) / P(A | B)

Question 20

Was beschreibt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass X und Y gleichzeitig bestimmte Werte annehmen.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, unabhängig von Y.

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass X oder Y einen bestimmten Wert annehmen.

Question 21

Welche Aussage beschreibt die Bernoulli-Verteilung am besten?

Accepted Answer

Eine Verteilung mit zwei möglichen Ergebnissen, die einen Versuch mit Erfolg oder Misserfolg darstellt.

Answer

Eine Verteilung mit unendlich vielen möglichen Ergebnissen, die einen kontinuierlichen Wertebereich abdeckt.

Answer

Eine Verteilung, bei der die Werte gleichmäßig um den Mittelwert verteilt sind.

Answer

Eine Verteilung mit einem festen Mittelwert von 0.

Question 22

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariablen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist immer positiv oder null.

Answer

Sie ist gleich dem Erwartungswert.

Answer

Sie ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Sie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit.

Question 23

Welche Größe misst die zentrale Tendenz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Answer

Modus

Question 24

Wie lautet die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen?

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * P(X = x))

Answer

E(X) = Σ(x^2 * P(X = x))

Answer

E(X) = Σ(P(X = x))

Answer

E(X) = Σ(x / P(X = x))

Question 25

Welche Zufallsvariable hat eine Bernoulli-Verteilung?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable, die nur die Werte 0 und 1 annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable, die nur positive Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable, die nur negative Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable, die kontinuierlich verteilt ist.

Question 26

Nenne eine Anwendung von Zufallsvariablen in der Praxis.

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen

Answer

Modellieren von Warteschlangen in Supermärkten

Answer

Vorhersage von Aktienkursen

Answer

Beurteilung von Risiken in Versicherungsunternehmen

Question 27

Definition einer Zufallsvariablen: Welche Aussage beschreibt korrekt eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet

Answer

Eine feste Zahl, die einem Zufallsexperiment zugeordnet ist

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die möglichen Ergebnissen zugeordnet ist

Answer

Eine Gleichung, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses darstellt

Question 28

Interpretation des Erwartungswerts: Welche Aussage beschreibt korrekt die Interpretation des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Der Durchschnittswert, der bei wiederholten Experimenten erwartet wird

Answer

Der Wert, der mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auftritt

Answer

Der maximale mögliche Wert der Zufallsvariablen

Answer

Der minimale mögliche Wert der Zufallsvariablen

Question 29

Zufallsvariable für bestimmte Ereignisse: Welche Art von Zufallsvariablen modelliert die Anzahl von Ereignissen, die in einem bestimmten Zeitintervall oder Bereich auftreten?

Accepted Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 30

Ungleichung für die Varianz: Welche Ungleichung gilt für die Varianz einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Var(X) ≥ 0

Answer

Var(X) ≤ 0

Answer

Var(X) = 0

Answer

Var(X) > 0

Question 31

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung: Welche der folgenden Verteilungen ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig zur Modellierung von Messdaten verwendet wird?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 32

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuweist.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert zufällig bestimmt wird.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = x) = 1/x für x = 1, 2, 3, ... ist richtig?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist unendlich.

Answer

Der Erwartungswert ist 2.

Answer

Der Erwartungswert ist 1.

Answer

Der Erwartungswert ist 0.

Question 34

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Binomialverteilung?

Accepted Answer

Die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Answer

Die Zeit bis zum ersten Erfolg in einem Poisson-Prozess.

Answer

Die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen mit Standardnormalverteilung.

Question 35

Welche Aussage über den Zentralen Grenzwertsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe oder der Mittelwert einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen näherungsweise normalverteilt ist.

Answer

Der Zentrale Grenzwertsatz gilt nur für Zufallsvariablen mit Normalverteilung.

Question 36

Welches Testverfahren wird verwendet, um zu prüfen, ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist?

Accepted Answer

Chi-Quadrat-Test

Answer

F-Test

Answer

T-Test

Answer

Binomialtest

Question 37

Welche Aussage über Regression ist korrekt?

Accepted Answer

Regression ist eine statistische Methode, die eine Gleichung schätzt, die eine abhängige Zufallsvariable in Abhängigkeit von einer oder mehreren unabhängigen Zufallsvariablen vorhersagt.

Answer

Die Regressionsgleichung ist immer linear.

Question 38

Welche Hypothese wird in einem Test auf Mittelwertunterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben getestet?

Accepted Answer

H0: μ1 = μ2

Answer

H0: μ1 ≠ μ2

Answer

H0: p1 = p2

Answer

H0: σ1 = σ2

Question 39

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine messbare Funktion, die jedem Ergebnis eines Wahrscheinlichkeitsraums eine reelle Zahl zuordnet

Answer

Eine Zufallsgröße, die nur endlich viele Werte annehmen kann

Answer

Eine Funktion, die jedem Wert eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet

Question 40

Welcher Begriff beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Question 41

Mit welcher Formel wird die Varianz einer Zufallsvariablen berechnet?

Accepted Answer

Var(X) = E((X - E(X))^2)

Answer

Var(X) = Std(X)^2

Answer

Var(X) = E(X) - E(X^2)

Answer

Var(X) = E(X^2)

Question 42

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Binomialverteilung?

Accepted Answer

Die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen

Answer

Die Summe der Werte einer Stichprobe

Answer

Die Zeit bis zum ersten Auftreten eines Ereignisses

Question 43

Welche Aussage beschreibt eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine numerische Größe zu.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die nur ganze Zahlen annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert sich über die Zeit nicht ändert.

Question 44

Welche der aufgeführten Funktionen stellt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dar?

Accepted Answer

f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))

Answer

F(x) = P(X ≤ x)

Answer

P(X = x)

Question 45

Welche der angegebenen Zufallsvariablen weist die größte Varianz auf?

Accepted Answer

X ~ Bin(10, 0,5)

Answer

X ~ Bin(5, 0,5)

Answer

X ~ Bin(10, 0,2)

Answer

X ~ Bin(5, 0,2)

Question 46

Welche Aussage zur Kovarianz von Zufallsvariablen X und Y ist korrekt?

Accepted Answer

Die Kovarianz misst den linearen Zusammenhang zwischen X und Y.

Answer

Die Kovarianz ist immer positiv.

Answer

Die Kovarianz ist immer negativ.

Question 47

Wie lautet der Median der Zufallsvariablen X ~ U(0, 1)?

Accepted Answer

0,5

Answer

1

Answer

0

Answer

0,25

Question 48

Welche Transformation führt eine Zufallsvariable X ~ N(μ, σ²) in eine Zufallsvariable Y mit einer Standardnormalverteilung über?

Accepted Answer

Y = (X - μ) / σ

Answer

Y = X²

Answer

Y = e^X

Answer

Y = ln(X)

Question 49

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X ~ N(0, 1) zwischen -1 und 1 liegt?

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,5

Answer

0,95

Answer

0,75

Question 50

Welche Eigenschaft trifft auf eine diskrete Zufallsvariable zu?

Accepted Answer

Sie kann nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen.

Answer

Sie hat eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Answer

Ihr Erwartungswert ist immer ein ganzzahliger Wert.

Question 51

Welche Aussage über den Erwartungswert einer Zufallsvariable ist falsch?

Accepted Answer

Er gibt den häufigsten Wert der Zufallsvariable an.

Answer

Er ist ein Maß für den zentralen Wert der Zufallsvariable.

Answer

Er kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Question 52

Welche Aussage beschreibt die Binomialverteilung?

Accepted Answer

Sie modelliert die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer bestimmten Anzahl von Versuchen bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche.

Answer

Sie ist immer symmetrisch.

Question 53

Welches Maß beschreibt die Stärke der linearen Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

Korrelationskoeffizient

Answer

Regressionskoeffizient

Answer

Kovarianz

Answer

Standardabweichung

Question 54

Welche Aussage zum Satz von Bayes ist falsch?

Accepted Answer

Er kann nur auf stetige Zufallsvariablen angewendet werden.

Answer

Er wird häufig in der Entscheidungsfindung genutzt.

Answer

Er ermöglicht die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten.

Question 55

Welche Art von Zufallsvariable beschreibt die Anzahl von Anrufen, die in einem Callcenter pro Stunde eingehen?

Accepted Answer

Poisson-verteilt

Answer

Binomialverteilt

Answer

Exponentialverteilt

Answer

Normalverteilt

Question 56

Welche Aussage zur Erwartungstreue einer Methode zur Parameterschätzung ist richtig?

Accepted Answer

Ein erwartungstreuer Schätzer liefert im Durchschnitt den wahren Parameterwert.

Answer

Erwartungstreue ist unabhängig von der Stichprobengröße.

Answer

Erwartungstreue bedeutet, dass der Schätzer immer den wahren Parameterwert liefert.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist eine korrekte Definition einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Element eines Ergebnisraums eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

Eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments.

Answer

Eine Zahl, die das Ergebnis eines Experiments darstellt.

Question 58

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Answer

Zeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Answer

Anzahl der Kunden, die pro Stunde einen Laden besuchen.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert und hat eine Glockenform.

Answer

Sie ist nur für positive Zufallsvariablen definiert.

Answer

Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 60

Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable X mit μ = 10 und σ = 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 8 und 12 annimmt.

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,9545

Answer

0,3173

Answer

0,8413

Question 61

Welche der folgenden Transformationen ergibt eine neue Zufallsvariable mit einer Normalverteilung?

Accepted Answer

Z = (X - μ) / σ

Answer

Z = 1 / X

Answer

Z = log(X)

Answer

Z = X^2