Numerische Integration: Online-Quiz für Wirtschaftsinformatik-Studierende

Question 1

Welche Aussage zur Trapezregel ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist eine numerische Integrationsmethode erster Ordnung.

Answer

Sie überschätzt unter allen Umständen den Wert des Integrals.

Answer

Sie ist genauer als die Simpsonregel.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit stetiger zweiter Ableitung anwendbar.

Question 2

Wie lautet die Formel für die Simpsonregel?

Accepted Answer

(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b))/6

Answer

f((b-a)/2)

Answer

f'(a) + f'(b)

Answer

∫[a,b] f(x) dx

Question 3

Welche numerische Integrationsmethode liefert im Allgemeinen die höhere Genauigkeit: Trapezregel oder Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Dies hängt von der konkreten Funktion und dem Integrationsintervall ab.

Answer

Simpsonregel

Question 4

In welchen Bereichen finden Anwendungen der numerischen Integration statt?

Accepted Answer

Alle genannten Bereiche

Answer

Flächenberechnung

Answer

Volumenberechnung

Answer

Lösen differential-algebraischer Gleichungen

Question 5

Welche Aussage über die Gauß-Quadratur ist inkorrekt?

Accepted Answer

Sie ist für Funktionen mit unendlichen Unstetigkeitsstellen geeignet.

Answer

Sie ist eine numerische Integrationsmethode höherer Ordnung.

Answer

Sie verwendet Gewichtungsfunktionen.

Answer

Sie ist im Allgemeinen genauer als andere numerische Integrationsmethoden.

Question 6

Welche Fehlerquellen können bei numerischen Integrationsverfahren auftreten?

Accepted Answer

Alle genannten Fehlerquellen

Answer

Rundungsfehler

Answer

Approximationsfehler

Answer

Fehler bei der Schrittweitenauswahl

Question 7

Was unterscheidet die Gauß-Quadratur von anderen numerischen Integrationsmethoden?

Accepted Answer

Verwendung einer nichtlinearen Transformation zur Erhöhung der Genauigkeit

Answer

Basiert auf der Interpolation des Integranden

Answer

Nur anwendbar auf analytische Funktionen

Answer

Iterative Methode zur numerischen Integration

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Trapezregel?

Accepted Answer

Teilt das Integral in trapezförmige Bereiche und berechnet die Summe ihrer Flächen.

Answer

Teilt das Integral in parabelförmige Bereiche und berechnet die Summe ihrer Flächen.

Answer

Verwendet eine Reihe von Stützstellen, um das Integral durch ein Polynom zu approximieren.

Answer

Berechnet das Integral exakt für beliebige Funktionen.

Question 9

Die numerische Integration wird häufig in:

Accepted Answer

Allen oben genannten

Answer

Naturwissenschaften

Answer

Ingenieurwesen

Answer

Wirtschaft

Question 10

Welche Aussage zur Trapezregel ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie basiert auf der Annahme, dass der Integrand linear über dem Integrationsintervall verläuft.

Answer

Sie liefert exakte Integralwerte für beliebige Funktionen.

Answer

Sie unterschätzt das Integral, wenn die Funktion konkav ist.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Stammfunktion des Integranden.

Question 11

Welche numerische Integrationsmethode liefert in der Regel die zuverlässigsten Ergebnisse?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 12

Für welche Klasse von Funktionen ist die Simpsonregel besonders geeignet?

Accepted Answer

Quadratische Funktionen

Answer

Lineare Funktionen

Answer

Periodische Funktionen

Answer

Exponentialfunktionen

Question 13

Wie lautet die Fehlerabschätzung für die Simpsonregel?

Accepted Answer

E ≤ (b - a)³ / (180 * n²) * max(|f'''(x)|)

Answer

E ≤ (b - a)² / (12 * n²) * max(|f''(x)|)

Answer

E ≤ (b - a) / (2 * n²) * max(|f'(x)|)

Answer

E ≤ (b - a) / (4 * n²) * max(|f(x)|) mit n → ∞

Question 14

Was versteht man unter einem Stützpunkt bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Ein Punkt, an dem der Integrand ausgewertet wird

Answer

Ein Punkt, der die Integrationsgrenzen festlegt

Answer

Ein Punkt, an dem die Funktion integriert wird

Answer

Ein Punkt, der die Genauigkeit der Integration bestimmt

Question 15

Welche Aussage zur numerischen Integration ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Integration.

Answer

Sie kann nur für bestimmte Integrale verwendet werden.

Answer

Sie ist oft nützlich, wenn die Stammfunktion des Integranden nicht bekannt ist.

Answer

Sie kann für mehrdimensionale Integrale eingesetzt werden.

Question 16

Wie wirkt sich die Anzahl der Stützstellen bei der numerischen Integration auf Genauigkeit und Rechenzeit aus?

Accepted Answer

Mehr Stützstellen erhöhen die Genauigkeit, aber auch die Rechenzeit.

Answer

Weniger Stützstellen erhöhen die Genauigkeit und verringern die Rechenzeit.

Answer

Mehr Stützstellen verringern die Genauigkeit, aber erhöhen die Rechenzeit.

Answer

Weniger Stützstellen verringern die Genauigkeit und die Rechenzeit.

Question 17

Wie wirkt sich die Art der Funktion auf die Genauigkeit der Gauß-Quadratur aus?

Accepted Answer

Für Polynome bis zum Grad n liefert die Gauß-Quadratur das exakte Ergebnis.

Answer

Die Genauigkeit ist unabhängig von der Funktion immer gleich.

Answer

Die Genauigkeit steigt mit zunehmender Steigung der Funktion.

Answer

Die Gauß-Quadratur ist nur für differenzierbare Funktionen anwendbar.

Question 18

Welche Aussage zur Simpsonregel ist korrekt?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel erfordert weniger Funktionsauswertungen als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel ist nur für Funktionen mit einer ungeraden Anzahl von Stützstellen anwendbar.

Answer

Die Simpsonregel konvergiert immer gegen den exakten Wert des Integrals.

Question 19

Welche Stützstellen werden für die 3-Punkte-Gauß-Quadratur verwendet?

Accepted Answer

x_1 = -√(3/5), x_2 = 0, x_3 = √(3/5)

Answer

x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1

Answer

x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2

Answer

x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 3

Question 20

Welche Voraussetzung muss für die Genauigkeit der Trapezregel erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Funktion muss stetig sein.

Answer

Die Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss konvex sein.

Answer

Die Funktion muss eine ungerade Anzahl von Stützstellen haben.

Question 21

Warum ist die Simpsonregel genauer als die Trapezregel?

Accepted Answer

Sie verwendet ein Polynom höheren Grades für die Approximation.

Answer

Sie verwendet mehr Stützstellen.

Answer

Sie verwendet eine gewichtete Summe von Funktionswerten.

Answer

Sie wird für Funktionen mit einer ungeraden Anzahl von Stützstellen angewendet.

Question 22

Welche Aussage zur Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Die Trapezregel verwendet nur die Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

Answer

Die Trapezregel überschätzt Integrale von monoton abnehmenden Funktionen.

Answer

Die Trapezregel liefert für Polynome bis zweiten Grades exakte Ergebnisse.

Answer

Die Trapezregel ist eine spezielle Form der Gauß-Quadratur.

Question 23

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration verwendet eine Gewichtsfunktion?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 24

Wie beeinflusst die Wahl der Stützstellen bei der Gauß-Quadratur die Genauigkeit der Integration?

Accepted Answer

Die Stützstellen bestimmen die Ordnung der Genauigkeit.

Answer

Die Stützstellen müssen außerhalb des Integrationsintervalls liegen.

Answer

Die Stützstellen müssen gleichmäßig über das Intervall verteilt sein.

Answer

Die Stützstellen haben keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 25

Welche Aussage zur Monte-Carlo-Integration ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann für nicht integrierbare Funktionen verwendet werden.

Answer

Sie ist eine deterministische Methode.

Answer

Sie liefert exakte Ergebnisse.

Answer

Sie ist immer die genaueste Integrationsmethode.

Question 26

Welches Verfahren kann zur adaptiven Anpassung der Schrittweite bei der numerischen Integration verwendet werden?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Quadratische Konvergenz

Answer

Halbierungsverfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 27

Geben Sie die Formel für die Trapezregel zur numerischen Integration an:

Accepted Answer

(b-a)/2 * (f(a) + f(b))

Answer

(b-a)/2 * f((a+b)/2)

Answer

(b-a) * f(a)

Question 28

Welche Aussage über die Gauß-Quadratur ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine erweiternde Integrationsmethode mit höherer Genauigkeit.

Answer

Sie benötigt eine gerade Anzahl von Stützstellen.

Answer

Sie ist immer ungenauer als die Simpsonregel.

Question 29

Welche Integrationsmethode liefert die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Question 30

Welche Aussage zum Fehler der numerischen Integration ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Der Fehler nimmt immer ab, wenn die Anzahl der Stützstellen erhöht wird.

Answer

Der Fehler kann durch die Wahl geeigneter Stützstellen reduziert werden.

Answer

Der Fehler hängt von der verwendeten Integrationsmethode ab.

Question 31

Welche Aussage zur numerischen Integration von Funktionen mit Singularitäten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann zu ungenauen Ergebnissen führen.

Answer

Die numerische Integration liefert immer genaue Ergebnisse für Funktionen mit Singularitäten.

Answer

Singularitäten haben keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 32

Welche der folgenden Methoden ist eine **geschlossene** Integrationsformel?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Simpsonregel

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zur Trapezregel ist **korrekt**?

Accepted Answer

Sie unterschätzt das Integral bei konkaven Funktionen.

Answer

Sie ist genauer als die Simpsonregel.

Answer

Sie überschätzt das Integral bei konvexen Funktionen.

Question 34

Welche der folgenden Methoden ist eine **adaptive** Integrationsmethode?

Accepted Answer

Romberg-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 35

Welche der folgenden Aussagen zur Simpsonregel ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie ist immer genauer als die Trapezregel.

Answer

Sie ist eine geschlossene Integrationsformel.

Answer

Sie unterschätzt das Integral bei konkaven Funktionen.

Answer

Sie benötigt zwei Funktionsbewertungen pro Intervall.

Question 36

Welche der folgenden Methoden wird zur numerischen Integration von Funktionen verwendet, die **Singularitäten** aufweisen?

Accepted Answer

Cauchy-Hauptwert-Integral

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Gauß-Quadratur ist **korrekt**?

Accepted Answer

Sie liefert exakte Ergebnisse für Polynome bis zum Grad 2n-1.

Answer

Sie ist eine adaptive Integrationsmethode.

Answer

Sie benötigt nur eine Funktionsevaluation.

Question 38

Welche der folgenden Methoden ist eine **Monte-Carlo**-Integrationsmethode?

Accepted Answer

Verwerfungsmethode

Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Question 39

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie ist immer exakter als die analytische Integration.

Answer

Sie kann zur Berechnung von Integralen von Funktionen verwendet werden, die nicht analytisch integrierbar sind.

Answer

Sie kann zur Abschätzung von Fehlern verwendet werden.

Question 40

Welche der folgenden Softwaretools kann zur Durchführung numerischer Integrationen verwendet werden?

Accepted Answer

MATLAB

Answer

Google Docs

Answer

Adobe Photoshop

Answer

Microsoft Word

Question 41

Welche Aussage über die Trapezregel ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Trapezregel liefert immer eine exakte Lösung für das Integral.

Answer

Die Trapezregel teilt das Integrationsintervall in gleichmäßige Teilintervalle.

Answer

Die Trapezregel approximiert das Integral durch die Fläche unter einer Trapezfunktion.

Question 42

Welche Formel beschreibt die Simpsonregel zur Approximation eines Integrals?

Accepted Answer

∫f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

Answer

∫f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)]

Answer

∫f(x)dx ≈ h * [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]

Question 43

Welches numerische Integrationsverfahren ist in der Regel am genauesten?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Alle Verfahren haben die gleiche Genauigkeit.

Answer

Simpsonregel

Question 44

Was ist ein wesentlicher Vorteil der Gauß-Quadratur im Vergleich zur Trapezregel und Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Gauß-Quadratur erreicht eine höhere Genauigkeit mit weniger Funktionsauswertungen.

Answer

Die Gauß-Quadratur kann für beliebige Integrationsgrenzen verwendet werden.

Answer

Die Gauß-Quadratur ist einfacher zu implementieren.

Question 45

Wie beeinflusst die Schrittweite (h) die Genauigkeit der Trapezregel?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite (h) führt zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Eine größere Schrittweite (h) führt zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Die Schrittweite (h) hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 46

Welche Bedingung muss die zu integrierende Funktion erfüllen, damit die Simpsonregel eine exakte Lösung liefert?

Accepted Answer

Die Funktion muss ein Polynom vom Grad 3 oder niedriger sein.

Answer

Die Funktion muss stetig differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss monoton sein.

Question 47

Welche Aussage über die Gauß-Quadratur ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Gauß-Quadratur verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte, um die Genauigkeit zu maximieren.

Answer

Die Gauß-Quadratur erfordert eine konstante Schrittweite (h).

Answer

Die Gauß-Quadratur ist nur für Funktionen mit konstanter Ableitung geeignet.

Question 48

Welches Integrationsverfahren würden Sie verwenden, um das Integral einer stark oszillierenden Funktion über ein großes Intervall zu approximieren?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Alle Verfahren sind gleichermaßen geeignet.

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 49

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration eignet sich am besten, um das Integral einer Funktion zu approximieren, die viele Unstetigkeitsstellen aufweist?

Accepted Answer

Keine der genannten Methoden ist optimal.

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Question 50

Welches numerische Integrationsverfahren verwendet eine quadratische Funktion zur Approximation des Integranden in einem Teilintervall?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Riemannsche Summation

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Question 51

Von welchen Faktoren hängt die Genauigkeit einer numerischen Integration ab?

Accepted Answer

Anzahl der Teilintervalle und gewählte Methode

Answer

Nur Anzahl der Teilintervalle

Answer

Nur gewählte Methode

Question 52

Welches nummerische Integrationsverfahren verwendet Stützstellen, die nicht äquidistant verteilt sind?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Question 53

Berechnen Sie mit der Trapezregel das Integral von f(x) = x² im Intervall [0, 2] mit n = 2 Teilintervallen.

Accepted Answer

2,6667

Answer

2

Answer

2,5

Answer

3

Question 54

Welcher Vorteil ist der Simpsonregel gegenüber der Trapezregel eigen?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit bei gleichem Rechenaufwand

Answer

Einfachere Implementierung

Answer

Anwendbar auf alle Arten von Funktionen

Question 55

Welche Aussage zur numerischen Integration ist inkorrekt?

Accepted Answer

Numerische Integration liefert immer den exakten Wert des Integrals.

Answer

Es gibt verschiedene Verfahren der numerischen Integration mit unterschiedlicher Genauigkeit.

Answer

Numerische Integration wird angewendet, wenn die analytische Berechnung des Integrals schwierig oder unmöglich ist.

Question 56

Welches Verfahren eignet sich besonders für die Integration von Funktionen mit stark oszillierenden Integranden?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Rechteckregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Question 57

Was bezeichnet man als "Fehlerordnung" im Kontext numerischer Integration?

Accepted Answer

Abhängigkeit des Fehlers von der Schrittweite

Answer

Maximal möglicher Fehler bei der Berechnung

Answer

Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen

Question 58

Welches numerische Integrationsverfahren lässt sich als Spezialfall der Newton-Cotes-Formeln interpretieren?

Accepted Answer

Sowohl Trapezregel als auch Simpsonregel

Answer

Nur Simpsonregel

Answer

Nur Trapezregel

Answer

Weder Trapezregel noch Simpsonregel

Question 59

Welches Verfahren verwendet die Formel (b-a)*(f(a) + f(b))/2 zur Approximation eines bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Question 60

Die Simpsonregel approximiert die Fläche unter der Kurve durch:

Accepted Answer

Parabeln

Answer

Kreise

Answer

Geraden

Answer

Exponentialkurven

Question 61

Was ist der Vorteil der Gauß-Quadratur gegenüber der Trapezregel und der Simpsonregel?

Accepted Answer

Sie erreicht höhere Genauigkeit mit der gleichen Anzahl von Funktionsauswertungen.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Answer

Sie kann für alle Funktionen verwendet werden.

Question 62

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Approximation des Integrals einer glatten, stetigen Funktion über ein kleines Intervall?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur mit 2 Punkten

Answer

Trapezregel

Answer

Alle Methoden sind gleich gut geeignet.

Question 63

Bei der numerischen Integration führt eine Erhöhung der Anzahl der Teilintervalle im Allgemeinen zu:

Accepted Answer

einer Verringerung des Fehlers.

Answer

einer unvorhersehbaren Änderung des Fehlers.

Answer

keiner Änderung des Fehlers.

Answer

einer Erhöhung des Fehlers.

Question 64

Welches der folgenden ist KEIN Vorteil der numerischen Integration?

Accepted Answer

Sie liefert immer exakte Lösungen.

Answer

Sie kann leicht in Computerprogrammen implementiert werden.

Answer

Sie ermöglicht die Approximation von Integralen über beliebige Intervalle.

Answer

Sie kann für Funktionen verwendet werden, die keine analytische Lösung haben.